А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3.33Вопрос о переходе от РО к МО не столь прост, как кажется напервый взгляд. По Л.Д. Ландау РО реализуется при θ 1 ≥ θ L , послечего происходит переход к МО сразу с криволинейным дискомМаха. По Дж. фон Нейману переход происходит раньше при достижении θ 1 = θ N . Величина θ N такова, что отвечающая ей СК 1 ,помеченная на рис. 3.32 буквой «N», пересекается с СК 0 на осиординат. В момент перехода реализуется течение, изображённоена рис. 3.32 в правом верхнем окне, с диском Маха в виде прямого скачка, с отраженным прямолинейным косым скачком сильного семейства, с параллельным стенке ТР и с горизонтальнымиоднородными дозвуковыми потоками под и над ТР.
Как уже отмечалось, при дозвуковой скорости за скачком (за диском Маха влевом окне и при отраженном скачке сильного семейства – вверхнем правом окне) стрелки на УВ не означают направленияраспространения возмущения вдоль УВ. В момент перехода давление за отраженной УВ изменяется (возрастает) скачкообразно,однако искривление диска Маха происходит непрерывно. В экспериментах переход от РО к МО и наоборот наблюдается и приθ 1 = θ N , и при θ 1 = θ L .С ростом интенсивности приходящей УВ или, что то же, сувеличением по модулю угла θ 1 точка θ = θ 1 на СК 0 приближается к критической точке, а число Маха М 1 – к единице.
Если М 1 →191→ 1, то СК 1 настолько уменьшается в размерах (особенно в ширину, ибо у УП угол при заостренной вершине стремится к нулю), что СК 0 и СК 1 перестают пересекаться в точках, отличныхот точки θ = θ 1 , р = р 1 – начальной точки СК 1 . Такая ситуацияизображена на рис. 3.33, а. Более того, при М 0 , близких к единице, СК 0 и СК 1 не пересекаются ни для каких интенсивностей приходящей УВ.
Отсутствие таких пересечений означает невозможность расщепления приходящей УВ, а следовательно, и МО. Темне менее в подобных ситуациях при невозможности РО экспериментаторы наблюдали трёхволновую маховскую конфигурацию,внешне неотличимую от изображённой в левом окне рис. 3.32.Дж. фон Нейман (1945) назвал наблюдение такой теоретическиневозможной ситуации парадоксом.Правда, ещё в 1940-х гг. К. Гудерлей, не зная работы Неймана, предложил схему, суть которой поясняет рис. 3.33.
Согласнопредположению К. Гудерлея в условиях парадокса Нейманареализуется не трёхволновое, а четырёхволновое взаимодействие. При этом в малой окрестности точки расщепления приходящего скачка отраженная УВ такова, что за ней число Маха М 2 ≤≤ 1 с М 2 = 1 только в его начальной точке о С . Следовательно, указанная точка для отраженного скачка является критической, причём сам скачок с учётом сделанной ранее оговорки оказываетсяне уходящим, а приходящим. Благодаря такому направлению отраженного скачка точка о С может быть фокусом неавтомодельной ЦВР из С+-характеристик.
На рис. 3.33 ЦВР отвечает отрезоко С о + . Начинающаяся с ЦВР местная сверхзвуковая зона располагается над ТР. В плоскости θр диску Маха отвечает отрезок о + о –СК 0 . Попытки обнаружить экспериментально, а позднее – методами сквозного счёта четырёхволновую конфигурацию оказались безрезультатными и о ней забыли.Разгадать парадокс Неймана удалось лишь в 1999 г. с помощью прецизионных расчётов (Е.И. Васильев, А.Н. Крайко [35]), вкоторых сеточные линии одного семейства разностной сетки,сгущающейся к точке о + , фокусировались в ней, а все УВ не размазывались, а строились явно.
При расчёте начало декартовойсистемы координат xy совмещалось с вершиной клина, а время tотсчитывалось от момента совпадения с осью у УВ I, бегущей192вправо с постоянной скоростью D. Схема дифракции УВ I наклине представлена на рис. 3.34, а, на котором наряду с УВ I,изображены отражённая УВ R, диск Маха М, точка пересечениятрёх УВ о + и прямая 0о + . Пока УВ I не дошла до конца клина,возникающее течение не отличается от дифракции на бесконечном клине, и в задаче нет констант с размерностями длины ивремени.
