А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В нихвходят нормальная к фронту УВ скорость её движения по неподвижному газу D и две компоненты двумерного вектора скорости:нормальная и касательная к УВ.Сведение задач пространственного стационарного гиперзвукового обтекания тонких заостренных тел к более простой задаченестационарного движения двумерного поршня получило название закона плоских сечений, поршневой или нестационарнойаналогии. Основы данного подхода, заложенные Цянь Сюэ-сэнем234(1946), У. Хейзом (1946), С.В. Фальковичем (1947) и А.А. Ильюшиным (1948), получили всестороннее обоснование, развитие иприменение в работах Г.Г. Чёрного и В.В. Лунёва [40]. В рамкахтого же подхода Г.Г. Чёрный (1958) нашёл параметры подобиядля гиперзвукового обтекания тонких тел с малым затуплением.Проекции n y и n z на оси у и z вектора n нормали к поверхности поршня равныFyoFzo∂F∂F, nz =, Fyo = o , Fzo = o .(28)ny =2222∂y∂zF o +FoF o +FoyzyzЕсли V n – проекция скорости поверхности поршня на n, то на нёмdy/dt = V n n y , dz/dt = V n n z , и согласно уравнению (27)τV0 Fx + FyoVn n y + FzoVn nz−τV0 Fx= 0 → Vn =.2 222τ Fx + Fyo + FzoFy2o + Fz2oОтсюда с учётом равенств (28) условие непротекания на поршне:v n = V n , где v n = v n y + wn z – нормальная к поршню скоростьгаза, сведётся к равенствуv Fyo + wFzo = −τV0 Fx .(29)Так как F х , F y° и F z° – величины порядка единицы, то на поршнеv и w имеют порядок τV 0 .В нестационарной задаче перейдём к новым переменным (синдексом «градус»), которые наряду с у° и z° введём равенствамиy = τy o , z = τz o , t o = x = tV0 , v = τV0v o , w = τV0 wo ,(30)ρ = ρ0ρo , p = ρ0 ( τV0 )2 p o , a = τV0 a o , D = τV0 D o .В новых переменных уравнения (25) не изменятсяod ρodv o , 1 ∂p odwo 1 ∂p o∂wo ⎞o ⎛ ∂v ,0,0,+ρ+=+=+= 0,⎜ o⎟dt odt o ρo ∂y odt o ρo ∂z o∂z o ⎠⎝ ∂y(25°)dsd∂∂∂= 0,=+ v o o + wo o ,dt odt o ∂t o∂y∂zзакон движения поршня (27) и условие (29) на нём примут видF (t o , y o , z o ) = 0, 0 ≤ t o ≤ 1, v o Fyo + wo Fzo = − Fx ,(27°), (29°)235а в условия на УВ наряду с её скоростью D° и параметрами с«градусом» за УВ войдут параметры покоящейся среды, которыедля совершенного газа согласно определениям (30) равны1a0o21o.(31)ρo0 = 1, p0o =,h==0γ ( τM 0 ) 2γ − 1 ( γ − 1)( τM 0 ) 2Итак, нестационарная задача включает уравнения двумерногонестационарного течения (25°), условия на поршне (27°) и (29°) ипереписанные с добавлением «градусов» четыре соотношения(1.3.8) – (1.3.11) на УВ:[ρo (v no − D o )] = 0, [ρo (v no − D o )2 + p o ] = 0,[v τo ] = 0, [2h o + (v no − D o ) 2 ] = 0.Согласно им и выражениям (31) для совершенного газа решениезависит от показателя адиабаты γ, гиперзвукового параметра подобия Цяня–Кармана: K = τМ 0 и от отношения α/τ.
