Главная » Просмотр файлов » А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс)

А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 31

Файл №1161636 А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс)) 31 страницаА.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636) страница 312019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Поэтому распределения, получающиеся в рамках стационарного течения идеального газа, интересны в пределах одной-двух бочек.С ростом нерасчётности струи – отношения р е /р b сначала РОУВ bc в точке с сменится МО, с образованием диска Маха. Затемвеличина р е /р b превысит значение, отвечающее для фиксированного М b максимальному углу поворота потока, однако ещё раньше будет превышен упоминавшийся выше критический перепадр 1∗ /р 0 , связанный с взаимодействием УВ с пограничным слоем. Сэтого момента система УВ, начинающаяся косой УВ с критическим перепадом, войдёт в сопло.

При этом в рамках отрывноймодели элементарной теории Гл. 3.3 косая УВ займет положение, при котором перепад давления на ней сравняется с новымкритическим («новым» из-за изменения параметров перед ней).В осесимметричном случае при р е /р b > 1 отражение УВ bc отоси симметрии не может быть регулярным. Чтобы доказать это,проведём С–-характеристику с–с. Вдоль неё выполняется условиесовместности (3.4.21–):⎡ sin θ sin μ w2⎤ dyctgμ(1)dθ −dp−+ 2 ctg( θ − μ) ⎥= 0.⎢2ρV⎣ sin( θ − μ ) V⎦ yЗа косой УВ угол θ ≠ 0, а коэффициент перед dy/y при приближении к оси струи – знакоопределённая функция.

Поэтому, проинтегрировав левую часть уравнения (1) от точки с– до точки с, получим неограниченный интеграл от слагаемого с dy/y, который не198могут скомпенсировать конечные интегралы от двух первых слагаемых. Следовательно, такая С–-характеристика не доходит дооси симметрии, что возможно в двух случаях: 1) нерегулярногоотражение с образованием диска Маха, 2) реализацией междупадающей и отраженной УВ центрированной волны (ЦВ) – конического течения c М < 1 за падающей УВ и с М > 1 перед отраженной УВ. Анализ свойств такой ЦВ в рамках изложенной в Гл.3.10 теории конических течений показывает, что она невозможна,и остаётся течение с диском Маха.

Пока отношение р е /р b невелико, размер диска Маха пренебрежимо мал.В связи с полётами на больших высотах актуальны недорасширенные режимы истечения сверхзвуковых струй с р b /р е >> 1.Схема такого истечения дана на рис. 3.38, б. При истечении осесимметричной струи её граница выпукла уже в точке b. В пределах первой бочки (до точки f ) на границе постоянны давление р == р е и угол Маха. По этой причине С–-характеристики, идущие отвыпуклой границы, пересекаются, образуя висячий скачок ie, который быстро набирает большую интенсивность и отражается отоси симметрии с образованием диска Маха еd и косой УВ еf.

Прир b /р е >> 1 размер первой бочки намного превосходит радиус среза сопла х f >> у b , а с удалением от среза сопла почти весь газструи течёт в ударном слое между её границей и сжимающим газвисячим скачком. Приосевая дозвуковая струя за диском Махаразгоняется до сверхзвуковой скорости под воздействием ЦВР,которая возникает при падении на границу струи косой УВ ef.Глава 3.10.

Осесимметричные конические течения.Обтекание кругового конусаСокращения: ОКТ – осесимметричное коническое течение, ККТ– кривая ОКТ, ПВР – пучок волн разрежения, ТР – тангенциальный разрыв, УКТ – уравнения ОКТ, УВ – ударная волна, УП –ударная поляра, ЯК – яблоковидная кривая.Осесимметричные конические течения (ОКТ) – это такиестационарные течения, параметры которых зависят только от отношения меридиональных переменных у/х цилиндрических координат хуφ c началом в вершине кругового конуса – границы ОКТ199с равномерным набегающим потоком. В плоскости ху ему отвечает С+-характеристика (рис. 3.39, а, μ 0 – угол Маха невозмущённого потока), С–-характеристика или УВ.

Как видно из дальнейшего, на рис. 3.39-3.40 вектор скорости в ОКТ поворачивается почасовой стрелке, а на рис. 3.42 и 3.42 – против неё.ya)V0nμ0vra0rn (sinϕ, –cosϕ)Vn0Cϕ0б)x0V0Vμ0uϕРис. 3.39В стационарных УВ полная энтальпия H не изменяется, а вовсех точках УВ – круговом конусе приращение энтропии s одинаково. Следовательно, ОКТ, примыкающее с УВ или без неё кравномерному набегающему потоку, изэнтропично и изоэнергетично.

