А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому распределения, получающиеся в рамках стационарного течения идеального газа, интересны в пределах одной-двух бочек.С ростом нерасчётности струи – отношения р е /р b сначала РОУВ bc в точке с сменится МО, с образованием диска Маха. Затемвеличина р е /р b превысит значение, отвечающее для фиксированного М b максимальному углу поворота потока, однако ещё раньше будет превышен упоминавшийся выше критический перепадр 1∗ /р 0 , связанный с взаимодействием УВ с пограничным слоем. Сэтого момента система УВ, начинающаяся косой УВ с критическим перепадом, войдёт в сопло.
При этом в рамках отрывноймодели элементарной теории Гл. 3.3 косая УВ займет положение, при котором перепад давления на ней сравняется с новымкритическим («новым» из-за изменения параметров перед ней).В осесимметричном случае при р е /р b > 1 отражение УВ bc отоси симметрии не может быть регулярным. Чтобы доказать это,проведём С–-характеристику с–с. Вдоль неё выполняется условиесовместности (3.4.21–):⎡ sin θ sin μ w2⎤ dyctgμ(1)dθ −dp−+ 2 ctg( θ − μ) ⎥= 0.⎢2ρV⎣ sin( θ − μ ) V⎦ yЗа косой УВ угол θ ≠ 0, а коэффициент перед dy/y при приближении к оси струи – знакоопределённая функция.
Поэтому, проинтегрировав левую часть уравнения (1) от точки с– до точки с, получим неограниченный интеграл от слагаемого с dy/y, который не198могут скомпенсировать конечные интегралы от двух первых слагаемых. Следовательно, такая С–-характеристика не доходит дооси симметрии, что возможно в двух случаях: 1) нерегулярногоотражение с образованием диска Маха, 2) реализацией междупадающей и отраженной УВ центрированной волны (ЦВ) – конического течения c М < 1 за падающей УВ и с М > 1 перед отраженной УВ. Анализ свойств такой ЦВ в рамках изложенной в Гл.3.10 теории конических течений показывает, что она невозможна,и остаётся течение с диском Маха.
Пока отношение р е /р b невелико, размер диска Маха пренебрежимо мал.В связи с полётами на больших высотах актуальны недорасширенные режимы истечения сверхзвуковых струй с р b /р е >> 1.Схема такого истечения дана на рис. 3.38, б. При истечении осесимметричной струи её граница выпукла уже в точке b. В пределах первой бочки (до точки f ) на границе постоянны давление р == р е и угол Маха. По этой причине С–-характеристики, идущие отвыпуклой границы, пересекаются, образуя висячий скачок ie, который быстро набирает большую интенсивность и отражается отоси симметрии с образованием диска Маха еd и косой УВ еf.
Прир b /р е >> 1 размер первой бочки намного превосходит радиус среза сопла х f >> у b , а с удалением от среза сопла почти весь газструи течёт в ударном слое между её границей и сжимающим газвисячим скачком. Приосевая дозвуковая струя за диском Махаразгоняется до сверхзвуковой скорости под воздействием ЦВР,которая возникает при падении на границу струи косой УВ ef.Глава 3.10.
Осесимметричные конические течения.Обтекание кругового конусаСокращения: ОКТ – осесимметричное коническое течение, ККТ– кривая ОКТ, ПВР – пучок волн разрежения, ТР – тангенциальный разрыв, УКТ – уравнения ОКТ, УВ – ударная волна, УП –ударная поляра, ЯК – яблоковидная кривая.Осесимметричные конические течения (ОКТ) – это такиестационарные течения, параметры которых зависят только от отношения меридиональных переменных у/х цилиндрических координат хуφ c началом в вершине кругового конуса – границы ОКТ199с равномерным набегающим потоком. В плоскости ху ему отвечает С+-характеристика (рис. 3.39, а, μ 0 – угол Маха невозмущённого потока), С–-характеристика или УВ.
Как видно из дальнейшего, на рис. 3.39-3.40 вектор скорости в ОКТ поворачивается почасовой стрелке, а на рис. 3.42 и 3.42 – против неё.ya)V0nμ0vra0rn (sinϕ, –cosϕ)Vn0Cϕ0б)x0V0Vμ0uϕРис. 3.39В стационарных УВ полная энтальпия H не изменяется, а вовсех точках УВ – круговом конусе приращение энтропии s одинаково. Следовательно, ОКТ, примыкающее с УВ или без неё кравномерному набегающему потоку, изэнтропично и изоэнергетично.
Согласно Гл. 3.1 для таких течений уравнения движениясводятся к уравнению отсутствия вихря (3.1.17). Его единственное не равное тождественно нулю следствие и уравнение неразрывности в форме (3.1.21) принимают вид∂v ∂u∂u∂u∂vv−= 0, (u 2 − a 2 ) + 2uv+ (v 2 − a 2 ) − a 2 = 0 . (1)∂x ∂y∂x∂y∂yyВторое из них – преобразованное с учётом первого уравнение(3.1.21), причём а2 – известная функция модуля скорости V.Если r и ϕ – полярные координаты в плоскости ху, тоy ∂ϕsin ϕ ∂ϕ cos ϕ.x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, tgϕ = ,=−,=∂yx ∂xrrДля ОКТ u и v не зависят от r, и в силу этих формул равенства(1) сведутся к обыкновенным дифференциальным уравнениям:uϕ + v ϕ tgϕ = 0, uϕ = a 2v/ N , N = a 2 − Vn2 , Vn = u sin ϕ − v cos ϕ .
(2)200Здесь и далее z ϕ = dz/dϕ, где z – любой параметр, а V n – проекцияV на нормаль n к лучу ϕ = const плоскости ху (рис. 3.39). Из уравнений (2) получим уравнение ОКТ (УКТ), определяющее длятаких течений зависимость v = v (u), т.е. кривую ОКТ (ККТ) –С в плоскости годографа. Для этого записанное в формеv ′ ≡ dv / du = −ctgϕ(3)первое уравнение (2) продифференцируем по u, исключим ϕ′ == 1/u ϕ с u ϕ из (2) и учтем, что согласно равенству (3)Vn = u sin ϕ − v cos ϕ = (u − v ctgϕ)sin ϕ = (u + vv ′)sin ϕ,Vn2 = (u + vv ′) 2 sin 2 ϕ, sin 2 ϕ = 1/(1 + v ′2 ).В силу сказанного имеемϕ′d 2vN1 + v ′2 1 + v ′2 (u + vv ′) 2.v ′′ ≡ 2 ====−Nvdusin 2 ϕ a 2v sin 2 ϕa 2va 2vТаким образом, УКТ запишется в двух эквивалентных формах:1 + v ′2(u + vv ′) 22′1, N = a 2 − Vn2 .vv ′′ = N=+v−(4)a2a2Согласно уравнению (3) касательная к ККТ в плоскости u v(рис.
3.39, б) нормальна лучу ϕ = const плоскости ху (рис. 3.39, а).Изучение течений, описываемых УКТ (4), начнём с ОКТ,примыкающих на конусе ϕ = ϕ 0 к равномерному потоку: u ≡ V 0 ,v ≡ 0. При ϕ = ϕ 0 во втором уравнении (2) одновременно с vдолжно обращаться в нуль N. В противном случае u ϕ0 = 0, и течение продолжится за конус ϕ = ϕ 0 тем же равномерным потоком.Итак,Vn02 = a02 .(5)Такое возможно только при М 0 ≥ 1, и согласно определению V n в(2) ϕ = ϕ 0 – начальный конус Маха: ϕ 0 = μ 0 или ϕ 0 = π – μ 0 , где μ– угол Маха (sinμ = 1/М). Как уже отмечалось, на рис. 3.39 ϕ 0 == μ 0 , и в силу уравнения (3)v 0′ = m ctgμ 0 = m M 02 − 1 .(6)Здесь и далее верхний знак и угол ϕ 0 = μ 0 отвечает начальномуконусу Маха, направленному по набегающему потоку, а нижнийзнак и угол ϕ 0 = π – μ 0 – против него.201Равенства (5) и (6) обращают в нули правые части уравнения(4).
Воспользовавшись ими и тем, что с учётом уравнения (3)2ω( ω p ) 2 − ω2 ω pp2da 2∂ ⎛ ω2 ⎞dp=− ⎜= − + ρ2 a 4 ω pp ,=⎟⎟ = −2⎜(ω p )dp∂p ⎝ ω p ⎠ρdhsdh ⎛ ∂h ⎞1⎛ ∂p ⎞= ⎜ ⎟ = ρ,= ⎜ 2 ⎟ = − , (V 2 )′ = 2u + 2vv ′ = 2(u − vctgϕ) ,2dV2⎝ ∂h ⎠ s⎝ ∂V ⎠ Hda 2 dp dh(7)(V 2 )′ = (2 − ρ3a 4 ω pp )(u − v ctgϕ) ,dp dh dV 2раскроем неопределённость в делённом на v равенстве (4)a 2 (1 + v ′2 ) − (u + vv ′)2v 0′′ = lim=v →0a 2vρ30 a03ω pp 0 M 30( a 2 )′(1 + v ′2 ) + 2a 2v ′v ′′ − 2(u + vv ′)(1 + v ′2 )±+ 2v 0′′ .==a 2v ′M 02 − 10( a 2 )′ =Отсюдаv 0′′ = mρ30a03ω pp 0 M 30 / M 02 − 1 .(8)Дифференцируя уравнение (4) по u, можно последовательновычислить любую производную v 0( k ) с k ≥ 3, причём третья производная также конечна и два её значения выражаются через параметры с индексом «0».
Структура УКТ (4), однако, такова, чтокаждая производная с k ≥ 2 представляется дробью, в знаменателекоторой стоит v . Поэтому для конечности производных при v →0 и ϕ → ϕ 0 одновременно должны обращаться в нули и их числители. Неизбежно с некоторого k > 3 числители станут отличнымиот нуля, а соответствующие производные бесконечными. Это означает, что для УКТ (4) точки отрезка а ∗ < u < VM оси u плоскости годографа – особые. О том же свидетельствуют два наклона идве кривизны, получающиеся согласно формулам (6) и (8). Излюбой особой точки выходит однопараметрическое семействоККТ, а каждой ККТ С отвечает некоторое ОКТ в плоскости ху.Для анализа ОКТ в плоскости ху найдём производные от компонент скорости и от N = a2 – V n 2 по ϕ на начальном конусе Маха.В силу определений V n и N в (2) и формулы (7) при ϕ = ϕ 0 имеем202( a 2 )ϕ 0 = ( a 2 )′0 uϕ 0 = (2 − ρ3a 4 ω pp )0V0uϕ 0 ,(Vn2 )ϕ 0 = 2Vn0 (u sin ϕ − v cos ϕ)ϕ 0 = 2V0uϕ 0 + 2V02 sin ϕ0 cos ϕ0 ,N ϕ 0 = ( a 2 − Vn2 )ϕ 0 = −(ρ3a 4 ω pp u )0 uϕ 0 − 2V02 sin ϕ0 cos ϕ0 .Раскрыв неопределённость во втором уравнении (2) и учтя равенство (3), найдёмuϕ 0 = −a02 (ctgϕ0 )uϕ 0 / N ϕ 0 .Подставив полученное отсюда N ϕ0 в приведённую выше формулудля N ϕ0 , определим u ϕ0 , а затем из уравнения (3) – v ϕ0 .
В итогеV sin 2 μ ctgϕ0V cos2 μ0uϕ 0 = − 0 3 4 0, v ϕ 0 = 03 4, N ϕ 0 = − a02 ctgϕ0 . (9)ρ0a0 ω pp 0ρ0a0 ω pp 0Согласно формуле (1.4.8) для совершенного газа ρ3а4ωрр = γ + 1.Пусть ОКТ примыкает к равномерному сверхзвуковому потоку по обращенному навстречу ему начальному конусу Маха (рис.3.40, а, ϕ 0 = π – μ 0 ). Если М 0 → ∞, то а 0 /а ∗ → 0, V 0 /а ∗ → VM, начальная С–-характеристика C0− на рис. 3.40, а сливается с осью х,а касательная к окружности V = а 0 на рис. 3.40, б – с осью u.Для нормальных газов с учётом знаков входящих в формулы(9) тригонометрических функций в рассматриваемом случае (ϕ вовтором квадранте) в силу формул (6), (8) и (9)(10)v 0′ > 0, v 0′′ > 0, uϕ 0 > 0, v ϕ 0 > 0, N ϕ 0 > 0 ,т.е. в точке u = V 0 , v = 0 ККТ (C – на рис. 3.40, б) – вогнутая кривая.