А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 32
Текст из файла (страница 32)
С уменьшением угла ϕ от ϕ 0 = π – μ 0 сначала одновременноуменьшаются обе компоненты вектора скорости и N = a2 – V n 2.Поскольку на начальном конусе Маха v = N = 0, то они становятся отрицательными. Таким образом, сверхзвуковой потоктормозится, наклон его вектора скорости V становится отрицательным, а проекция V на нормаль к лучам ϕ = const – сверхзвуковой. Согласно второму уравнению (2) в ОКТ возможно лишьодновременное обращение в нуль N и v . Однако, опираясь науравнения (2), можно показать, что этого не происходит, т.е. ониостаются отрицательными. Как следствие этого, согласно уравнению (4) ККТ С на рис. 3.40, б везде вогнутая, а в силу второгоуравнения (2) u уменьшается вместе с уменьшением угла ϕ.
При203ϕ = π/2 касательная к С горизонтальна, v достигает минимума, азатем при ϕ < π/2 из-за изменения знака ctgϕ в согласии с уравнением (3) начинает расти, не достигая, однако, нулевого значения.a)M0 > 1Vn0 = a0 V0б)Vn0 = a0vyC0−a–УВM + > 1 a0ϕ0 ϕS x0–μ0УПϕS0V–V0 uV+CРис. 3.40С другой стороны, из отрицательности N следует, что V n > a,и появляется возможность получения v = 0 за УВ, которая, совпадая с лучом ϕ = ϕ s < π/2, поворачивает поток против часовойстрелки.
Для определения ϕ s введём обозначения V – = V(ϕ s ) иМ – = М(ϕ s ) > 1 и для каждого М – построим на векторе V – ударную поляру (УП на рис. 3.40, б). Пересечение этой УП с осью uдаст параллельный оси х вектор скорости V + за УВ. Угол наклонаУВ к оси х должен совпадать с углом наклона σ = σ(ϕ s ) к оси uнормали, опущенной из начала координат плоскости годографана прямую, проведённую через концы векторов V – и V + . Равенство ϕ s = σ(ϕ s ) определяет угол ϕ s . В приближении идеального газалинии тока построенного ОКТ можно заменить твердыми стенками.
Получающийся при этом осесимметричный канал называют диффузором Буземана (А. Busemann, 1942).Если ОКТ примыкает к равномерному потоку по начальномуконусу Маха, направленному по потоку (рис. 3.41, а), то ϕ 0 = μ 0 ,и неравенства (10) заменятся наv 0′ < 0, v 0′′ < 0, uϕ 0 < 0, v ϕ 0 > 0, N ϕ 0 < 0 .Согласно им на оси u ККТ С выпуклая (рис. 3.41, б), u и Nс уменьшением угла ϕ растут, а v – уменьшается. Так как на начальном конусе Маха v = N = 0, то компонента v становится отрицательной (по модулю растёт), а N = a2 – V n 2 – положительной.204Следовательно, поток разгоняется и поворачивает к оси симметрии.
При этом нормальная к лучам ϕ = const компонента вектораскорости становится дозвуковой. Рассматриваемое течение (см.ниже) возможно, только вне некоторой примыкающей к полубесконечному цилиндру «кормовой части» тела вращения. На рис.3.41, а образующие цилиндра и кормовой части даны жирной линией, которая начинает искривляться после пересечения с С+характеристикой C0+ – образующей начального конуса Маха.Согласно уравнениям (2) разгоняться и оставаться сверхзвуковым (при постоянных Н и s рост V ведёт к росту числа Маха)исследуемое ОКТ будет, пока не сменятся знаки v или N.
Однаков силу тех же уравнений даже знак производной v ϕ может измениться лишь после смены знака N, и только позднее v , в принципе, станет нулем. С другой стороны, согласно второму уравнению(2) непрерывное продолжение решения за луч, на котором N = 0,невозможно, если на нём v ≠ 0.
Итак, либо ОКТ разгоняется дооси симметрии ϕ = 0, где v (0) < 0, либо N(ϕ + > 0) = 0 при v (ϕ + ) <0, и за луч ϕ = ϕ + ОКТ продолжить нельзя.ya)V0vC0+M0 > 1 Vn0 = a0a0μ00ϕ+0xб)Vn0 = a0μ0V0CV+uϕ+Рис. 3.41Первая альтернатива отпадает по тем же соображениям, покоторым в Гл. 3.9 показана невозможность регулярного отражения УВ от оси симметрии. Следовательно, есть предельный луч ϕ== ϕ + , на котором N + = 0 и V n+ = a + . По направлению он совпадаетс С+-характеристикой (ϕ + = θ + + μ + ). Поскольку на этом луче р и205θ постоянны, причём θ + ≠ 0, то на нём не выполняется условиесовместности (3.4.20+).
Поэтому предельный луч – огибающаяС+-характеристик. Согласно равенствам (2) на предельном лучепроизводные по ϕ от всех параметров бесконечны. Построеннуюс использованием такого ОКТ (А.А. Никольский, 1949) кормовуючасть можно закончить при любом ϕ ≥ ϕ + . При этом ОКТ сохранится левее идущих от концевой точки кормовой части УВ илиС+-характеристики.В задаче обтекания равномерным сверхзвуковым потокомбесконечного кругового конуса (А. Буземанн, 1929) отсутствуетхарактерный линейный размер.
