А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для совершенного газа2a 2γ +1 2(5)2 H = 2h∗ + V∗2 = * + a*2 =a* = (V M ) 2 ,γ −1γ −1128где максимальная скорость V М отвечает такому стационарномуразгону газа (с сохранением полной энтальпии и энтропии), прикотором h, T, p и ρ уменьшаются до нуля.a)б)в)r (V)F1ξ>0r (V)ξ=0Рис. 3.2Согласно равенствам (5) имеют место связиaγ −1(6)a∗ = 2 H ε, V m = 2 H = ∗ , ε =.γ +1εСвязи (6) учтены при построении на рис. 3.3 j/j ∗ как функции отношения V/a ∗ . В прикладной газовой динамике при рассмотрениитечений совершенного газа для этого отношения используетсяспециальное обозначение λ = V/a ∗ .
Связь λ с числом Маха М == V/a получается из равенствa2 ⎛ γ − 1 2 ⎞ γ + 1a2 γ − 1 2 γ + 11+M ⎟=,+λ =2 ⎜a* ⎝2a*2222⎠– следствий первого уравнения (2), записанного через М и λ сучётом формулы (5). Исключив из них а2/а ∗ 2, найдёмM γ +1Vλ≡ =.(7)a∗2 + ( γ − 1)M 2Как видно из рис. 3.3, разгон дозвукового потока сопровождается увеличением плотности тока j и сужением трубки тока. Впротивоположность этому, разгон сверхзвукового потока сопровождается уменьшением j и расширением трубки тока.
Такое от129личие нетрудно понять. Дело в том, что в дозвуковом потоке изменение j в основном обусловлено изменением скорости при малом изменении ρ (при малых числах Маха ρ практически постоянна). В сверхзвуковых течениях – наоборот – для совершенногогаза скорость может вырасти максимум в ε–1/2 раз. Плотность приэтом уменьшается до нуля. Поскольку плотность тока максимальна при М = 1, то в соответствии с равенством (1) непрерывный переход от дозвуковой скорости к сверхзвуковой (и наоборот) сопровождается сначала сужением, а затем расширениемтрубки тока. Торможение потока в прямом скачке с изменениемчисла Маха от М 1 > 1 до М 2 < 1 не требует изменения площадипоперечного сечения трубки тока.j/j∗1V/a∗011/εРис.
3.3Пусть ξ – расстояние, отсчитываемое вдоль линии тока, и ϕ′ == dϕ/dξ. Согласно уравнению (1) и равенствам (3) и (4) справедливо соотношение− jF ′ρV 2 F ′=.(8)p′ =( dj / dp ) F (1 − M 2 ) FВ общем случае зависимости F = F(ξ), разные для разных линий тока, неизвестны. Несколько из немногих исключений – цилиндрические и сферические источник и сток (рис. 3.2, а и б). Вэтих течениях ЛТ – прямые, расходящиеся либо от оси (рис. 3.2,а, все ЛТ лежат в плоскостях, нормальных оси симметрии), либо130от центра симметрии (рис. 3.2, б). Поэтому F = F(ξ = r) ∼rν-1, где ν= 2 и 3 соответственно при осевой и при сферической симметрии.Итак, в направлении течения F либо монотонно растёт (для источника), либо монотонно уменьшается (для стока).
Поэтому втаких течениях невозможен переход через М = 1. В них всегдаесть сечение – звуковой цилиндр или звуковая сфера радиуса r ∗ . Вобласть r < r ∗ ни источник, ни сток продолжить невозможно. Нарис. 3.2 «звуковые» сечения трубки тока заштрихованы.Если r ∗ – линейный масштаб, а а ∗ и ρ ∗ – масштабы скоростии плотности, то для источника и стока уравнение (1) примет видρVr ν−1 = 1, r ≥ 1 .При r < 1 решения нет. При r >> 1 течение в дозвуковых источнике и стоке стремится к аналогичным течениям для несжимаемой жидкости, V → 0, а ρ → ρ st , где ρ st – ρ изоэнергетически иизэнтропически заторможенного потока.