Последнее,как и в (1), появляется при записи уравнения поверхности тела.Таким образом, для давления на поршне, или что то же – наповерхности тела, имеемp = ρ0 ( τV0 )2 p o ( K , γ, α / τ, x = t o , y o , z o ) ,(32)а для коэффициентов сопротивления с х и подъемной силы с у пространственного тела справедливы формулы14cx =Т pdydz = τ X + cxb , X = X ( K , γ, α / τ) = ттТ p dy dz ;ρ0V02 ттooo13Т pdxdz = τ Y , Y = Y ( K , γ, α / τ) = ттТ p dt dzρ0V02 ттс р° = р°(K, …) в соответствии с решением (32). Коэффициентдонного сопротивления c xb в формуле для с х тел с донным срезом, согласно сказанному ранее, при гиперзвуковом обтеканиимного меньше первого слагаемого. Аналогично для профиля13cx =Сpdy = τ X + cxb , X = X ( K , γ, α / τ) = тСp dy ;ρ0V02 т(33)12cy =Сpdx = τ Y , Y = Y ( K , γ, α / τ) = тСp dt .ρ0V02 тcy =o236ooooooВ силу отмеченных выше свойств УП, яблоковидной кривойи С -характеристик при М 0 >> 1 нестационарная аналогия и еёследствие – гиперзвуковой закон подобия справедливы и тогда,когда возмущения всех параметров малы и применим закон подобия Аккерета.
В таких случаях М 0 2 >> 1, и формулы (17) – (19)для профиля без заднего торца дают те же зависимости с х и с у отτ, что и (33). При этом Х и Y ∼1/K.Заканчивая параграф, остановимся на важном свойстве гиперзвуковых течений – гиперзвуковой стабилизации. Согласноей при достаточно больших числах Маха M 0 коэффициенты сопротивления и подъемной силы произвольных, в том числе толстых, пространственных и т.п. тел, а также поля безразмерныхпараметров вблизи них перестают зависеть от величины M 0 . Напримере обтекания симметричного толстого профиля природугиперзвуковой стабилизации объясняет рис.
3.53, в. На течение вобласти, ограниченной справа С–-характеристикой wc, влияет конечный отрезок УВ ow. Если на нём УВ сильная, а начиная с некоторого М 0 , для телесного, а тем более затупленного профиляэто обязательно случится, то из термодинамических параметровнабегающего потока в соотношениях на УВ остаётся только ρ 0 .Последнее эквивалентно а 0 = 0 или гиперзвуковому обтеканию сМ 0 = ∞. За сильной УВ по формулам (1.4.30)γ +122ρ=ρ0 , p =ρ0 D 2 , Vn =D,γ −1γ +1γ +1при стационарном обтекании D = V n0 = V 0 sinσ, а σ – угол наклонаУВ к оси х. Если на отрезке ow УВ сильная, то sinσ >> 1/М 0 .В таких случаях ρ° = ρ/ρ 0 , V°= V/V 0 и p° = p/(ρ 0 V 0 2) в области течения, ограниченной слева отрезком ow УВ, а справа – С–характе-ристикой wc, не зависят от М 0 .
Вместе с ними не зависятот М 0 коэффициенты с х и с у , ибо в них под знаками интеграловстоит р°. По тем же причинам гиперзвуковая стабилизация имеетместо и для осесимметричных, а также для пространственныхгиперзвуковых течений. В пространственном случае роль С±характери-стик играют характеристические поверхности, которые строятся как огибающие конусов Маха. Гиперзвуковая ста±237билизация установлена С.В. Валландером (1947) и К. Осватичем(1951).238Часть 4. Оптимальные аэродинамические формыГлава 4.1.
Задача Ньютона о головной частиминимального сопротивленияСокращения: ЗН – задача Ньютона, УДЭ и УКЭ – участки двустороннего и краевого экстремума, ФН – формула Ньютона.Решенная Ньютоном задача (задача Ньютона – ЗН) о построении осесимметричной головной части минимального сопротивления при заданных длине L и радиусе основания Y былапервой задачей созданного им вариационного исчисления. Правда, у Ньютона в его «Математических началах натуральнойфилософии» [41] к этой задаче имеют отношение лишь несколько кратких (3 фигуры и менее 30 строк), приведённых без доказательств утверждений, составивших одно поучение. Поучение затрагивает три темы: 1.
О построении оптимального по сопротивлению усеченного конуса при заданных L и Y, 2. Об уменьшениисопротивления тела вращения при замене прилегающего к носикуовального участка пересекающимися отрезками касательных суглами наклона к оси вращения в 90° и 45° и 3. О форме примыкающего к переднему торцу пологого участка оптимального контура, которую определяет комбинация длин четырех связанных сним прямолинейных отрезков. Приведённый в «Математическихначалах …» в примечаниях переводчиков XVIII века способ получения этой комбинации и отдалённо не напоминают привычный аппарат вариационного исчисления. В рамках аппарата вариационного исчисления такой вывод дан в примечаниях А.Н.Крылова – переводчика «Математических начал …» на русскийязык. Однако ни Ньютон, ни А.Н.
Крылов не объяснили причинупоявления переднего торца – важнейшего элемента ЗН.Долгое время ЗН, включенная в некоторые руководства повариационному исчислению, рассматривалась безотносительно каэродинамике. В середине ХХ века выяснилось, что введённаяНьютоном формула для давления на поверхности тела с внутренней нормалью n к его контуру (формула Ньютона – ФН):p = p0 + ρ0V02 α2 , α = ( n ⋅ V0 ) / V0(1)239неплохо работает при М 0 >> 1.
Тогда же аэродинамики, используя ФН, обратились к решению ЗН и её обобщений (сначала дляплоских и осесимметричных тел) и сразу столкнулись с неожиданными, на первый взгляд, трудностями. Описание указанныхтрудностей и того, как они были преодолены, весьма поучительно. Однако сначала поясним смысл ФН. ФН получается, еслипринять, что частицы газа движутся до поверхности тела, не изменяя своей начальной скорости V 0 , а при соударении с теломтеряют её нормальную к поверхности составляющую.
С другойстороны, при γ = 1 для гиперзвукового потока ρ/ρ 0 = ∞ и сильнаяударная волна ложится на поверхность тела. Поэтому согласноусловию непротекания V n = 0, и по условию (1.3.9) для нормальной компоненты количества движения формула (1) даёт давлениеза ударной волной.
Если кривизна контура в плоскости ху мала,то давления за ударной волной и на контуре тела близки.yа)ifθV0fV0n0xli°iв)Δхdd°fV00lд) Δyk+г)ydiб)ydlxΔydδхd–idd°iδхd+xΔyk–δхk–ΔydРис. 4.1Если в качестве линейного масштаба взять радиус или полувысоту (для симметричной относительно оси х плоского тела)основания, то 0 ≤ х ≤ l = L/Y, 0 ≤ у ≤ 1, и для головной части с образующей х = х(у) в согласии с ФН коэффициент волнового сопротивления с х равен (рис.
4.1, а):24011cx = ∫ y ν−1Φ ( α)dy = ∫ y ν−1ϕ( x′)dy ,00(2)dx1x′ ≡.= ctgθ, α = sin θ =dy1 + x ′2Здесь ν = 1 и 2 для плоских и осесимметричных тел и пока несуществен вид функций Φ(α) и ϕ(х′), т.е. конкретная форма законасопротивления. Важно лишь то, что силы, действующие на головную часть, определяются только ориентацией нормали n иконстантами, независящими от формы образующей.В согласии с формулой (2) для приращения с х получим1ϕ⎡⎤Δcx = ∫ y ν−1 ⎢ϕ x′δx ′ + x′x′ ( δx ′) 2 ⎥ dy =2⎣⎦01f⎡ d ( y ν−1ϕ x′ )⎤ϕ= y ν−1ϕ x′δx − ∫ ⎢δx − y ν−1 x′x′ ( δx′) 2 ⎥ dy.idy2⎦0⎣Здесь и далее вариации δх, … – разности х, … проварьированногои исходного контуров при фиксированном у. При переходе ковторому выражению учтено, что δх′ = d(δх)/dy, и выполнено интегрирование по частям.
Так как x i = 0, x f = l, то δx i = δx f = 0 и1⎡ d ( y ν−1ϕ x′ )⎤ϕ(3)Δcx = − ∫ ⎢δx − y ν−1 x′x′ ( δx′)2 ⎥ dy.dy2⎦0⎣Поэтому если изображённая на рис. 4.1, а образующаяся if реализует минимум с х , то при произвольных δх в согласии с представлением (3) необходимые условия оптимальности сводятся кd ( y ν−1ϕ x′ )(4)= 0, ϕ x′x′ ≥ 0, 0 < y < 1 .dyВ условиях (4) равенство – необходимое условие экстремума(уравнение Эйлера), а неравенство – необходимое условие минимума с х – условие Лежандра, которое должно выполнятьсяпри |δх′| << 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
