А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 40
Текст из файла (страница 40)
После линеаризациии учёта выражений (15) и (17) для θ f и F оно принимает вид2θ f2θi12 F= p0 − p + −= p0 − p + −≥0.p0 − p + +22M0 − 1M0 − 1M 02 − 1Данное условие нарушается, если253p0 M 02 − 1 ⎛M 02 − 1 ⎛p+ ⎞p+ ⎞1−=1−(18)⎜⎟⎜⎟,12p0 ⎠ 12 γM 02 ⎝p0 ⎠⎝т.е. при р+ = р 0 – для любых F. Второе выражение правой частиэтого неравенства записано для совершенного газа с учётом того,что р 0 отнесено к ρ 0 V 0 2. Даже при р+ = 0 величина F m невелика ибыстро уменьшается с ростом М 0 : так, F m ≈ 0.026 и 0.0083 для γ == 1.4 и М 0 = 2 и 4. В рамках линейной теории на возможностьпоявления в оптимальном контуре симметричного профиля заднего торца указал Чепмен (D.R.
Chapman, 1952).Для оптимального контура с задним торцом в рамках разныхЗЛВ по-прежнему справедливы параметрические представления(12), где λ определена формулой (13) с f ° вместо f. Теперь, однако, условие (14) – следствие равенства: у f = 0 – заменяет записанное в точке f ° равенство (8):(19)( p − p + + pθ sin θ cos θ) f o = 0 .F > Fm =Это равенство служит для определения θ f ° , а через него – y f ° > 0.В рамках линейной теории условие (19) после линеаризациидастp − p+θf o = − 0M 02 − 1 = − 6 Fm(14°)2с площадью F m , определённой формулой (18).
Как следствие этого, выражение для λ, параметрическое и прямое представленияучастка if ° оптимального контура (после подстановки λ, линеаризации и исключения θ) и формула для у f ° примут видθ −θθi2 − θ26 F + θiλ = −2 m, x= i, y=,6 Fm + θi2(6 Fm + θi )M 02 − 1(15°)θ6 F + θi 2θ = θi − (6 Fm + θi ) x, y = θi x − mx , y f o = y (1) = i − 3Fm .22Подставив θ, у и у f ° из (15°) в формулы (4) для F и с х , получим11θ6 F + θi 2 ⎞⎛F = ∫ ydx = ∫ ⎜ θi x − mx ⎟ dx = i − Fm → θi = 3( F + Fm ),23⎠00⎝254ofcx =∫of+pdy − p y f o =i1+∫ ( p − p0 )dy − ( p − p0 ) y f o =Mi−( p + − p0 ) y f o = 3F + 3F22mM −120− 3( p + − p0 )201∫ θ dx −−120F − FmF + 3Fm (2 F − Fm )=3.2M 02 − 12В последнем переходе использовано определение F m .Итак, для оптимального контура с задним торцом в рамкахлинейной теории справедливы формулыλ = −6F + 3FmM −120, y = 3( F + Fm ) x − 3F + 3Fm 2F − Fmx , yf o = 3,22θi = 3( F + Fm ), θ f o = −6 Fm , cx = 3F + 3Fm (2 F − Fm )2M 02 − 1(16°).Напомним, что λ ≤ 0 – одно из условий того, что задний торец –УКЭ.
Если р+ ≤ р 0 , то F m ≥ 0, и оно выполняется. Как уже отмечалось, при р+ = р 0 , т.е. при нулевом донном сопротивлении, F m =0, оптимальный контур имеет задний торец при любой F > 0, всилу (14°) и (16°) θ f ° = 0, а с х такого оптимального контура в соответствии с формулами (17) и (16°) вчетверо меньше с х псевдооптимального контура с острой задней кромкой. Если для техже тел при р+ = р 0 рассчитать с х по линеаризованной ФН (1), тополучается в точности тот же результат, несмотря на разную рольподветренной части профиля в линейной теории и в рамках ФН.Она, не внося сопротивления по ФН, в линейной теории даёт0.5с х .В рамках ФН (1) р ≡ р 0 на всей подветренной части контура сзадним торцом или без него.
Поэтому в оптимальный контур нетсмысла включать бесполезный участок с отрицательным, отличным от –π/2 углом наклона касательной, увеличивая за счёт этогонаклон и сопротивление наветренной части тела. Таким образом,задний торец в приближении ФН неизбежен, а действующее нанего давление р+ = р 0 . При этом равенство (8) принимает видsin 2 θ f o (1 + 2sin 2 θ cos2 θ) f o = 0 ,255откуда следует, что θ f ° = 0.
Отсюда аналогично интегралам (12)получим параметрическое представление участка if ° оптимального контура:(3 + q 2 ) q 22q3x = 1+, y = yf o +, q = tgθ, qi ≥ q ≥ 0 . (20)2 2λ (1 + q )λ (1 + q 2 ) 2Если равенства (20) записать в точке i, то первое даст λ, авторое (с найденным λ) – у f ° через q i :λ = −(3 + qi2 ) qi2 /(1 + qi2 ) 2 , y f o = 2 qi /(3 + qi2 ) .В силу первого из них λ ≤ 0 и, следовательно, выполняется условие (10), показывающее, что задний торец – УКЭ. Значение q iподбирается так, чтобы найденная по формуле (4) площадь F была равна заданной величине. Для ФН, выполнив дифференцирование в уравнении (11), найдём, чтоd θ / dx = λ /[(3 − q 2 )sin θ cos3 θ] .Как и в Гл. 4.1, можно показать, что в рассматриваемой задачеоптимальный контур должен удовлетворять условию Крылова: q≡≡ 1/х′ ≤ 1.
Поскольку λ ≤ 0, то dθ/dх ≤ 0, т.е. оптимальный контурвыпуклый, и F – монотонно возрастающая функция q i . Если F 1 == F(q i = 1), то для F > F 1 у оптимального контура, как и в Гл. 4.1,появляется еще один УКЭ – передний торец.Для нелинейного ЗЛВ (2), как и для его линейной версии (3),при малых F оптимальные контуры имеют острую заднюю кромку, однако угол её заострения |θ f | > θ i . Покажем это. ЗЛВ (2) –простая волна, в которой все параметры – функции р или θ, причём в силу формул (2.3.5) и (1.4.8): da–2/dp = 2/(ρа4) – ρ2ωрр , а длясовершенного газа ρ3а4ωрр = γ + 1. Согласно им и тому, что в рассматриваемом изэнтропическом и изоэнергетическом теченииdρ/dp = a–2 и dV/dp = – 1/(ρV), имеем⎛ d ρV 2 ⎞ρV 2pθ =, pθθ = ⎜⎟ pθ ,2M2 − 1⎝ dp M − 1 ⎠ρ3a 4 ω pp M 4 − 4M 2 + 4 ( γ + 1)M 4 − 4M 2 + 4d ρV 2==.dp M 2 − 12(M 2 − 1)3 / 22(M 2 − 1)3 / 2256Значит, р θθ > 0 при М ≥ 1, а р θ – положительная растущая функция θ.
Но для всех ЗЛВ заострённые с обоих концов оптимальныеконтуры удовлетворяют условию (14):p θi sin2θ i = p θf sin2θ f . В силучётности sin2θ для растущей функции р θ , θ i > 0 и θ f < 0 оно выполняется только при |θ f | > θ i .Для тонких тел существенно сопротивление трения, соизмеримое или превышающее волновое и слабо зависящее от формыобразующей. Поэтому для демонстрации роли профилированияприведём результаты, полученные для достаточно толстых профилей (А.Н. Крайко, Д.Е. Пудовиков, 1997 [45, 46], см.
также[47]). Оптимальные контуры строились в рамках ФН и линейнойтеории, но их с х рассчитывались численным интегрированиемуравнений Эйлера с явным выделением головной ударной волны.Для тел с F = (tg30°)/6 = (6√3)– 1 ≈ 0.096, обтекаемых газом с γ =1.4, результаты представлены в табл. 4.1 и на рис. 4.4. У симметричного относительно х = 0.5 тела, построенного для этого F поформуле (16), θ i = –θ f = 30°, а полутолщина τ 0 ≡ у(0.5) = 0.144.Т а б л и ц а 4.1Сравнение оптимальных и псевдооптимальных профилейp+/p 001M036123612254125851409275c xL ×104(202)(74)(30)(98)(47)(23)1409071c xN ×104(53)(53)(53)448296253448296253c xS ×104(393)(188)(93)(393)(188)(93)76137198220222237Δc xS (%)(95)(154)(210)(301)(300)(304)116130137144144144y f°L ×103159159159y f°N ×103В табл.
