А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 27
Текст из файла (страница 27)
удовлетворяет стационарнымуравнениям и граничным условиям.а)р0в)б)pСt22–2∗ω0t10p∗–ω∗J2–1x02ωωС+2–21x0J2–1ωРис. 3.18При интегрировании нестационарных уравнений с помощьюупоминавшихся в Гл. 2.5 распадных схем в композитном газе возникают интересные решения, невозможные ни в нормальном, нив ненормальном газе. В них в одну сторону от контактного разрыва могут распространяться УВ и примыкающая к ней ЦПВ.Две таких ситуации изображены на рис. 3.18, б и в, причём покарассчитываются нестационарные течения, имеют место УВ, иизэнтропы нормального и ненормального газа при р = р ∗ начинаются в разных точках. На рис. 3.18, б точка 1 с известными р = р 1и ω = ω 1 , отвечащая состоянию газа перед движущейся по немувлево ЦПВ, принадлежит нормальному газу, а точка 2 с заданнымр 2 < р 1 и с пока неизвестным ω2 > ω 1 расположена в области параметров, отвечающих ненормальному газу.
В плоскости ωр напрямой р = р ∗ параметры нормального и ненормального газа не171прерывны, в частности, непрерывны s и наклон изэнтроп. В нормальном газе (например, в совершенном) росту s отвечает движение изэнтроп в плоскости ωр вправо и вверх (с одновременной ихдеформацией). Следовательно, на нижней изэнтропе s больше,чем на верхней (s 2 > s 1 ). Покажем, что в данном случае переходиз точки 1 в точку 2 осуществляется в ЦВР и в примыкающей кней УВ разрежения (УВР), как изображено на xt-диаграмме (тонкие прямые – С−-характеристики, жирная – траектория УВ).Так как течение в ЦВР 1–2 − изэнтропично, тоs 2 − ≡ s(p 2 − ,ω 2 − ) = s 1 ,(4)где индекс «2−» приписан параметрам на правой границе ЦВР,совпадающим с параметрами перед УВ разрежения.
На любойУВ выполняется уравнение ударной адиабаты (1.4.5):ω + ω2(5)h( p2− , ω2− ) − h( p2 , ω2 ) − 2−( p2 − − p2 ) = 0 .2При известных параметрах газа слева от ЦВР (с индексом «1»),заданном давлении р 2 и известных уравнениях состояния – функциях s(p,ω) и h(p,ω) для нормального и ненормального газов двухуравнений (4) и (5) недостаточно для определения трёх неизвестных: ω2 , p 2− и ω2− . В ситуации, изображённой на xt-диаграммерис. 3.18, б, когда траектория УВ совпадает с траекторией замыкающей характеристики ЦВР, прямая Рэлея–Михельсона 2 − –2касается верхней изэнтропы. Здесь точка 2 − совпадает с точкойЖуге – ТЖ (J) для потока перед скачком, в которой выполняетсяусловие касания. С учётом уравнения прямой Рэлея–Михельсона(1.4.4) для общего случая ЦВР из С+- или из С−-характеристик этоусловие принимает видp − p2−ρ2− a22− = 2.(6)ω2 − − ω2Так как а 2− – известная функция p 2− и ω 2− , а ρ = 1/ω, то три уравнения (4) – (6) при вогнутых верхних изэнтропах и выпуклыхнижних однозначно определяют ω2 , p 2− и ω2− .
Этим определяются интенсивности ЦВР в нормальном газе и УВР с параметрамиперед ним в нормальном, а за ним в ненормальном газе, причём,как и должно быть, s 2 > s 2− = s 1 .172Выбор ТЖ в качестве точки 2 − требует дополнительногообоснования. Предположим, что это не так, и точка 2 − лежит наверхней изэнтропе под точкой J. Тогда в точке 2 − модуль наклонакасательной к верхней изэнтропе |dp/dω| 2− = |(др/дω) s | 2− = (ρ2a2) 2−меньше модуля наклона прямой Рэлея–Михельсона: (ρ2a2) 2− < j2 == ρ2 2− (V 2− – D)2, где V и D – скорости газа и УВ. Отсюда (a2) 2− << (V 2− – D)2, и скорость УВ относительно газа перед ней сверхзвуковая. В случае xt-диаграммы рис.
3.18, б такое было бы возможно не для точки 2 − , лежащей под точкой J, а при отсутствииЦВР – совпадении точек 2 − и 1. Следовательно, решение с точкой2 − под ТЖ невозможно. Также доказывается, что для точки 2 −над ТЖ скорость УВ относительно потока перед ней дозвуковая.Это отвечает xt-диаграмме с сектором постоянных параметровмежду УВ и последней характеристикой ЦВР. УВ, скорость потока относительно которой с обеих сторон дозвуковая (соответствующее неравенство в точке 2 получается аналогично), подобна фронту пламени без дополнительного условия на его скорость(Гл.