Согласно Гл. 3.1 для таких течений уравнения движениясводятся к уравнению отсутствия вихря (3.1.17). Его единственное не равное тождественно нулю следствие и уравнение неразрывности в форме (3.1.21) принимают вид∂v ∂u∂u∂u∂vv−= 0, (u 2 − a 2 ) + 2uv+ (v 2 − a 2 ) − a 2 = 0 . (1)∂x ∂y∂x∂y∂yyВторое из них – преобразованное с учётом первого уравнение(3.1.21), причём а2 – известная функция модуля скорости V.Если r и ϕ – полярные координаты в плоскости ху, тоy ∂ϕsin ϕ ∂ϕ cos ϕ.x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, tgϕ = ,=−,=∂yx ∂xrrДля ОКТ u и v не зависят от r, и в силу этих формул равенства(1) сведутся к обыкновенным дифференциальным уравнениям:uϕ + v ϕ tgϕ = 0, uϕ = a 2v/ N , N = a 2 − Vn2 , Vn = u sin ϕ − v cos ϕ .

(2)200Здесь и далее z ϕ = dz/dϕ, где z – любой параметр, а V n – проекцияV на нормаль n к лучу ϕ = const плоскости ху (рис. 3.39). Из уравнений (2) получим уравнение ОКТ (УКТ), определяющее длятаких течений зависимость v = v (u), т.е. кривую ОКТ (ККТ) –С в плоскости годографа. Для этого записанное в формеv ′ ≡ dv / du = −ctgϕ(3)первое уравнение (2) продифференцируем по u, исключим ϕ′ == 1/u ϕ с u ϕ из (2) и учтем, что согласно равенству (3)Vn = u sin ϕ − v cos ϕ = (u − v ctgϕ)sin ϕ = (u + vv ′)sin ϕ,Vn2 = (u + vv ′) 2 sin 2 ϕ, sin 2 ϕ = 1/(1 + v ′2 ).В силу сказанного имеемϕ′d 2vN1 + v ′2 1 + v ′2 (u + vv ′) 2.v ′′ ≡ 2 ====−Nvdusin 2 ϕ a 2v sin 2 ϕa 2va 2vТаким образом, УКТ запишется в двух эквивалентных формах:1 + v ′2(u + vv ′) 22′1, N = a 2 − Vn2 .vv ′′ = N=+v−(4)a2a2Согласно уравнению (3) касательная к ККТ в плоскости u v(рис.

3.39, б) нормальна лучу ϕ = const плоскости ху (рис. 3.39, а).Изучение течений, описываемых УКТ (4), начнём с ОКТ,примыкающих на конусе ϕ = ϕ 0 к равномерному потоку: u ≡ V 0 ,v ≡ 0. При ϕ = ϕ 0 во втором уравнении (2) одновременно с vдолжно обращаться в нуль N. В противном случае u ϕ0 = 0, и течение продолжится за конус ϕ = ϕ 0 тем же равномерным потоком.Итак,Vn02 = a02 .(5)Такое возможно только при М 0 ≥ 1, и согласно определению V n в(2) ϕ = ϕ 0 – начальный конус Маха: ϕ 0 = μ 0 или ϕ 0 = π – μ 0 , где μ– угол Маха (sinμ = 1/М). Как уже отмечалось, на рис. 3.39 ϕ 0 == μ 0 , и в силу уравнения (3)v 0′ = m ctgμ 0 = m M 02 − 1 .(6)Здесь и далее верхний знак и угол ϕ 0 = μ 0 отвечает начальномуконусу Маха, направленному по набегающему потоку, а нижнийзнак и угол ϕ 0 = π – μ 0 – против него.201Равенства (5) и (6) обращают в нули правые части уравнения(4).