Поэтому если при нулевом углеатаки реализуется стационарное течение, то его параметры –функции только отношения у/х (рис. 3.42, а). В силу этого УВ –также круговой конус, и её наклон, интенсивность и приращениеэнтропии постоянны.За УВ v > 0, а нормальная к ней компонента скорости V + дозвуковая. Поэтому N + = a+2 − Vn2 > 0, и в силу уравнения (4) ККТ Спри ϕ = ϕ s – вогнутая кривая. В силу уравнений (2) и (7) при любых ϕN ϕ = −(u − v ctgϕ)[ρ3a 4 ω pp uϕ + 2(u cos ϕ + v sin ϕ)sin ϕ],(11)(V 2 )ϕ / 2 = (u − v ctgϕ)uϕ , u − v ctgϕ = Vn / sin ϕ, uϕ = a 2v / N .Первый множитель правых частей, положительный за УВ, согласно условию непротекания на образующей конуса (ϕ = θ с )уменьшается до нуля.
Согласно уравнениям (2) и (11) при положительных N и v производные u ϕ > 0, (V 2) ϕ > 0, a v ϕ < 0. Наконец, для нормальных газов квадратная скобка в первом уравнении (11) заведомо положительна, и, как следствие этого, N ϕ < 0. Всилу выписанных неравенств при уменьшении ϕ от ϕ s до θ с поток тормозится, u уменьшается, N и v растут, и ККТ С остаётсявогнутой. При ϕ = θ с нормаль к С на рис. 3.42, б направлена пообразующей конуса на рис.
3.42, а, выполняется условие непротекания: u = v ctgθ с и вектор скорости V c перпендикулярен ККТС (3.41, б).206vа)yб)УВrϕЯКЛТϕsθсCУПV+mϕs θcx0C1Vcθсϕsa∗0uV0Рис. 3.42Для фиксированного набегающего потока концевые точкиККТ, отвечающих всей УП, образуют в плоскости годографа(рис. 3.42, б) яблоковидную кривую (ЯК). Прямая УВ и УВ нулевой интенсивности (конус Маха) возможны при обтекании конуса с θ с = 0. За УВ он (полуось х > 0) не возмущает поток. Поэтомуна оси u начальная и конечная точки УП и ЯК совпадают. ЯКудобно строить, выпуская ККТ из разных точек УП. Если УП, ЯКи сетка соединяющих их ККТ построены, то задача обтеканияконуса с заданным полууголом при вершине θ с решается аналогично задаче обтекания клина с тем отличием, что при обтеканииконуса роль УП играет ЯК.
В соответствии с этим максимальныйугол конуса θcm , при котором есть ОКТ с присоединенной УВ,больше максимального угла клина.а)в)б)УВУВУВM>1M>1ЗЛЗЛM<1θсθсРис. 3.43207ПВРТРθсПри обтекании бесконечного конуса двум точкам пересечения ЯК с прямой, проведённой под углом θ с из начала координатплоскости годографа, отвечают два стационарных ОКТ. Правойточке отвечает УВ слабого семейства, а левой – сильного. Относительно выбора решения для конуса сохраняют силу соображения Гл. 3.8, связанные с обтеканием клина.Новыми в задаче обтекания конуса являются режимы с УВслабого семейства и с дозвуковым потоком, примыкающим к конусу.
Эти режимы реализуются из-за того, что часть вогнутыхККТ (например, С 1 на рис. 3.42, б) пересекает выпуклую звуковую окружность. На рис. 3.43, а и б представлены два режимаобтекания бесконечного конуса: сверхзвуковой (а) и смешанный(б). Тонкими кривыми нарисованы С+ и С–-характеристики.
Еслина образующей бесконечного конуса М ≥ 1, то, как и в случаеклина, течение в конечной области вблизи наветренной (обращенной к набегающему потоку) поверхности его конечного варианта такое же, как для бесконечного конуса. При смешанном режиме возмущения, вызванные обтеканием задней кромки с образованием пучка волн разрежения (ПВР – на рис. 3.43, в), распространяясь по дозвуковой зоне, искривляют звуковую линию иУВ. Однако в вершине конуса течение и в этом случае остаётсяконическим (в смысле зависимости параметров от угла ϕ).Глава 3.11. Двумерные конические теченияСокращения: КЗЛ – коническая звуковая линия, ЛТ – линия тока,КЛТ – коническая ЛТ, КП – конические переменные, КТ – коническое течение, ТФ – точка Ферри, УВ – ударная волна, УКТ –уравнения конического течения.1.
Конически до- и сверхзвуковые течения. При обтеканииоднородным сверхзвуковым потоком конических тел нет характерного линейного размера. Поэтому при совмещении начала координат с их вершиной (рис. 3.44) параметры стационарных течений, возможных при таком обтекании, – функции двух конических переменных (КП) η = y/x и ζ = z/x или угловых сферическихпеременных, не завися от каждой декартовой координаты x, y и z208или от радиальной координаты r. Такие течения назовём коническими (КТ), а описывающие их двумерные уравнения – УКТ.По аналогии с плоскими и осесимметричными течениямиможно ожидать, что тип двумерных УКТ определит число Маха,вычисленное без радиальной компоненты вектора скорости V.Действительно, УКТ в сферических координатах при отсутствиичастных производных по r включают умноженные на 1/r производные по сферическим углам ϑ и φ и пропорциональные 1/r свободные члены.