4.1 собраны с хL , c xN и c xS – с х тел, оптимальных по линейной теории и ФН (для р+ = р 0 ) и псевдооптимальных без заднего торца. Для всех с х дано две величины: найденная интегриро257ванием уравнений Эйлера (точная), а в скобках – определённаяпо ФН (для c xN ) и по линейной теории (для с хL и c xS ). Кроме того,приведены Δc xS = (c xS /с хL – 1)⋅100, характеризующие преимущества оптимальных контуров и значения их у f ° . Влияние р+/р 0 падает с ростом М 0 , что естественно, ибо р 0 = 1/(γМ 0 2) и с ростомМ 0 вклад в с х заднего торца при р+/р 0 = О(1) много меньше вклада наветренного участка.1M0 = 30.50p+/p0 = 01x0.51Рис. 4.4Слабую зависимость от величины р+/р 0 не только у f ° , но ивсего оптимального контура демонстрирует рис.
4.4. На нём η == у/τ 0 , сплошными кривыми даны оптимальные и псевдооптимальные контуры, построенные в рамках линейной теории, аштрихами – по ФН. Табл. 4.1 и рис. 4.4 показывают, что несмотряна большие ошибки при определении с х с помощью ЗЛВ, оптимальные контуры, построенные в рамках разных ЗЛВ, близки поформе и по точным значениям с х . Последние много меньше, чемс х псевдооптимальных контуров с острой задней кромкой.Глава 4.3. Пространственные тела, оптимальныев приближении законов локального взаимодействияСокращения: ЗЛВ – закон локального взаимодействия, МХП –метод характеристических полосок, НП – наветренная поверх258ность, УДЭ и УКЭ – участки двустороннего и краевого экстремума, ФН – формула Ньютона.В рамках некоторого класса законов локального взаимодействия (ЗЛВ), в которых кроме нормальной составляющей силы(давления) есть отличная от нуля касательная компонента (трение), рассмотрим задачу построения пространственных тел минимального полного сопротивления.
Ограничившись сначала телами с заданным основанием S b , покажем затем, что построенныерешения можно использовать в задаче с заданными S b и максимально допустимой длиной тела L. Используемые далее ЗЛВ, каки формула Ньютона (ФН) в Гл. 4.1, определяют силы, действующие только на наветренную поверхность (НП) тела (рис.4.5).V0ySnt0zSbiΓxРис. 4.5Направим ось х декартовых координат xyz по скорости V 0 набегающего потока и совместим основание тела с плоскостью х == 0.
Пусть х = х(у, z) – уравнение НП, n и t – орты внутреннейнормали и касательной к НП, а i – орт оси х. Вектор t выбран так,что все они лежат в одной плоскости (компланарны). Для ЗЛВ, вкоторых сила трения направлена по вектору t, получим, что259D = ∫∫ {[ p0 + qc p ( α)]n + qc f ( α) t}dS ,Sα = α( y , z ) ≡ n ⋅ i =11 + x z2 + x 2y, t ⋅ [n × i ] = 0, t ⋅ i = 1 − α2 .(1)Здесь D – сила действующая на НП, S – площадь НП, q = ρ 0 V 0 2, акоэффициенты давления и трения с р (α) и с f (α) – известные положительно определённые функции α, параметров набегающегопотока и констант ЗЛВ.Если оптимальная НП не содержит параллельных V 0 цилиндрических участков, что при задании только основания S b достаточно очевидно, то dS = dS b /α, и коэффициент сопротивления НПc D согласно формуле (1) равенc f ( α)1D ⋅ i − Sb p0cD =F ( α)dSb , F ( α) = c p ( α) +1 − α2 .(2)=∫∫qSbSb SαbR→∞N→∞Рис.
4.6Для ФН без трения, когда с р (α) = α2, а с f (α) = 0, задание только основания S b недостаточно для корректной постановки задачипостроения тела минимального сопротивления (для ФН – волнового). Действительно, здесь, как и в Гл. 4.1, c D = с х → 0 с ростомдлины тела L. Для пространственных тел при задании и L, и площади основания S b задача по-прежнему некорректна. Теперь с х260можно сделать сколь угодно малым, устремив к бесконечностивнешний радиус R, а к нулю внутренний радиус r или при фиксированных R и r число N продольных рёбер пространственногоежа (рис. 4.6), для которого в отличие от выемок на рис. 4.1, вФН применима. Даже, если задать L, R и S b , то с х → 0 при N → ∞.Именно поэтому в первых работах по построению оптимальныхпространственных тел в рамках ФН без трения (А.Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