Воспользовавшись ими и тем, что с учётом уравнения (3)2ω( ω p ) 2 − ω2 ω pp2da 2∂ ⎛ ω2 ⎞dp=− ⎜= − + ρ2 a 4 ω pp ,=⎟⎟ = −2⎜(ω p )dp∂p ⎝ ω p ⎠ρdhsdh ⎛ ∂h ⎞1⎛ ∂p ⎞= ⎜ ⎟ = ρ,= ⎜ 2 ⎟ = − , (V 2 )′ = 2u + 2vv ′ = 2(u − vctgϕ) ,2dV2⎝ ∂h ⎠ s⎝ ∂V ⎠ Hda 2 dp dh(7)(V 2 )′ = (2 − ρ3a 4 ω pp )(u − v ctgϕ) ,dp dh dV 2раскроем неопределённость в делённом на v равенстве (4)a 2 (1 + v ′2 ) − (u + vv ′)2v 0′′ = lim=v →0a 2vρ30 a03ω pp 0 M 30( a 2 )′(1 + v ′2 ) + 2a 2v ′v ′′ − 2(u + vv ′)(1 + v ′2 )±+ 2v 0′′ .==a 2v ′M 02 − 10( a 2 )′ =Отсюдаv 0′′ = mρ30a03ω pp 0 M 30 / M 02 − 1 .(8)Дифференцируя уравнение (4) по u, можно последовательновычислить любую производную v 0( k ) с k ≥ 3, причём третья производная также конечна и два её значения выражаются через параметры с индексом «0».

Структура УКТ (4), однако, такова, чтокаждая производная с k ≥ 2 представляется дробью, в знаменателекоторой стоит v . Поэтому для конечности производных при v →0 и ϕ → ϕ 0 одновременно должны обращаться в нули и их числители. Неизбежно с некоторого k > 3 числители станут отличнымиот нуля, а соответствующие производные бесконечными. Это означает, что для УКТ (4) точки отрезка а ∗ < u < VM оси u плоскости годографа – особые. О том же свидетельствуют два наклона идве кривизны, получающиеся согласно формулам (6) и (8). Излюбой особой точки выходит однопараметрическое семействоККТ, а каждой ККТ С отвечает некоторое ОКТ в плоскости ху.Для анализа ОКТ в плоскости ху найдём производные от компонент скорости и от N = a2 – V n 2 по ϕ на начальном конусе Маха.В силу определений V n и N в (2) и формулы (7) при ϕ = ϕ 0 имеем202( a 2 )ϕ 0 = ( a 2 )′0 uϕ 0 = (2 − ρ3a 4 ω pp )0V0uϕ 0 ,(Vn2 )ϕ 0 = 2Vn0 (u sin ϕ − v cos ϕ)ϕ 0 = 2V0uϕ 0 + 2V02 sin ϕ0 cos ϕ0 ,N ϕ 0 = ( a 2 − Vn2 )ϕ 0 = −(ρ3a 4 ω pp u )0 uϕ 0 − 2V02 sin ϕ0 cos ϕ0 .Раскрыв неопределённость во втором уравнении (2) и учтя равенство (3), найдёмuϕ 0 = −a02 (ctgϕ0 )uϕ 0 / N ϕ 0 .Подставив полученное отсюда N ϕ0 в приведённую выше формулудля N ϕ0 , определим u ϕ0 , а затем из уравнения (3) – v ϕ0 .

В итогеV sin 2 μ ctgϕ0V cos2 μ0uϕ 0 = − 0 3 4 0, v ϕ 0 = 03 4, N ϕ 0 = − a02 ctgϕ0 . (9)ρ0a0 ω pp 0ρ0a0 ω pp 0Согласно формуле (1.4.8) для совершенного газа ρ3а4ωрр = γ + 1.Пусть ОКТ примыкает к равномерному сверхзвуковому потоку по обращенному навстречу ему начальному конусу Маха (рис.3.40, а, ϕ 0 = π – μ 0 ). Если М 0 → ∞, то а 0 /а ∗ → 0, V 0 /а ∗ → VM, начальная С–-характеристика C0− на рис. 3.40, а сливается с осью х,а касательная к окружности V = а 0 на рис. 3.40, б – с осью u.Для нормальных газов с учётом знаков входящих в формулы(9) тригонометрических функций в рассматриваемом случае (ϕ вовтором квадранте) в силу формул (6), (8) и (9)(10)v 0′ > 0, v 0′′ > 0, uϕ 0 > 0, v ϕ 0 > 0, N ϕ 0 > 0 ,т.е. в точке u = V 0 , v = 0 ККТ (C – на рис. 3.40, б) – вогнутая кривая.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,92 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее