А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для демонстрацииэтого при рассмотрении струи, истекающей из симметричногоканала, ψ в окрестности точки е будем искать в формеψ = χ( ω) + r m χ1 ( ω) + ..., ω = −θ / ηn , η = Ve − V , r = ( θ2 + ηk )1 / 2 (8)с подлежащим определению показателем n и несущественнымидля дальнейшего положительными m и k. При n > 0 переменная ωизменяется от ω = 0 на оси V до ω = ∞ на прямой V = V е .
Отсюдав согласии с рис. 3.48, б и представлением (8) имеем0 ≤ χ( ω) ≤ 1, 0 ≤ ω ≤ ∞, χ(0) = 0, χ( ∞) = 1 .(9)Если χ′ = dχ/dω, то в силу (8) в главных порядкахnωn 2 ω2n +1χ′χ″ψV =χ′, ψVV = 2 χ″ + 2 nωχ′, ψ θ = − n , ψ θθ = 2 n . (10)ηηηηηДля докритической струи подстановка этих выражений в УЧ(6) вблизи точки е дастnωχ″ + ( n + 1)χ′1 + M 2e1 − M 2ennω+ωχ′+χ″ = 0 .Ve ηVe2 η2 nη2Поскольку η << 1 вблизи точки е, то в этом уравнении второеслагаемое заведомо меньше первого, и УЧ сводится кnωχ″ + ( n + 1)χ′1− Μ e2(11)nω+χ″ = 0 .Ve2 η2 nη2222Если n > 1, то уравнение (11) примет вид: χ′′ = 0.
Проинтегрировав его, найдём χ = С 1 + С 0 ω. При этом, однако, невозможноподобрать постоянные С 1 и С 0 так, чтобы удовлетворить условиям (9). При n < 1 уравнение (11) сведётся к: nωχ′′ + (n + 1)χ′ = 0.Его решение: χ = С 1 – nС 0 ω–1/n также не удовлетворяет условиям(9). Остаётся n = 1, при котором уравнение (11) станет(ω2Ve2 + 1− Μ e2 )χ″ + 2ωVe2 χ′ = 0 .Отсюдаχ′(ω) =2Ve2 / π1, χ(ω) =ω2Ve2 + β2Сωdω2ωV= arctg e , β 2 = 1 − Μ e2 , (12)22+βπβe∫ωV20где постоянные интегрирования определены условиями (9).
Вплоскости Vθ линии θ/(V e – V) = const, т.е. ЛТ – лучи, идущие подразными углами в точку е (рис. 3.50).Координату х сечения выравнивания определим, интегрируяпервое уравнение (7) по V до V = V е при θ = 0, т.е. приближаясь кточке е плоскости Vθ вдоль оси V. В плоскости ху этому отвечаетдвижение по оси х. Если Х ε < ∞ – координата точки на оси х, вкоторой V е – V = η = ε, а ε << 1, то из уравнения (7) с учётом формулы (10) для ψ θ с n = 1 и решения (12) найдёмVexe − X ε =01M2 − 11 1 − M 2eψ(,0)≈ψ θ (V ,0)d η ≈VdVθk V −ε ρV 2k ε ρ eVe2∫∫e0≈−β2 χ′(0) d η20=−ln η ε = ∞.2kρeVe ε ηk πρe∫Итак, докритическая струя выравнивается асимптотически. Длялюбой струи, вытекающей из канала, входные образующие которого либо, как на рис. 3.48, прямые, параллельные оси х, либоимеют такие асимптоты, выполненный анализ почти без изменений переносится на окрестность точки f.
Как результат – сечениевыравнивания дозвукового потока в полубесконечном цилиндрическом входном канале находится при х = – ∞.Для критических струй множитель (1 – М2) в УЧ при приближении к точке е стремится к нулю. Взяв за масштабы скорости и плотности их критические значения, будем иметь223ρe = ρ∗ = 1, Ve = V∗ = 1, η = 1 − V , 1 − M 2 = σ2 η, σ2 = −2M p∗ , (13)n=1ψ=0efn>1ψ=0eψ=1fψ=1где М р = (дМ/др) H, s . Согласно формулам (3.3.12) и (3.3.13) σ2 == ωрр∗ , а для совершенного газа ω рр∗ = γ + 1.
Поступая в остальном так же, как для докритической струи, придём к уравнениюnωχ″ + ( n + 1)χ′σ2(14)nω+χ″ = 0 .η2η2 n −1Для него при 2n – 1 > 2, т.е. при n > 3/2 и при n < 3/2 получаютсяте же не удовлетворяющие условиям (10) решения, что и решенияуравнения (11) при n > 1 и n < 1.
Остаётся n = 3/2, чему в плоскости Vθ отвечают ЛТ (линии θ/η3/2 = const), которые, приближаяськ точке е, касаются оси V (рис. 3.50, исключение – ЛТ ψ = 1).bbРис. 3.50При n = 3/2 уравнение (14) принимает вид( 9ω2 + 4σ 2 )χ″ + 15ωχ′ = 0,а его интегрирование с учётом граничных условий (9) даётCχ′(ω) =,2(9ω + 4σ 2 )5 / 6(15)∞dω1dωχ(ω) = C ∫,=.(9ω2 + 4σ 2 )5 / 6 C ∫0 (9ω2 + 4σ 2 )5 / 60Как и для докритической струи, х сечения выравнивания определим, интегрируя первое уравнение (7) по V до V = V е при θ == 0.
При прежнем определении ε и Х ε из уравнения (7) с учётомразложения (13), формулы (10) для ψ θ и решения (15) найдёмω22411 M2 − 1C σ1/3ψ(V,0)dV≈−θk 1−ε ρV 225 / 3 k01/ 3dη C ⎛ σ ⎞= ⎜ ⎟ε.1/2ηk4⎝⎠εИтак, критическая струя в отличие от докритической выравнивается на конечном расстоянии. Опираясь на найденное решение,можно показать, что ЗЛ – отрезок прямой х = const.xe − X ε =∫∫Глава 3.13.
Законы подобия.Гиперзвуковая стабилизацияСокращения: УВ – ударная волна, УП – ударная поляра.Законы подобия позволяют переносить экспериментальные ирасчётные результаты, полученные для некоторого подчас единичного набора определяющих параметров, на целый класс течений. При их получении обычно привлекаются упрощающиепредположения: о тонкости обтекаемых тел, малости вызываемых ими возмущений потока и т.п.
Однако, как показывает опыт,законы подобия, полученные с использованием подобных упрощений, работают и тогда, когда эти упрощения не выполняются.Как получаются законы подобия, покажем сначала на примере дозвукового обтекания тонкого профиля. Ось х декартовыхкоординат ху направим по вектору скорости равномерного набегающего потока V 0 , начало координат и линейный масштаб выберем так, чтобы в передней точке хорды профиля х i = 0, в еёконцевой точке х f = 1, а y f = 0 (рис. 3.51). С осью х хорда составляет угол атаки α < 0. При выводе закона подобия профиль считается тонким, а |α| << 1. В системе координат х°у°, связанной схордой, профиль зададим уравнениями: у° = τY±(х°) с относительной толщиной (точнее, полутолщиной) τ << 1, |Y±| ≤ 1 и индексами «+» и «–») для верхней и нижней его образующих.
В координатах ху из-за малости α профиль задаётся формулойy = τY ± ( x ) + α(1 − x ) .(1)На профиле выполняется условие непротекания, которое при задании его образующих в форме (1) принимает вид (ϕ х = dϕ(x)/dx)v / u = τYx± ( x ) − α, 0 ≤ x ≤ 1, y = τY ± ( x ) + α(1 − x ) .(2)225Наряду с условием непротекания на профиле нужно удовлетворить условиям затухания возмущений вдали от него:u( x 2 + y 2 → ∞) → V0 , v ( x 2 + y 2 → ∞) → 0 .(3)yV0αа)yi0f1xV0αб)УВ (C+)i0f–УВ (C )1УВxРис. 3.51Рассматриваемое однородное по H и s течение безвихревое, иуравнения, определяющие х- и у-компоненты скорости, сводятсяк уравнениям (3.10.1) (второе при ν = 1 без свободного члена):∂v ∂u∂u∂u∂v−= 0, (u 2 − a 2 ) + 2uv+ (v 2 − a 2 )= 0 .
(4), (5)∂x ∂y∂x∂y∂yПри выводе закона подобия предположим, что почти всюдуотличие параметров от их значений в набегающем потоке мало.Однако при обтекании профиля дозвуковым потоком (рис. 3.51,а) это предположение нарушается в окрестности точек торможения (задней – при сходе с неё по биссектрисе малого, но конечного угла заострения), в которых v = u = 0, и возмущение х-компоненты скорости равно V 0 . В связи с этим слова почти всюду отвечают предположению о малости этих окрестностей и об их незначительном влиянии на весь поток.