В сверхзвуковых источнике и стоке V → V М, M → ∞, p и ρ → 0 при r → ∞.Как и для идеальной жидкости, для газа при ν = 2 нетруднопостроить ещё два простых плоских течения: вихрь и вихреисточник или вихресток. Для вихря ЛТ – концентрические окружности, причём в общем случае H = H(ψ), s = S(ψ), rw = Γ(ψ), аdp/dr = ρw2/r. Здесь w – окружная компонента скорости, единственная отличная от нуля, а Γ – циркуляция.
Для вихреисточникаи вихрестока H, s и Γ постоянны во всём потоке.Благодаря тому, что в стационарных течениях полная энтальпия на УВ также сохраняется, максимальная скорость не изменяется на них не только для совершенного газа, но и для газов сдостаточно произвольными термодинамическими свойствами.Единственное необходимое для этого условие: h → 0 при р → 0 иТ → 0. В отношении a ∗ для произвольного газа это не так, ибодля газов с более сложной термодинамикой a ∗ зависит и от H, иот s. Согласно формулам (6) для совершенного газа a ∗ выражается только через H и потому на УВ также не изменяется.На рис.
3.4 изображено обтекание затупленного осесимметричного тела сверхзвуковым потоком. Нарисованы УВ, звуковаялиния (ЗЛ) и трубка тока (ТТ), которая, начинаясь круглой (вокруг ЛТ, совпадающей с осью симметрии), у поверхности тела131становится кольцевой. Сразу за УВ трубка тока расширяется, адозвуковой поток тормозится. При обтекании торца уменьшениепоперечного сечения трубки тока сопровождается разгоном газа.При пересечении ЗЛ площадь F = F ∗ минимальна, а затем растёт.ЗЛТТУВРис.
3.4Расчёт обтекания затупленного тела требует применения численных методов. Однако точные значения параметров в некоторых характерных точках можно найти, опираясь на весьма простые соображения. Начнём с того, что УВ на оси симметрии –прямой скачок. По соотношению Л. Прандтля (1.4.32) определимскорость, а затем по формулам (1.4.1) и (1.4.2) – плотность и давление за скачком («0» и «1» метят параметры перед и за УВ):V1 = a∗2 / V0 , ρ1 = ρ0V0 / V1 , p1 = p0 + ρ0V0 (V0 − V1 ).(9)Эти и последующие соотношения удобнее использовать в безразмерной форме, взяв за масштабы плотности, скорости и давления ρ 0 , V 0 и ρ 0 (V 0 )2.
При таком масштабировании в согласии сравенствами (5) полная энтальпия Н и критическая скорость даются формулами (М 0 – число Маха набегающего потока)22γ −12H =+ 1, a*2 = 2 H ε =+,22(γ − 1)M 0(γ + 1) M 0 γ + 1а равенства (9) заменятся на132V1 ≡V1 γ − 12ρ( γ + 1) M 02f ( f + 1)=+, ρ1 ≡ 1 ==,22V0 γ + 1 (γ + 1) M 0ρ0 ( γ − 1)M 0 + 2 f + ( f / M 0 ) 2p12γ −1=−.2ρ0V0γ + 1 γ(γ + 1) M 02Вторая формула для ρ 1 записана с использованием правила классической термодинамики γ = (f + 2)/f, где f – число степеней свободы газа. Согласно ей ρ 1 /ρ 0 = f при М 0 = f (В.А. Белоконь, 1953).За УВ по р 1 и ρ 1 найдём энтропийную функциюχ1 = p1ρ1− γ ,которая не изменяется до следующей УВ (на рис. 3.2, а её нет). Вточке торможения скорость V st = 0, а прочие параметры определяются по известной Н и σ 1 формуламиp1 ≡1/( γ−1)⎛ γ −1 ⎞γpstp= ( γ − 1) H , γst = χ1 → ρst = ⎜H⎟, pst = χ1ρstγ .ρstρstγχ⎝ 1 ⎠Аналогично параметры в звуковой точке на кромке торца равныast2 =1/( γ−1)⎛ a2 ⎞γppV∗ = a∗ , a = ∗ , γ∗ = χ1 → ρ∗ = ⎜ ∗ ⎟ρ∗ ρ∗⎝ γχ1 ⎠2∗, p∗ = χ1ρ∗γ .Глава 3.3.