2.6). Такая УВ неэволюционна и должна быть отвергнута.Остаётся единственная возможность с совпадающими точками 2 −и J.Ситуация с точкой 1 под прямой р = р ∗ анализируется аналогично. Для неё решение в плоскости ωр и xt-диаграмма (для волны, движущейся относительно газа вправо) представлены на рис.3.18, в. Здесь ЦПВ сжатия из С+-характеристик в ненормальномгазе замыкает УВ уплотнения, движущаяся относительно газа созвуковой скоростью.Возвращаясь к профилированию суперкритического профиля,опираясь на опыт расчётов, будем исходить из того, что для достаточно произвольной константы α в уравнении изэнтропы ненормального газа (2) течение композитного газа вокруг исходного профиля, контур которого на рис 3.19 дан сплошной кривой,установилось, т.е. вспомогательная задача решена.
Ввиду отсутствия УВ получившееся стационарное течение изэнтропическое.Вне конечной закритической зоны, ограниченной ЗЛ adb, этотечение, описываемое уравнениями нормального газа, удовлетворяет заданным условиям на бесконечности и условиям непро173текания на профиле, за исключением лежащего в закритическойзоне участка ab. Тем не менее построенное течение принципиально отличается от того, которое получается при обтекании данного профиля не композитным, а нормальным газом.
Согласносказанному ранее, при его обтекании тем же набегающим потоком нормального газа, т.е. при тех же условиях на бесконечностии при том же условии непротекания на профиле (вне участка ab!)МСЗ замыкалась интенсивным скачком. Следовательно, для сохранения безударного течения нормального газа в МСЗ, ограниченной ЗЛ adb, которая получилась из решения вспомогательнойзадачи, нужно скорректировать участок ab.dVabC+C–сРис. 3.19При наличии ЗЛ, построенной во вспомогательной задаче,коррекция участка ab сводится к решению методом характеристик (МХ) задачи Коши для нормального газа с начальными данными на adb.
На рис. 3.19 изображена область определённости ЗЛadb – криволинейного основания перевернутого характеристического треугольника acb, течение в котором в принципе можнорассчитать МХ. На самом деле, для построения скорректированного участка ab, показанного на рис. 3.19 штрихами, расчёт МХведётся до каждой новой точки с отрицательным значениемфункции тока (на профиле функция тока ψ = 0). Найденная в ре174зультате такого расчёта новая линия тока (ЛТ) ab и есть искомыйучасток контура. Во вспомогательной задаче и в задаче Коши ψ а= ψ b = 0. Поэтому с точностью до погрешностей счёта новая ЛТсоединяет точки а и b, причём без изломов в этих точках.
ЗадачаКоши имеет решение не при любых значениях константы α. Наотсутствие решения указывает пересечение одноимённых характеристик при ψ ≥ 0. Однако опыт расчётов подтвердил возможность такого выбора целого интервала значений α, при которыхкоррекция осуществима. Можно показать, что скорректированный профиль тоньше исходного.б)а)1.01.01.11.11.2Рис.
3.20Пример коррекции профиля, обтекаемого потоком совершенного газа с γ = 1.4 при М 0 = 0.8 и фиксированном коэффициентеподъёмной силы С y = 0.55, приведён на рис. 3.20. Представленыраспределения чисел Маха для исходного профиля (а) и профиляс подправленной верхней образующей (б). Сгущение изолинийчисла Маха у правой границы МСЗ над исходным профилемпредставляет замыкающий скачок. На рис.
3.20, б такого сгущения нет. При сохранении длины хорды и С y площадь скорректированного профиля уменьшилась на 4.9 %.Глава 3.8. Ударная поляра. Обтекание клина175Сокращения: ЗЛ – звуковая линия, СК – сердцевидная кривая, ТР– тангенциальный разрыв, УВ – ударная волна, УП – ударная поляра, ЦВР – центрированная волна разрежения.В задачах со стационарными УВ часто нужно знать, как приизвестном набегающем потоке величина вектора скорости за УВсвязана с его углом поворота.
Эту связь даёт уравнение ударнойполяры (УП). Для произвольной стационарной УВ уравнение УПсправедливо в точках с однозначно определённой нормалью.УВyV0Vϕu0vu0 = V0xРис. 3.21Пусть V 0 – вектор скорости набегающего потока перед точкой о УВ, а n – орт внутренней нормали к ней, такой, что V n0 == (n⋅V 0 ) > 0. Ось у локальных декартовых координат xyz с началом в точке о и с осью х, направленной по вектору V 0 , сориентируем так, чтобы орт n лежал в плоскости ху. При таком выбореосей х и у ось z касается УВ, проекция V 0 на неё равна нулю, а всилу сохранения на УВ касательной компоненты проекция на осьz вектора скорости V за УВ также равна нулю.
Итак, векторы V 0и V лежат в плоскости ху (рис. 3.21), u 0 = V 0 , v 0 = 0 и u, v – проекции V 0 и V на оси х и у. Здесь и далее символы без индексаобозначают параметры за УВ, а с индексом «0» – перед ней.Для вывода уравнения УП, связывающего при заданном V 0компоненты скорости или её модуль и угол поворота потока заУВ, воспользуемся условием непрерывности касательной к УВкомпоненты скорости и соотношением Прандтля (1.4.32). Если ϕ– угол наклона УВ к оси х, то (рис. 3.21) первое из них дастV −utgϕ = 0.(1)v176В принятых обозначениях соотношение Прандтля имеет вид2Vn0Vn = a*n, Vn0 = V0 sin ϕ, V n = u sin ϕ − v cos ϕ .(2)Согласно выводу, выполненному в Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
