Главная » Просмотр файлов » А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс)

А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 23

Файл №1161636 А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс)) 23 страницаА.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636) страница 232019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В этом смысле при М = V/a > 1 система пяти уравнений, описывающих плоские и осесимметричные течения идеального газа, гиперболическая. На линиях, где М = 1 (звуковых линиях – ЗЛ), направленияС+- и С–-характеристик и два уравнения (17) совпадают. Такуюситуацию назывём параболическим вырождением.

При М < 1подсистема уравнений (14) и (15), содержащая производныетолько от р и θ, эллиптическая. Подсистема (2), выполняющаясявдоль ЛТ, гиперболическая при любых числах Маха.Независимость типа уравнений плоского и осесимметричноготечений от z- или φ-компоненты вектора скорости естественна.Действительно, при ν = 1, перейдя в инерциальную систему координат, движущуюся в направлении оси z, можно сделать ком146поненту w и число Маха, посчитанное по полной скорости, любыми.

Это, тем не менее, не должно отразиться на типе уравнений. Так оно и есть, ибо в плоском случае w вообще не входит вуравнения, определяющие остальные параметры.Характеристическая система (17) записана в локальных координатах. Это упростило анализ, но неудобно при решении задачив целом. Поэтому вернёмся к исходным координатам ху. Полныепроизводные в уравнениях (17) берутся вдоль линий, касательныек которым в каждой точке сверхзвукового потока образуют сосью х′, т.е.

с вектором V и с ЛТ углы ±μ (рис. 3.6, а). Первыеназовём С+-характеристиками, вторые – С–-характеристиками (характеристиками 1-го и 2-го семейств). В координатахх′у′ их направления даются уравнениямиdy ′ / dx ′ = ± tgμ .С учётом ориентации локальной системы в координатах ху уравнения, определяющие направления С±-характеристик, станутC + : dy / dx = tg( θ + μ ), C − : dy / dx = tg( θ − μ) .(19±)Для возврата к переменным ху в уравнениях (17) свяжем приращения dx′ и dx+, отвечающие фиксированному смещению вдольС+-характеристики (аналогично dx′ и dx– – вдоль С–-характеристики).

Согласно определениям dx′, dx+ и dx–, которые с учётомих знаков на рис. 3.6, б показаны стрелками, имеемdx −dx ′dx +dx ′−dx +,===cos( θ − μ) cos μ cos[ π − ( θ + μ)] cos( θ + μ) cos μилиcos μdx ′ =dx ± .cos( θ ± μ)Исключение с помощью этих равенств dx′ из уравнений (17) дастctgμν −1 ±dθ ±dp +F dx = 0,2ρVy(20±)2sin θ sin μ wF ± ( θ, w, μ,V ) = ±− 2 , F ± (0,0, μ,V ) = 0.cos( θ ± μ) VУравнения (20±) – условия совместности (УС) согласно равенствам (19±) можно переписать в форме147dθ ±ctgμν −1 ±dp +F dy = 0, F ± = F ± ( θ, w, μ,V ) =ρV 2y(21±)sin θ sin μ w− 2 ctg( θ ± μ), F ± (0,0, μ,V ) = 0.sin( θ ± μ) VПри расчётах УС в форме (20±) непригодны там, где касательные к С+- или С–-характеристикам близки к вертикали, а вформе (21±) – к горизонтали.

Дважды учтя уравнения (19±), получим± sin μdxsin 2 ( θ ± μ) + cos2 ( θ ± μ )= ± sin μdx =cos( θ ± μ)cos( θ ± μ)= ± sin μ[sin( θ ± μ)dy + cos( θ ± μ)dx ] = cos θdy − sin θdx.В силу этого УС (20±) примут форму, пригодную во всех случаяхctgμYdy − Xdxw22dθ ±dp+(ν−1)=0,X=sinθ+,(22±)yV2ρV 2=±2Y = sin θ cos θ.Глава 3.5. Плоскопараллельные однородные течения.Их инварианты.

Простые волны.Теорема Никольского –ТагановаСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, МСЗ – местная сверхзвуковая зона, ПВ – простая волна, ПВР – простаяволна разрежения, ТНТ – теорема Никольского–Таганова, УВ –ударная волна, ЦПВ – центрированная ПВ, ЦВР – ЦПВ разрежения.При ν = 1 уравнения (3.4.19±) и (3.4.20±) сводятся кdyctgμ= tg( θ + μ), d θ +C+ :dp = 0;ρV 2dx(1)ctgμdy−= tg( θ − μ), d θ −dp = 0.C :ρV 2dxПусть в дополнение в набегающем потоке w = 0, и он однороденпо H и s.