Следовательно, в автомодельных переменных ξ = x/(Dt)и η = y/(Dt) решение не зависит от времени, и точка о + движетсявдоль некоторого фиксированного луча 0о + . Расчёт вёлся установлением, при достижении которого в переменных ξη разностная сетка, связанная с явно выделяемыми УВ R и диском Маха M,и распределения параметров переставали зависеть от времени.Ryв)б)а)RIIo+o+MMRIo+M0xРис. 3.34На рис. 3.34, б, изображён фрагмент разреженной разностнойсетки в малой окрестности точки о + . На рис.
3.34, в нарисованылинии постоянства чисел Маха (изомахи), определённые с учётомотмеченной выше автомодельности течения (в локальной системекоординат, движущейся с точкой о + по лучу 0о + , течение в окрестности о + стационарно). Линия излома изомах – отличный отлуча 0о + контактный разрыв. Штриховые кривые – звуковые линии автомодельного течения. Изомахи, фокусирующиеся в точкео + , образуют неавтомодельную ЦВР. Расчёты показали, что в условиях парадокса Неймана реализуется схема К.
Гудерлея, однако размеры местной сверхзвуковой зоны с ЦВР в окрестности193точки расщепления о + составляют сотые доли от размера дискаМаха. Обнаруженный масштабный эффект – объясняет причину ненаблюдаемости четырёхволновой конфигурации и в экспериментах, и в грубых расчётах. В 2000 г. результаты, аналогичные описанным выше, опубликовали J.K.
Hunter, М. Brio [36]. Встатье B.W. Skews, J.T. Ashworth [37] наряду со ссылками на работы [35, 36] приведена картинка, полученная в первой из них.При падении УВ на ТР – границу струи с затопленным пространством (рис. 3.35, а) давление р 1 за УВ больше давления р 0перед УВ и в затопленном пространстве. Чтобы понизить давление за точкой прихода УВ на ТР, из неё выйдет ЦВР, которая ещёболее развернет поток до р 2 = р 0 . Если над ТР газ не покоится, атечёт с дозвуковой скоростью (рис. 3.35, б), то главное отличие втом, что в точке излома границы р = р st , где р st – давление торможения дозвукового потока.
Кроме того, неравномерности параметров, распространяющиеся во все стороны по дозвуковомупотоку, искривляют ТР, возмущая текущий под нимсверхзвуковой поток и приходящую УВ. Поэтому в целом такоетечение не автомодельно даже при занимающем всю нижнююполуплоскость равномерном (при х → – ∞) сверхзвуковом потоке. Несмотря на это, в малой окрестности точек взаимодействияпревалирует изменение параметров по угловой переменнойполярных координат с центром в точке взаимодействия.
Какрезультат – течение тем ближе к автомодельному, чем меньшеуказаннаяВзаимодействиеокрестность.УВ с ТР, разделяющим сверхзвуковые потоки, в случае М 0– > М 0+ > 1 представлено на рис. 3.35, в и г. Здесьот ТР отражается УВ. Если же М 0+ > М 0– > 1, то нетрудно показать, что от ТР отражается не УВ, а ЦВР.194a)V0 = 0, р = р0o– V1V0o+V2po– = рstp2 = р0–р1 > р0 СУВб)a+ > V+ ≥ 0ТРV0ЦВРo–ТРV2po+ = рsto+V1ЦВРС–р1 > рstУВв)M0– > M0+ > 1 УВV0+o–V0–УВг)pV1+ТР р2– = р1+o+V2–V1–р1– > р0СК1–СК0–СК0+УВθ1–θРис. 3.35Если перепад давления р 1 /р 0 в УВ 1 , падающей на стенку, превышает некоторую критическую величину, то из-за взаимодействия УВ с пограничным слоем её отражение принципиальноотличается от описанного выше.
При этом образуется отрывнаязона (рис. 3.36), скорость в большей части которой мала, а давление р ≈ р 1∗ , т.е. близко к постоянному. Отношение р 1∗ /р 0 – критический перепад давления в косой УВ 1∗ зависит от того ламинарный или турбулентный пограничный слой до точки его взаимодействия с УВ 1 , от величин γ, числа Маха М 0 , числа Рейнольдса и других безразмерных определяющих параметров. Согласноэкспериментам для турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке критический перепад и отношение длиныотрывной зоны к характерной толщине пограничного слоя –функции только γ и М 0 . В свете таких экспериментальных данных, а в остальном считая течение невязким, придём к картинеотражения, изображённой на рис.
3.36. Вне малой окрестности195пограничного слоя главное его влияние состоит в том, что вместоодной отраженной УВ получаются две (УВ 2 и УВ 4 ) и ЦВР междуними. Это отличие проявляется на расстояниях, много большихтолщины пограничного слоя и размеров отрывной зоны, и становится несущественным только за точкой пересечения УВ 2 и УВ 4 .УВ2УВ1ЦВР УВ4V1V0oУВ1∗V1∗УВ3 bТРp ≈ p1∗caРис.
3.36Задача взаимодействия двух однородных сверхзвуковых потоков, встречающихся под разными углами (рис. 3.37), во многоманалогична рассмотренной в Гл. 2.5 нестационарной задаче ораспаде произвольного разрыва. Однако здесь в отличие от нестационарного случая стационарное автомодельное решение, каки при обтекании бесконечного клина, существует не для любыхпотоков. Если же оно есть, то для нормального газа возможныйнабор течений, получающихся с использованием СК, как и вГл.
2.5, включает идущие в разные стороны от ТР: две УВ(рис. 3.37, а), две ЦВР (б), УВ и ЦВР (в). При расходящихся углах«встречи» возможно решение с зоной вакуума между ЦВР (г).Задача взаимодействия – ключевой элемент стационарного аналога разностной схемы С.К. Годунова (А.Н. Крайко и др., 1972).а)V0+УВV1+ТРV1–V0–УВб)V0+V0–ЦВРV1+ТРV1–в)V0+УВV1+ТРV0–ЦВРV1–ЦВРРис.
3.37196г)V0+ЦВР V1+ρ=0V0–ЦВРV1–Одно из приложений описанных выше результатов – нерасчётное истечение сверхзвуковых струй. Как правило, давлениеp b в концевой точке b контура ab сверхзвукового сопла реактивного двигателя отличается от давления р е в окружающем затопленном пространстве или в обтекающем летательный аппарат потоке. При p b < р е сопло и истекающую из него струю называютперерасширенными, а при p b > р е – недорасширенными.Схема истечения перерасширенной струи идеального газа изсимметричного плоского сопла с равномерным потоком в сечении 0b в затопленное пространство представлена на рис. 3.38, а.На нём bdgh – граница струи, bc – УВ, cd – УВ, отраженная отплоскости симметрии, def – ЦВР, возникающая при отраженииУВ от границы струи. В ЦВР def на отрезке ef плоскости симметрии при θ = 0 поток разгоняется, и идущие от ef С+-характеристики также образуют волну разрежения.
На участке границы gh дляобеспечения постоянства р вектор скорости поворачивается почасовой стрелке (при движении от точки g к точке h при р = р еугол θ уменьшается). В результате С–-характеристики, идущие отучастка gh, образуют волну сжатия, и струя сужается.a)yhgbc–da0cexfб)yba0fiecТРdxРис. 3.38Волна сжатия отражается от плоскости симметрии волнойсжатия. В ней до или после отражения из-за пересечения одно197имённых характеристик может возникнуть УВ. В результате кгранице струи после отражения от плоскости симметрии придётлибо непрерывная волна сжатия, либо – волна сжатия с УВ, либо– одна УВ.
Во всех перечисленных ситуациях для обеспеченияпостоянства давления угол θ на границе струи поворачивается наконечном участке границы или в точке против часовой стрелки, иструя вновь расширяется. В результате она приобретает бочкообразную форму, в линейном приближении – строго периодическую. В действительности из-за нелинейных эффектов и связанных с ними слабых УВ строгой периодичности нет даже при|р е /р b – 1| << 1. С другой стороны, в струйных задачах с удалением от среза сопла нарастает влияние неидеальности газа и неустойчивости ТР (границы струи).