А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Развернувшийся к плоскостисимметрии сверхзвуковой поток поворачивается в УВ, близкой ккосому скачку, а затем течёт параллельно оси х (рис. 3.26).182Рис. 3.27Для течений, изображённых на рис. 3.25 и 3.26, в приближении идеального газа можно построить однопараметрическое семейство решений с p b в качестве параметра.
На самом деле, заклином образуется зона обратных токов, а над ней зона смешения, от границы которой отходят волны сжатия. Нужно выбратьтакое давление p b , чтобы в зоне обратных токов выполнялся закон сохранения массы, т.е. масса подсасываемого в зону смешения газа была равна массе газа, поворачивающегося в зону обратных токов при его торможении. При нестационарном расчётеполучается дышащая донная область, где давление колеблетсяоколо некоторой величины p b , зависящей от толщины пограничного слоя, а также от того, какие интегрируются уравнения Эйлера – двумерные или трёхмерные. Согласно расчётам А.Н.
Крайкои К.С. Пьянков (2006 [34]) в течении, которое реализуется в двумерном приближении (рис. 3.27 с изображением мгновенногополя температуры при М 0 = 2 и ω = 19.65°), значение p b намногоменьше известной экспериментальной величины. Интегрирование трёхмерных уравнений Эйлера даёт значения p b , близкие кнаблюдаемым в эксперименте.183р/р0V0V0VVСV0VV010θmVθРис. 3.28Для решения ряда задач, в первую очередь, задач взаимодействия поверхностей разрыва, удобна ударная поляра, построеннаяв координатах p/p 0 , θ (рис. 3.28, θm – максимальный угол поворота потока в косом скачке, С – критическая точка, в которой числоМаха за УВ равно единице).
На рис. 3.28 в точке θ = 0, p/p 0 = 1 кУП плавно примыкают С±-характеристики с рис. 3.9, б (Гл. 3.6),описывающие ЦВР. Получившуюся комбинацию называют сердцевидной кривой (СК).Для вывода уравнения ударной части СК в уравнениях (1), (2)и (4) компоненты вектора скорости выразим через V и θ. Уравнение ударной поляры (4) в таких переменных станет(V − V cos θ) 2 (V0V cos θ − 1).(6)V 2 sin 2 θ = ( γ + 1) 0 22V0 − ( γ + 1)(V0V cos θ − 1)При скорости, плотности и давлении, отнесённых к а ∗ , ρ 0 иρ 0 а ∗ 2, условия сохранения расхода и нормальной компонентыимпульса имеют видρVn = Vn0 , p − p0 = Vn0 (Vn0 − Vn ) .(7)Воспользуемся формулами (2) для V n0 и V n с исключёнными изних тригонометрическими функциями угла наклона скачка ϕ спомощью равенства (1), переписанного в формеV − V cos θtgϕ = 0.V sin θПолученные выражения для V n0 и V n сводят условия (7) к форме184ρV0 z cos θVV2 + z, V≡ = 0, z = p0 − p ≤ 0 .
(8)=22ρ0 V (V0 sin θ + z )a∗ V0 cos θПодстановка выражения для V в формулу (6) даёт уравнение СК:z 2 (V02 − 1 + z ), 1 − V02 ≤ z ≤ 0 .(9)δ2 ≡ tg 2 θ = Φ 2 ( z ) = 2(V0 + z )2 (1 − εV02 − z )Наконец, с учётом способа обезразмеривания давленияp( z )2 γz= 1−.(10)1 − εV02p0Формулы (9) и (10) дают параметрическое представление СК с z вкачестве параметра, причём z = 1 – V 0 2 отвечает прямому скачку,а z = 0 – УВ нулевой интенсивности (С+ и С–-характеристикам).При V = 1 равенство (6) даёт квадратное уравнению для cosθ.Его положительное, не превышающее единицу решение определяет угол поворота потока θ ∗ , при котором число Маха за УВравно единице:κ(V02 + 3) − Δθ∗ = arccos,4 γV0ρ≡Δ = κ 2 (V02 + 3) 2 − 8γ[(2 + κ )V02 + κ ], κ = γ + 1.Подстановка V = 1 и θ = θ ∗ в формулы (8) определит ρ ∗ /ρ 0 и z ∗ , аподстановка z ∗ в формулу (10) – отношение p ∗ /p 0 .Также квадратное уравнение, но для определения zm – величины параметра, отвечающего максимальному повороту потока,получится из равенства dФ/dz = 0 c функцией Ф(z) из уравненияСК (9).