Элементарная теория (ЭТ) течений в каналахпеременного сечения (сопле, диффузоре,аэродинамической трубе)Сокращения: ЛТ – линия тока, УВ – ударная волна, ЭТ – элементарная теория.В общем случае зависимость площади F поперечного сечениятрубки тока от расстояния вдоль ЛТ неизвестна. В противоположность этому в описываемой ниже теории уравнения Гл.
3.2применяются к каналам, для которых зависимость F = F(х) от координаты х, отсчитываемой вдоль их оси, определяется заданнойформой канала и, следовательно, известна. Пусть параметры газа,в частности, u – проекция вектора скорости на ось х, зависят и отдругих декартовых или цилиндрических координат. При фикси-133рованном х для любого параметра ϕ введём его среднюю по сечению величину 〈ϕ〉 и отклонение Δϕ от неё формулами1〈ϕ〉 = ∫ ϕdF , Δϕ = ϕ − 〈ϕ〉.(1)FFВ отличие от ϕ средняя величина 〈ϕ〉 – функция только х.
В силуопределения (1)∫ ΔϕdF = ∫ (ϕ − 〈ϕ〉 )dF = ∫ ϕdF − ∫ 〈ϕ〉 dF = F 〈ϕ〉 − 〈ϕ〉 F = 0.FFF(2)FС учётом определений (1) и равенства (2) для расхода газа G,протекающего через любое сечение канала, имеемG = ∫ ρudF = ∫ (〈ρ〉 + Δρ)(〈 u 〉 + Δu )dF = 〈ρ〉〈 u 〉 F + ∫ ΔρΔudF . (3)FFFЕсли р и s в данном сечении близки к постоянным, т.е.|Δp| << 〈 p〉, |Δs| << 〈 s〉 , то ряд Тейлора для h(p,s) имеет видh( p, s ) = h(〈 p〉, 〈 s 〉 ) + h p Δp + hs Δs + 0.5[h pp ( Δp ) 2 + hss ( Δs )2 ] ++ h ps ΔpΔs + ...
,где h p , h s , … вычисляются при р = 〈 p〉 и s = 〈 s 〉 . Применив к немуоперацию осреднения (1) и учтя равенство (2), получим1〈 h 〉 = h (〈 p 〉, 〈 s〉 ) +[h pp ( Δp ) 2 + hss ( Δs ) 2 + 2h ps ΔpΔs ]dF + ... . (4)∫2F FТакие же выражения получаются для всех термодинамическихпараметров.Осреднение равенств (3.2.2) – условий сохранения полной энтальпии и энтропии на ЛТ и подстановка в первое из них выражения (4) даст2h(〈 p〉, 〈 s 〉 ) + 〈V 〉 2 = 2〈 H1 〉 −(5)1− ∫ [h pp ( Δp ) 2 + hss ( Δs )2 + 2h ps ΔpΔs + ( ΔV ) 2 ]dF + ..., 〈 s〉 = 〈 s1 〉.FFДля плоских и осесимметричных каналов (при отсутствиикомпоненты w) V 2 = u2 + v 2.
Рассматриваемые далее плавныеканалы таковы, что угол между нормалью к стенке и осью х близок к 90°, хотя за счёт большой длины изменение F и параметровпотока по их длине могут быть любыми. Для плавных каналов134отличные от u компоненты скорости малы по всему поперечномусечению. Для плоских и осесимметричных плавных каналов суравнением стенки: y = y w (x) из условия непротекания на ней v =uy′ w с |y′ w | ≡ |dy w (x)/dx| << 1. Следовательно, для плавных каналовдаже на стенке v 2 << u2, а при приближении к оси симметрии vпочти линейно убывает до нуля.
Итак, для таких каналов1〈 u 〉 2 = 〈V 〉 2 + ∫ [( ΔV ) 2 − ( Δu ) 2 − v 2 − w2 ]dF .(6)FFПусть направление вектора скорости на входе в канал близкок осевому, а распределения его полной энтальпии и энтропии однородны или близки к однородным. Эти предположения исключают из данного рассмотрения закрученные, а также слоистыепотоки типа, изображённого на рис. 3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