Его обоснованием служитэллиптичность уравнений дозвукового течения, а в них такоевлияние действительно мало. Итак, примем, что u = V 0 + u′, v == v ′, где u′, v ′ << V 0 . Тогда при постоянных H и s возмущениедавления(6)р′ = – ρ 0 V 0 u′,и требование его малости ρ 0 V 0 |u′| << p 0 сводится к неравенству|u′| << а 0 /(γМ 0 ).Подставим принятые представления в уравнения и граничныеусловия, пренебрежем малыми порядка квадратов возмущений иучтем, что в условии непротекания с той же точностью226v ′[ x, τY ± ( x ) + α(1 − x )] ≈ v ′ ( x,0 ) +∂v ′[ τY ± ( x ) + α(1 − x )] ≈ v ′ ( x,0 ) .∂y y =0В результате исходная нелинейная задача (2) – (5) сведётся к линейнойv ′( x,0 ) = [τYx± ( x) − α ]V0 , 0 ≤ x ≤ 1 ;(2′)v ′( x,0) = [τYx± ( x) − α ]V0 , 0 ≤ x ≤ 1 ;(3′)∂u′ ∂v ′∂u′ ∂v ′(4′), (5′)−= 0, (1 − M 02 )+=0,∂y ∂x∂x ∂yсодержащей четыре определяющих параметра: V 0 , M 0 , τ и α.Смысл закона подобия состоит в уменьшении их числа.Указанная цель достигается специальным выбором постоянных масштабных коэффициентов (переменная х промасштабирована ранее):y = k y y o , u′ = ku u o , v ′ = kvv o .(7)После подставки переменных (7) в условие (2′) и уравнения (4′) и(5′) последние примут видv o = (V0 τ / kv )[Yx± ( x ) − α / τ], 0 ≤ x ≤ 1 ;(8)ooook k ∂u ∂vku ∂u ∂v−= 0, (1 − M 02 ) y u+= 0 .
(9), (10)o∂xk y kv ∂ykv ∂x ∂y oТри коэффициента k можно выбрать так, чтобы в получившемся условии и уравнениях три первых множителя стали единицами. Это достигается, если положитьkv = τV0 , k y = β, ku = τβV0 , β = 1/ 1 − M 02 , .В результате исходная задача сведётся к задачеv o = Yx± ( x) − α / τ, 0 ≤ x ≤ 1 ;u ( x + y → ∞) → 0, v ( x + y → ∞) → 0 ;o2o2o2o2(11)(12)(13)∂u ∂v∂u ∂v(14), (15)−= 0,+=0,o∂y∂x∂x ∂y oт.е. к задаче обтекания профиля идеальной несжимаемой жидкостью с одним параметром подобия – отношением α/τ.
Из контиooo227oнуума её решений, отвечающих разным циркуляциям, единственное отбирает постулат Чаплыгина–Жуковского.Для семейства профилей, которые при разных относительныхтолщинах τ задаются двумя функциями Y+(x) и Y–(x), определяемые при фиксированном отношении α/τ из решения задачи задачи (12) – (15) компоненты скорости с индексом «градус» какфункции х и у° универсальны. Указанная универсальность состоит в том, что u° и v ° – функции только х, у° и α/τ, независящие ниот вида уравнений состояния газа, ни от числа Маха набегающегопотока М 0 , ни от относительной толщины τ и угла атаки α. Зависимость от этих параметров исходных компонент вектора скорости и других параметров получается возвращением к ним с использованием формул (7) и (11).
Так, для давления с учётом этихформул и равенства (6) найдём, чтоp = p0 − τβρ0V02u o ( x, y / β ) .(16)В силу этой формулы коэффициент подъемной силы профиля11o−o+cy ≡p′dx=τβ(17)∫∫0 [u ( x ) − u ( x )]dx ,ρ0V02 Сгде u°+(x) и u°–(x) – распределения u°(х) соответственно по верхнейи нижней образующим. Полученный закон подобия носит название закона подобия Прандтля–Глауэрта (L. Prandtl, H. Glauert).Аналогично рассматривается сверхзвуковое обтекание подмалым углом атаки тонкого профиля (рис. 3.51, б) с острой передней кромкой (или затупленной, но с малым радиусом затупления r << 1). УВ, возникающие при его обтекании, настолько слабые, что приращением энтропии в них всюду, за исключениемпренебрежимо малой окрестности передней кромки (если она затуплена) можно пренебречь. Поэтому такое течение также можнорассматривать как безвихревое, и для него справедливы предыдущие формулы и уравнения до (10) включительно.
Отличиетолько в том, что условия (3) или (3′) отсутствия возмущений судалением от профиля достаточно поставить на оси у (при х = 0):u o ( 0, y o ) = v o ( 0, y o ) = 0 .(13°)Теперь, однако, в уравнении (10) множитель (1 − M 02 ) < 0, следствие чего – иное определение β в формулах (11), (16) и (17):228β = 1/ M 02 − 1(18)и замена уравнения (15) на∂u o ∂v o(15°)−=0.∂x ∂y oЛинейная задача, включающая уравнения (14) и (15°) и условия (12) и (13°), по-прежнему содержит один параметр подобия –отношение α/τ. Её решение элементарно: поток возмущён лишь видущих от отрезка 0 ≤ х ≤ 1 оси х характеристических полосках.В ограниченной С+-характеристиками: у° = х и у° = х – 1 верхнейполоске инвариант I–°≡ v ° + u° = 0, а в ограниченной С–-характеристиками: у° = – х и у° = 1 – х нижней полоске I+°≡ v ° – u° = 0.Справедливость сказанного вытекает и непосредственно из уравнений (14) и (15°), и как результат перехода к величинам с индексом «градус» в линеаризованных инвариантах I± из Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
