А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В этом смысле при М = V/a > 1 система пяти уравнений, описывающих плоские и осесимметричные течения идеального газа, гиперболическая. На линиях, где М = 1 (звуковых линиях – ЗЛ), направленияС+- и С–-характеристик и два уравнения (17) совпадают. Такуюситуацию назывём параболическим вырождением.
При М < 1подсистема уравнений (14) и (15), содержащая производныетолько от р и θ, эллиптическая. Подсистема (2), выполняющаясявдоль ЛТ, гиперболическая при любых числах Маха.Независимость типа уравнений плоского и осесимметричноготечений от z- или φ-компоненты вектора скорости естественна.Действительно, при ν = 1, перейдя в инерциальную систему координат, движущуюся в направлении оси z, можно сделать ком146поненту w и число Маха, посчитанное по полной скорости, любыми.
Это, тем не менее, не должно отразиться на типе уравнений. Так оно и есть, ибо в плоском случае w вообще не входит вуравнения, определяющие остальные параметры.Характеристическая система (17) записана в локальных координатах. Это упростило анализ, но неудобно при решении задачив целом. Поэтому вернёмся к исходным координатам ху. Полныепроизводные в уравнениях (17) берутся вдоль линий, касательныек которым в каждой точке сверхзвукового потока образуют сосью х′, т.е.
с вектором V и с ЛТ углы ±μ (рис. 3.6, а). Первыеназовём С+-характеристиками, вторые – С–-характеристиками (характеристиками 1-го и 2-го семейств). В координатахх′у′ их направления даются уравнениямиdy ′ / dx ′ = ± tgμ .С учётом ориентации локальной системы в координатах ху уравнения, определяющие направления С±-характеристик, станутC + : dy / dx = tg( θ + μ ), C − : dy / dx = tg( θ − μ) .(19±)Для возврата к переменным ху в уравнениях (17) свяжем приращения dx′ и dx+, отвечающие фиксированному смещению вдольС+-характеристики (аналогично dx′ и dx– – вдоль С–-характеристики).
Согласно определениям dx′, dx+ и dx–, которые с учётомих знаков на рис. 3.6, б показаны стрелками, имеемdx −dx ′dx +dx ′−dx +,===cos( θ − μ) cos μ cos[ π − ( θ + μ)] cos( θ + μ) cos μилиcos μdx ′ =dx ± .cos( θ ± μ)Исключение с помощью этих равенств dx′ из уравнений (17) дастctgμν −1 ±dθ ±dp +F dx = 0,2ρVy(20±)2sin θ sin μ wF ± ( θ, w, μ,V ) = ±− 2 , F ± (0,0, μ,V ) = 0.cos( θ ± μ) VУравнения (20±) – условия совместности (УС) согласно равенствам (19±) можно переписать в форме147dθ ±ctgμν −1 ±dp +F dy = 0, F ± = F ± ( θ, w, μ,V ) =ρV 2y(21±)sin θ sin μ w− 2 ctg( θ ± μ), F ± (0,0, μ,V ) = 0.sin( θ ± μ) VПри расчётах УС в форме (20±) непригодны там, где касательные к С+- или С–-характеристикам близки к вертикали, а вформе (21±) – к горизонтали.
Дважды учтя уравнения (19±), получим± sin μdxsin 2 ( θ ± μ) + cos2 ( θ ± μ )= ± sin μdx =cos( θ ± μ)cos( θ ± μ)= ± sin μ[sin( θ ± μ)dy + cos( θ ± μ)dx ] = cos θdy − sin θdx.В силу этого УС (20±) примут форму, пригодную во всех случаяхctgμYdy − Xdxw22dθ ±dp+(ν−1)=0,X=sinθ+,(22±)yV2ρV 2=±2Y = sin θ cos θ.Глава 3.5. Плоскопараллельные однородные течения.Их инварианты.
Простые волны.Теорема Никольского –ТагановаСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, МСЗ – местная сверхзвуковая зона, ПВ – простая волна, ПВР – простаяволна разрежения, ТНТ – теорема Никольского–Таганова, УВ –ударная волна, ЦПВ – центрированная ПВ, ЦВР – ЦПВ разрежения.При ν = 1 уравнения (3.4.19±) и (3.4.20±) сводятся кdyctgμ= tg( θ + μ), d θ +C+ :dp = 0;ρV 2dx(1)ctgμdy−= tg( θ − μ), d θ −dp = 0.C :ρV 2dxПусть в дополнение в набегающем потоке w = 0, и он однороденпо H и s.
Так как w, H и s сохраняются на ЛТ (s – до УВ), то2h + V 2 = 2 H 0 , s = s0 , w = 0148всюду, куда приходят эти ЛТ. Поэтому все отличные от угла θпараметры газа – функции только давления р, т.е.ρ = ρ( p, s0 ) = ρ( p ), a = a ( p ), V = V ( p ), M = M( p ), μ = μ( p ), (2)и для р ≤ р ∗ , где р ∗ – отвечающее М = 1 критическое давление,можно ввести функциюpctgμΦ ( p) = ∫dp .(3)ρV 2p*Производная dΦ/dp = (ctgμ)/(ρV 2) ≥ 0.
Следовательно, Φ(р) – монотонно возрастающая функция р, и между р и Φ(р) имеет местовзаимно однозначное соответствие.С введением функции Φ(р) условия совместности из (1) сведутся к равенствамC ± : dI ± = 0, I ± = θ ± Φ( p ) .(4)++––Согласно им I сохраняется на С -, а I – на С -характеристиках.Поэтому I+ и I –назовём инвариантами или инвариантами Римана сверхзвуковых однородных плоскопараллельных потоков.Параметрам однородного набегающего потока припишем индекс «0». В областях возмущённого течения, покрытых С+-характеристиками, начинающимися в набегающем потоке, в силууравнения (4) для С+-характеристик постоянен инвариат I+ = I+ 0 .На рис. 3.7, а – это треугольник a°cb° (область 1).
Аналогично втреугольнике acb (в области 2) постоянен инвариант I– = I– 0 . Постоянство одного из инвариантов приводит к тому, что в областях1 и 2 в дополнение к термодинамическим параметрам, для которых справедливы формулы (2), известной функцией давленияявляется и угол θ. Если в набегающем потоке θ 0 = 0, т.е. ось х направлена по вектору V 0 , то в областях 1 и 2 соответственноpctgμθ = θ+ ( p ) = I 0+ − Φ( p ) = Φ( p0 ) − Φ( p ) = − ∫dp ,(5+)2ρVp0pθ = θ− ( p ) = I 0− + Φ( p ) = Φ( p ) − Φ( p0 ) =ctgμ∫ ρV2dp .(5–)p0±±Известные функции θ (р) в формулах (5 ), как и функции вправых частях формул (2), не зависят от формы образующих ab и149a°b° на рис. 3.7, а. Течение, все параметры которого – заранее известные функции одного из них, назовём простой волной (ПВ).а)б)b°Ca°C+1V0c2–C+V03C–C–C+μ0aabbРис.
3.7В формуле (3), определяющей функцию Φ(р), нижний пределв интеграле р ∗ можно заменить на р 0 ≤ р ∗ . Тогда при выбранномнаправлении оси х в набегающем потоке I– 0 = I+ 0 = 0. При такойзамене, что, как правило, далее предполагается,θ ± Φ(р) = 0,(6±)в областях 1 и 2 при верхнем и нижнем знаках, соответственно.Равенства (6+) и (6–) выполняются, в частности, на отрезкахa°b° и ab соответственно верхней стенки канала, где θ = θ w° (х), иего нижней стенки, где θ = θ w (х), т.е.pw opwctgμctgμΦ( pw o ) ≡ ∫dp=−θ(x≤Φ(p)≡dp = θw ( x) ≤ 0 .
(7))0,wow22∫p0 ρVp0 ρVВ силу этих неравенств верхние пределы интегралов – давленияр w° и р w меньше р 0 , т.е. при сверхзвуковом набегающем потокена обеих стенках расширяющегося канала давление падает – вобластях 1 и 2 реализуются ПВ разрежения (ПВР).Как видно из рис. 3.7, а, границей, по которой ПВ примыкаетк равномерному набегающему потоку, служит С+- или С–-характеристика, например, для области 1 это – отрезок С–-характеристики a°c. На любой С–-характеристике, выходящей из произвольной точки w° отрезка a°b° верхней стенки, постоянен инвариант I– = θ – Φ(р), равный согласно формуле (7) 2θ w° , и на ней150θ − Φ( p ) = 2θwo .Кроме того, в области 1 выполняется равенство (6+).