Так как w, H и s сохраняются на ЛТ (s – до УВ), то2h + V 2 = 2 H 0 , s = s0 , w = 0148всюду, куда приходят эти ЛТ. Поэтому все отличные от угла θпараметры газа – функции только давления р, т.е.ρ = ρ( p, s0 ) = ρ( p ), a = a ( p ), V = V ( p ), M = M( p ), μ = μ( p ), (2)и для р ≤ р ∗ , где р ∗ – отвечающее М = 1 критическое давление,можно ввести функциюpctgμΦ ( p) = ∫dp .(3)ρV 2p*Производная dΦ/dp = (ctgμ)/(ρV 2) ≥ 0.

Следовательно, Φ(р) – монотонно возрастающая функция р, и между р и Φ(р) имеет местовзаимно однозначное соответствие.С введением функции Φ(р) условия совместности из (1) сведутся к равенствамC ± : dI ± = 0, I ± = θ ± Φ( p ) .(4)++––Согласно им I сохраняется на С -, а I – на С -характеристиках.Поэтому I+ и I –назовём инвариантами или инвариантами Римана сверхзвуковых однородных плоскопараллельных потоков.Параметрам однородного набегающего потока припишем индекс «0». В областях возмущённого течения, покрытых С+-характеристиками, начинающимися в набегающем потоке, в силууравнения (4) для С+-характеристик постоянен инвариат I+ = I+ 0 .На рис. 3.7, а – это треугольник a°cb° (область 1).

Аналогично втреугольнике acb (в области 2) постоянен инвариант I– = I– 0 . Постоянство одного из инвариантов приводит к тому, что в областях1 и 2 в дополнение к термодинамическим параметрам, для которых справедливы формулы (2), известной функцией давленияявляется и угол θ. Если в набегающем потоке θ 0 = 0, т.е. ось х направлена по вектору V 0 , то в областях 1 и 2 соответственноpctgμθ = θ+ ( p ) = I 0+ − Φ( p ) = Φ( p0 ) − Φ( p ) = − ∫dp ,(5+)2ρVp0pθ = θ− ( p ) = I 0− + Φ( p ) = Φ( p ) − Φ( p0 ) =ctgμ∫ ρV2dp .(5–)p0±±Известные функции θ (р) в формулах (5 ), как и функции вправых частях формул (2), не зависят от формы образующих ab и149a°b° на рис. 3.7, а. Течение, все параметры которого – заранее известные функции одного из них, назовём простой волной (ПВ).а)б)b°Ca°C+1V0c2–C+V03C–C–C+μ0aabbРис.

3.7В формуле (3), определяющей функцию Φ(р), нижний пределв интеграле р ∗ можно заменить на р 0 ≤ р ∗ . Тогда при выбранномнаправлении оси х в набегающем потоке I– 0 = I+ 0 = 0. При такойзамене, что, как правило, далее предполагается,θ ± Φ(р) = 0,(6±)в областях 1 и 2 при верхнем и нижнем знаках, соответственно.Равенства (6+) и (6–) выполняются, в частности, на отрезкахa°b° и ab соответственно верхней стенки канала, где θ = θ w° (х), иего нижней стенки, где θ = θ w (х), т.е.pw opwctgμctgμΦ( pw o ) ≡ ∫dp=−θ(x≤Φ(p)≡dp = θw ( x) ≤ 0 .

(7))0,wow22∫p0 ρVp0 ρVВ силу этих неравенств верхние пределы интегралов – давленияр w° и р w меньше р 0 , т.е. при сверхзвуковом набегающем потокена обеих стенках расширяющегося канала давление падает – вобластях 1 и 2 реализуются ПВ разрежения (ПВР).Как видно из рис. 3.7, а, границей, по которой ПВ примыкаетк равномерному набегающему потоку, служит С+- или С–-характеристика, например, для области 1 это – отрезок С–-характеристики a°c. На любой С–-характеристике, выходящей из произвольной точки w° отрезка a°b° верхней стенки, постоянен инвариант I– = θ – Φ(р), равный согласно формуле (7) 2θ w° , и на ней150θ − Φ( p ) = 2θwo .Кроме того, в области 1 выполняется равенство (6+).