Приемлемый корень квадратного уравнения есть4 − (1 + 3ε)V02 − Δzm =≤ 0,2(1 + ε)Δ = [4 − (1 + 3ε)V02 ]2 + 8(1 + ε)(1 − εV02 )(V02 − 1) .Две точки СК с θ = ± θ(zm) получаются подстановкой zm в формулы (9) и (10), а ρm/ρ 0 и Vm – подстановкой z m в формулы (8). НаСК «критические» точки, отвечающие звуковому потоку за УВ,лежат ниже точек его максимального поворота.185В задаче обтекания клина по известному углу поворота потока θ требуется найти все параметры за УВ. Такая задача сводитсяк нахождению корней кубического уравнения (δ2 = tg2θ)z 3 + rz 2 + sz + t = 0,221 + (2 + ε)δ2 22 (1 + 2ε )V0 − 222 1 − εV0V04 ,V−1,s=δV,t=−δ001 + δ21 + δ21 + δ2получающегося из уравнения СК (9). Так как z = p 0 – p, то скачкам уплотнения отвечают неположительные его корни.
Два такихкорня, существующих при 0 ≤ |θ| ≤ θm, даются формулами1r ( θ) s( θ) 2 3P = P( θ) = s ( θ) − r 2 ( θ), Q = Q ( θ) = t ( θ) −+ r ( θ) ,3327| P ( θ) |Q ( θ)R = R( θ) = [signQ (θ)], φ = φ( θ) = arccos 3,32 R ( θ)φ r⎛ φ 4π ⎞ rz + ( θ) = −2 R cos − , z − ( θ) = −2 R cos ⎜ +⎟− .3 3⎝3 3 ⎠ 3в которых индексы «+» («–») метят параметры за УВ сильного(слабого) семейства.
При |θ| = θm эти корни совпадают. При заданном θ и найденных z± формулы (8) и (10) определяют отвечающие им отношения ρ±/ρ 0 , V±/a ∗ и p±/p 0 .r=Глава 3.9. Взаимодействие поверхностей разрыва.Нерасчётное истечение сверхзвуковых струйСокращения: МО – Маховское отражение, РО – регулярное отражение, СК – сердцевидная кривая, ТР – тангенциальный разрыв, УВ – ударная волна, УП – ударная поляра, ЦВ – центрированная волна, ЦВР – центрированная волна разрежения.В задачах взаимодействия поверхностей разрыва важное понятие – направление УВ, которое определяется направлениемтангенциальной компоненты вектора скорости перед УВ (рис.3.29, а). Направление УВ показывает, как за её фронтом распространяются возмущения давления. В этом смысле на рис.
3.29, аУВ ao и bo приходят в точку их пересечения o, а УВ oc и of выходят из неё. Если поток за УВ дозвуковой, то возмущения давления за УВ распространяются во все стороны, и введённое понятие186теряет смысл. Аналогично определяется направление характеристик. Так, С–-характеристика oc и связанная с нею ЦВР на рис.3.29, б выходят из точки о.fV0а)УВoV0V1УВV0V1cУВaУВЦВРV2УВθ1 bТРoУВУВV2б)fV0ТРθ2aθ1 bcθ2Рис. 3.29Поверхности разрыва могут пересекаться.
На малом отрезкелинию их пересечения L можно считать прямой. Проекция на Lскорости потока V перед пересекающимися УВ касается обеихУВ и, следовательно, не изменяется. Поэтому о ней можно забыть, т.е. рассматривать взаимодействие как двумерное, учитывая только те проекции V, которые в окрестности данной точкилинии L параллельны плоскости, нормальной к L.Рассмотрение взаимодействий поверхностей разрыва начнёмс пересечения УВ, приходящих на L (на рис.
3.29 – в точку о) содной стороны. На рис. 3.29 набегающий поток (с индексом «0»)поворачивается против часовой стрелки (на положительные углыθ). Поэтому для анализа взаимодействия УВ нужна только праваячасть сердцевидной кривой СК 0 (рис. 3.30). В УВ ао поток поворачивает на угол θ 1 , давление р 1 определится пересечениемштриховой вертикали θ = θ 1 с СК 0 . Идущая по потоку «1» в точку о УВ bо поворачивает его против часовой стрелки (относительно угла θ 1 на положительный угол).