Следовательно, в ней на отрезке С–-характеристики, выходящей из точкиw°, θ = θ w° , р = р w° , а прочие параметры, включая угол Маха μ, –функции р – также постоянны. Значит, в силу уравнения (1) указанный отрезок С–-характеристики прямолинейный. Аналогичноустанавливается прямолинейность в области 2 С+-характеристик.В область 3 С±-характеристики из набегающего потока не приходят. В ней при криволинейных контурах ab и a°b° характеристикиобоих семейств также криволинейны.При обтекании изолированной стенки (рис. 3.7, б) ПВ с прямолинейными полубесконечными С+-характеристиками реализуется справа от граничной С+-характеристики, выходящей из точкиa.
Если с удалением от точки a угол θ w монотонно уменьшается,то, как показано выше, давление р w тоже монотонно падает. Этотвывод справедлив для любого газа, ибо информация о знаке ω ррпри его получении не использовалась. Выясним, как при этомизменяется наклон С+-характеристик, т.е. – величина tg(θ + μ). Врассматриваемой ПВ все параметры – функции р, причём в силуопределений μ и Φ(р) и формулы (6–)−M pθp + μ pdμM 2 − 1 dtg( θ + μ).μp ≡==, θp =,22ρVdp M M − 1dpcos2 ( θ + μ)В результате, учтя формулу (3.3.11) для М р , найдёмρ2 a 2 ω ppdtg( θ + μ)=.dp2cos2 ( θ + μ ) M 2 − 1Для нормального газа (ω рр > 0) эта производная положительна, инаклон С+-характеристик с уменьшением давления также уменьшается, и они расходятся веером, как изображено на рис.
3.7, б.Пусть в точке b к криволинейному участку стенки ab плавнопримыкает вторая прямолинейная образующая. Тогда снизу попотоку ПВР будет ограничена С+-характеристикой, выходящей източки b. По этой характеристике к ПВ примыкает равномерныйпоступательный поток М = М + > M 0 . Зафиксировав угол поворота потока θ + , начнём уменьшать протяженность участка ab. В151пределе он стянется в точку.
Если совместить с ней начало координат, то С+-характеристики ПВ станут лучами (рис. 3.8):y / x = tg( θ + μ) .(8)Получившееся течение – центрированная простая волна разрежения (ЦВР) или течение Прандтля–Майера. В дополнениек уравнению (8) для ЦВР справедливы все соотношения, записанные выше для ПВ, в частности, – равенство (6–).
Пользуясьим, по углу θ + можно определить р + , а, зная р + , по формулам (2) –все остальные параметры на правой границе ЦВР. Тем же способом определяются С+-характеристики – лучи, идущие из излома иотвечающие любому давлению (p + < p < p 0 ).yV0xV+Рис. 3.8Решение, описывающее ЦВР, можно построить, воспользовавшись тем, что среди определяющих параметров задачи обтекания излома нет величины с размерностью длины. По этой причине эта задача автомодельная с автомодельной переменной ξ == х/у. Условия существования нетривиального решения описывающих её обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к равенству (8) и другим полученным выше соотношениям.Для ПВР и ЦВР есть предельный угол θМ поворота потока,отвечающий р = 0 в интеграле для функции Ф(р).
Его модуль| θ |= − Φ( 0) ≡Mp0ctgμ∫ ρV2dp(9)0тем больше, чем ближе давление р 0 к р ∗ , т.е. М 0 – к единице.В однородных течениях dp = – ρVdV, и, перейдя от р к V, равенства (5±) заменим наVctgμdV .(10±)θ m Σ(V ) = I 0± , Σ(V ) = −Φ( p ) = ∫VV0152Здесь, как и ранее, С+(С–)-характеристикам отвечают верхние(нижние) знаки. Для совершенного газа после перехода в выражении для Σ(V) от V к λ = V/a ∗ , а затем по формуле (3.2.7) от λ кМ интеграл при V 0 = V ∗ = a ∗ берётся и получается равнымVctgμ1πγ −1(11)dV =Σ (V ) = ∫arctg εctgμ + μ − , ε =.V2γ +1εV∗(Согласно формулам (9) – (11))()| θM |= Σ(V M ) = 0.5 1/ ε − 1 π.МДля γ = 1.4 это даёт |θ | ≈ 135°. Если γ → 1, то ε уменьшается ипредельный угол может стать сколь угодно большим.