А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Определив по x 3 , найденному в данной итерации, tgθ 3 = F ′(x 3 ) и проинтегрировав по отрезку 1–3 уравнение(4+), получим уравнение⎡⎛ sin θ1 cos θ1⎛ ctgμ1 ctgμ 3 ⎞ p3 − p1θ3 − θ1 + ⎜+= ( ν − 1) ⎢⎜+22 ⎟y1ρ3V3 ⎠ 2⎝ ρ1V1⎣⎝(12)sin θ3 cos θ3 ⎞ y1 − y3 ⎛ sin 2 θ1w12sin 2 θ3w32 ⎞ x3 − x1 ⎤++⎜+++⎥,⎟⎟y3y1V12y3y3V32 ⎠ 2 ⎦⎠ 2⎝ y1которое при найденных х 3 , у 3 и θ 3 определит р 3 . Затем, как и ранее, найдём ρ 3 , а 3 , h 3 , U 3 , V 3 , M 3 = V 3 /а 3 и ctgμ 3 .Если расчёт пучка волн разрежения был выполнен до отрезкаcf С+-характеристики, то далее решается задача Гурса с даннымина отрезках cf и cd характеристик разных семейств. Расчёт точекв задаче Гурса такой же, как в задаче Коши для треугольника abc.ye°a)б)ya°μeμed–d+y30 bV0 = Veв)e°2μed = d–yx166μeeV0 = VeVed231axab1a°г)xeд)d+yxVexРис.
3.17Заканчивая параграф, решим задачу профилирования сверхзвуковой части сопла Лаваля, реализующего заданный равномерный поток: θ ≡ 0, М ≡ М е , р ≡ р е в сечении выхода ee° (рис. 3.17,а). Равномерность потока в сечении ee° предполагает постоянствофункций H(ψ) ≡ H st и S(ψ) ≡ S st и отсутствие закрутки (Г ≡ w ≡ 0).При θ = 0 и w = 0 функции Х и Y в УС (4±) и квадратные скобки вправых частях их разностных записей (7), (9), (10) и (12) равнынулю. С учётом этого мысленно решим прямую (в сторону ростах) и обратную (в сторону уменьшения х) задачу Коши с даннымина отрезке ee°, а затем прямой и обратный аналоги задачи об определении течения в треугольнике bdc рис. 3.16. В результатенайдём, что в равнобедренном треугольнике d – e°d + с углами приосновании μ е (рис. 3.17, а) θ ≡ 0, М ≡ М е , р ≡ р е .Пусть есть плавно сужающаяся и слегка расширяющаясячасть сопла, контур которой на рис.
3.17, б изображён жирнойкривой. Согласно результатам Гл. 3.5 звуковая линия (ЗЛ) a°b начинается в точке a°, в которой θ a° < 0. Правее точки a° со стенкивыходит С–-характеристика ab, имеющая со звуковой линией общую концевую точку b. Если справа от точки a исходную образующую (жирная сплошная кривая на рис. 3.17) заменить штриховой, то это не отразится на течение слева от ab, а излом в точкеa станет фокусом пучка волн разрежения.
При расчёте пучка одназа другой строятся С–-характеристики, начинающиеся в изломе изаканчивающиеся на оси х. Вдоль всех ЛТ пучка, включая ось х,газ разгоняется, и в некоторой точке оси d его число Маха станетравно М е . При одинаковых масштабах длины, плотности и скорости, в качестве которых удобно взять ординату точки a, критические плотность и скорость, ордината точки e° определится условием равенства расходов, протекающих через ЗЛ a°b и сечениевыхода ee°:aoy ρeVe = ν ∫ y ν−1 (cos θdy − sin θdx ) .νeob167(13)Выполнив с помощью равенства (13) согласование размеровна рис. 3.17, а и б и объединив их (рис.
3.17, в), придём к задачеГурса с данными на замыкающей С–-характеристике ad пучкаволн разрежения и на равномерной С+-характеристике de°, где θ ≡0, М ≡ М е , р ≡ р е . Её решение начинается от точки 3, расположенной около точки d, и ведётся по С–-характеристикам (ближайшей к ad и т.д.), каждый раз до точки 3, в которой ψ 3 > ψ а =1.
При её расчёте H 3 = H st , S 3 = S st и Г 3 = 0. Координаты точек ЛТae° и параметры газа на ней находятся квадратичной интерполянациейψ = 1 по трём точкам, принадлежащим одной С–-характеристике,включая точку 3 с ψ 3 > 1.
В работах [30, 31] приведены примерыпостроения широкого многообразия кольцевых сопел, также реализующих равномерный сверхзвуковой поток.Уравнения плоского и осесимметричного течения инвариантны при одновременном изменении знаков у х и v . Благодаря этому построенный контур сопла при зеркальном отражении относительно оси у превращается в контур воздухозаборника, безударно тормозящего равномерный набегающий поток с числомМаха М 0 = М е > 1. Однако, как и в рамках элементарной теорииГл.
3.3, течение торможения до дозвуковой скорости неустойчивопри любом уменьшении М 0 . В связи с этим интересны сопла Лаваля, разгоняющие равномерный сверхзвуковой поток с М m > 1 иθ m ≡ 0 до М е > М m при θ е ≡ 0 и постоянных прочих параметрах.Их зеркальное отражение даёт воздухозаборники, тормозящиеравномерный сверхзвуковой набегающий поток с М 0 = М е доравномерного сверхзвукового с М m < М е . Объединение такихвоздухозаборников с породившими их соплами при параллельныхнабегающему потоку внешних обводах даёт конфигурации (рис.3.17, г и д), не имеющие сопротивления.
Таким образом, парадокс Эйлера–Даламбера (отсутствие сопротивления при дозвуковом безотрывном обтекании тел идеальным газом) в некоторыхслучаях справедлив и при сверхзвуковом набегающем потоке.При ν = 1 конфигурация, изображённая на рис. 3.17, г, называетсябипланом Буземана (А. Буземан, 1935).Глава 3.7. Построение суперкритических профилей168Сокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, МСЗ – местная сверхзвуковая зона, МХ – метод характеристик, ТЖ –точка Жуге, УВ – ударная волна, УВР – ударная волна разрежения, ЦПВ – центрированная простая волна, ЦВР – ЦПВ разрежения.Суперкритическими назовём профили, при обтекании которых с образованием местных сверхзвуковых зон (МСЗ) нет УВ.Благодаря этому они, несмотря на наличие МСЗ, как и бипланБуземана, не имеют волнового сопротивления.
Рассматриваемыйниже способ их построения (Н. Sobieczky, 1979; А.Н. Крайко,К.С. Пьянков, 2000 [32]) интересен, по крайней мере, в двух отношениях. Во-первых, как ещё один пример применения методахарактеристик, и, во-вторых, использованием ненормального газа с ω рр ≡ (д2ω/др2) s < 0. Хотя ненормальный газ привлекаетсятолько на некотором вспомогательном этапе, это даёт возможность продемонстрировать ряд его необычных свойств. Одно изтаких свойств следует из справедливой для стационарного течения вдоль линии тока формулы (3.3.11):2(M 2 − 1) − M 2ρ3a 4 ω ppMp =.(1)2Mρa 2В силу неё для нормального газа на звуковой линии (ЗЛ) производная М р < 0. Поэтому при р < р ∗ , где р ∗ – критическое давление, отвечающее М = 1, поток становится сверхзвуковым.
Наоборот, для ненормального газа при р < р ∗ поток, звуковой при р =р ∗ , становится дозвуковым. Использование этого свойства ненормального газа – ключевой элемент описываемого метода.Пусть есть профиль, при обтекании которого заданным потоком нормального газа возникает МСЗ с, как правило, весьма интенсивным замыкающим скачком. На рис. 3.18, а изэнтропа нормального газа – жирная сплошная вогнутая кривая. Точка «0» наней даёт р 0 и ω0 набегающего потока с числом Маха М 0 , а точка«∗» – отвечающие им критические р ∗ и ω ∗ , реализующиеся на ЗЛ.Выпуклая штриховая кривая – изэнтропа ненормального газа,касающаяся сплошной кривой в критической точке. Изэнтропу169ненормального газа зададим формулой (а ∗ – скорость звука внормальном газе при р = р ∗ , ω = ω ∗ )p − p*ω = ω∗ − ω∗2+ α( p − p* ) 2(2)a*2с отрицательной константой α.
Согласно формуле (2) и определению скорости звука в любом газе в ненормальном газе:ω pp = 2α < 0, ( a −2 )∗ = ρ p∗ = − ω p∗ω∗−2 = a*−2 ,т.е. газ, определяемый изэнтропой (2), – действительно ненормальный, а на ЗЛ (в точке «∗») сплошная и штриховая кривыекасаются, что обеспечивает непрерывность скорости звука.Из равенства Тds = dh – ωdp следует, что h р ≡ (дh/др) s = ω.Это позволяет с помощью формулы (2) восстановить с обеспечением непрерывности в точке «∗» нужную для расчётов удельнуюэнтальпию ненормального газаω2α(3)h = h∗ + ω∗ ( p − p* ) − ∗2 ( p − p* ) 2 + ( p − p* )3 .2a*3Непрерывность а и h при всюду постоянной полной энтальпииобеспечивает непрерывность на ЗЛ скорости и числа Маха.Наряду с изэнтропой, проходящей через точку 0, рассмотримконтинуум других изэнтроп нормального газа, и при р = р ∗ – едином для всех них ω и h ненормального газа введём формулами (2)и (3).
В таком случае отличные от р ∗ величины с индексом «∗» –функции только энтропии, и формулы (2) и (3) дают зависимостьтермодинамических параметров ненормального газа от р и s.С учётом последнего замечания воспользуемся введённымвыше ненормальным газом для решения вспомогательной задачи. Последняя состоит в расчёте обтекания исходного профилякомпозитным газом, таким, что при р ≥ р ∗ его термодинамические параметры, включая скорость звука, совпадают с параметрами нормального газа, а при р < р ∗ определяются формулами (2)и (3).
Согласно выражению (1) для М р при стационарном течениикомпозитного газа с обеих сторон от ЗЛ число Маха М < 1. В ненормальном газе с уменьшением р скорость потока растёт, как ив нормальном газе, но скорость звука также растёт, причём растёт170быстрее. Как следствие этого в закритической зоне, где р < р ∗ ,поток дозвуковой, а поэтому – безударный.Расчёт обтекания профиля и нормальным, и композитным газом удобно проводить, интегрируя уравнения, описывающиедвумерные нестационарные течения, и используя процесс установления по времени. Идея процесса установления состоит в том,что при произвольных начальных и стационарных граничных условиях нестационарное решение обычно при больших временахперестает зависеть от времени, т.е.