Этим определяются правые части СК 1 на рис. 3.30. На СК 1 найдём точку θ = θ 2 и определим все параметры, включая число Маха М 2 за УВ bo. Для М =М 2 строим СК 2 . Уходящая по потоку «2» из точки о УВ ос повернет его по часовой стрелке (относительно угла θ 2 на отрица187тельный угол), а ЦВР – против часовой стрелки (относительноугла θ 2 на положительный угол).
Этим определяются части СК 2на рис. 3.30 (включая нижний ус, описывающий ЦВР).а)pСК1СК2б)pСК2СК0СК0θθθ1СК1θ1 θ2θ2Рис. 3.30Вверх от точки пересечения УВ ао и bo по невозмущённомупотоку может уходить (рис. 3.29) только УВ of, которая поворачивает поток против часовой стрелки (на положительный угол) и,следовательно, описывается уже нарисованной на рис. 3.30 правой частью СК 0 . Потоки, прошедшие под и над точкой о, можетразделять тангенциальный разрыв (ТР), который на рис. 3.29дан штрихами.
На ТР р и θ не рвутся. Поэтому решение даютточки пересечения СК 0 и СК 2 на рис. 3.30, а и б. Верхние точкиотвечают решениям со скачками большей интенсивности, а нижние – меньшей. Обычно реализуются вторые, что, кстати, согласуется с принципом минимального производства энтропии неравновесной термодинамики. Итак, в случае рис. 3.29, а вниз източки о уходит УВ ос, а в случае рис. 3.29, б – ЦВР.188а)СК1θ1УВV0V1СК2УВoУВб)pСК0ТРV2УВθ2θ1θ2θРис.
3.31На рис. 3.31, а УВ приходят в точку о с разных сторон. Дляполучения решения используются СК (рис. 3.31, б) – СК 0 , СК 1 иСК 2 . Вновь получаются две точки пересечения, из которых потой же причине выбирается нижняя. Важный частный случай рассмотренного взаимодействия отвечает приходящим УВ равнойинтенсивности (θ 2 = – θ 1 ).
Благодаря симметрии отраженные УВтакже имеют одинаковую интенсивность, а направление ТР, переставшего быть разрывом, совпадает с направлением набегающего потока. В приближении идеального газа линию тока, проходящую через точку о, можно заменить стенкой. Более того, именно эксперимент с θ 2 = – θ 1 позволяет моделировать отражениекосой УВ от твердой стенки в идеальном газе. Проследим эволюцию взаимодействия симметричных УВ (или что то же – отражение УВ от стенки) с ростом интенсивности УВ. При анализе достаточно рассмотреть половинку СК 0 и только СК 1 , которая нарис. 3.31, б отвечает течению за верхней косой УВ, а на рис. 3.32– УВ, приходящей к стенке (падающей на неё).189po+M-No–MMNLRo+o–θθM θL θN θRРис.
3.32Пока интенсивность приходящего на стенку скачка невелика,реализуется регулярное отражение (РО). Ему на рис. 3.32 отвечают правое нижнее окно, символ «R» и значение θ = θ R . РО реализуется в широком диапазоне интенсивностей падающего скачка. За отраженным скачком поток параллелен стенке, а давлениеопределяется пересечением правой половинки соответствующейСК 1 (на рис. 3.32 нарисованы только они и СК 0 ) с осью ординат(θ = 0). При θ 1 < θ L пересечения СК 1 с осью ординат отсутствуют, и РО становится невозможным (СК 1 , отмеченная на рис. 3.32буквой «L», касается оси ординат при θ 1 = θ L ).
Для θ 1 < θ L , покапересекаются СК 1 и СК 0 , реализуется нерегулярное или маховское отражение (МО). На рис. 3.32 ему отвечают левое окно,символ «М» и θ = θ М . При МО имеет место расщепление падающего скачка на отраженный и диск Маха о – о + . В плоскости θрточка о + их пересечения (тройная точка) располагается на дозвуковых участках СК 0 и СК 1 . Поэтому оба потока за отраженнымскачком, по крайней мере, вблизи тройной точки и за всем диском Маха дозвуковые, а угол θ в тройной точке отрицательный.Из-за этого и отраженный скачок, и диск Маха искривлены. Вплоскости θр отрезку о – о + физической плоскости отвечает отрезок о – о + СК 0 . В точке о – УВ становится прямым скачком.R190а)б)po–СК0СК1V0УВoCo+V1УВM<1M>1o+УВM<1ТРo–θ1θРис.