Следовательно, в ней на отрезке С–-характеристики, выходящей из точкиw°, θ = θ w° , р = р w° , а прочие параметры, включая угол Маха μ, –функции р – также постоянны. Значит, в силу уравнения (1) указанный отрезок С–-характеристики прямолинейный. Аналогичноустанавливается прямолинейность в области 2 С+-характеристик.В область 3 С±-характеристики из набегающего потока не приходят. В ней при криволинейных контурах ab и a°b° характеристикиобоих семейств также криволинейны.При обтекании изолированной стенки (рис. 3.7, б) ПВ с прямолинейными полубесконечными С+-характеристиками реализуется справа от граничной С+-характеристики, выходящей из точкиa.

Если с удалением от точки a угол θ w монотонно уменьшается,то, как показано выше, давление р w тоже монотонно падает. Этотвывод справедлив для любого газа, ибо информация о знаке ω ррпри его получении не использовалась. Выясним, как при этомизменяется наклон С+-характеристик, т.е. – величина tg(θ + μ). Врассматриваемой ПВ все параметры – функции р, причём в силуопределений μ и Φ(р) и формулы (6–)−M pθp + μ pdμM 2 − 1 dtg( θ + μ).μp ≡==, θp =,22ρVdp M M − 1dpcos2 ( θ + μ)В результате, учтя формулу (3.3.11) для М р , найдёмρ2 a 2 ω ppdtg( θ + μ)=.dp2cos2 ( θ + μ ) M 2 − 1Для нормального газа (ω рр > 0) эта производная положительна, инаклон С+-характеристик с уменьшением давления также уменьшается, и они расходятся веером, как изображено на рис.

3.7, б.Пусть в точке b к криволинейному участку стенки ab плавнопримыкает вторая прямолинейная образующая. Тогда снизу попотоку ПВР будет ограничена С+-характеристикой, выходящей източки b. По этой характеристике к ПВ примыкает равномерныйпоступательный поток М = М + > M 0 . Зафиксировав угол поворота потока θ + , начнём уменьшать протяженность участка ab. В151пределе он стянется в точку.

Если совместить с ней начало координат, то С+-характеристики ПВ станут лучами (рис. 3.8):y / x = tg( θ + μ) .(8)Получившееся течение – центрированная простая волна разрежения (ЦВР) или течение Прандтля–Майера. В дополнениек уравнению (8) для ЦВР справедливы все соотношения, записанные выше для ПВ, в частности, – равенство (6–).

Пользуясьим, по углу θ + можно определить р + , а, зная р + , по формулам (2) –все остальные параметры на правой границе ЦВР. Тем же способом определяются С+-характеристики – лучи, идущие из излома иотвечающие любому давлению (p + < p < p 0 ).yV0xV+Рис. 3.8Решение, описывающее ЦВР, можно построить, воспользовавшись тем, что среди определяющих параметров задачи обтекания излома нет величины с размерностью длины. По этой причине эта задача автомодельная с автомодельной переменной ξ == х/у. Условия существования нетривиального решения описывающих её обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к равенству (8) и другим полученным выше соотношениям.Для ПВР и ЦВР есть предельный угол θМ поворота потока,отвечающий р = 0 в интеграле для функции Ф(р).

Его модуль| θ |= − Φ( 0) ≡Mp0ctgμ∫ ρV2dp(9)0тем больше, чем ближе давление р 0 к р ∗ , т.е. М 0 – к единице.В однородных течениях dp = – ρVdV, и, перейдя от р к V, равенства (5±) заменим наVctgμdV .(10±)θ m Σ(V ) = I 0± , Σ(V ) = −Φ( p ) = ∫VV0152Здесь, как и ранее, С+(С–)-характеристикам отвечают верхние(нижние) знаки. Для совершенного газа после перехода в выражении для Σ(V) от V к λ = V/a ∗ , а затем по формуле (3.2.7) от λ кМ интеграл при V 0 = V ∗ = a ∗ берётся и получается равнымVctgμ1πγ −1(11)dV =Σ (V ) = ∫arctg εctgμ + μ − , ε =.V2γ +1εV∗(Согласно формулам (9) – (11))()| θM |= Σ(V M ) = 0.5 1/ ε − 1 π.МДля γ = 1.4 это даёт |θ | ≈ 135°. Если γ → 1, то ε уменьшается ипредельный угол может стать сколь угодно большим.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,92 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее