А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 44
Текст из файла (страница 44)
4.12, а с периодической гаммой. Согласно вязкому расчёту [53] в данном случае выигрыш потяге по сравнению с соплом с плавным сужением составил0.63 %. При правильном профилировании выигрыш равен 0.83 %,а висячий скачок может возникнуть только справа от ЗХ hd.Кроме сопел Лаваля, с использованием МНКК строились сопла с центральным телом и сопла, названные «тарельчатыми»[54-59]. Представление о поле чисел Маха в тарельчатом сопле скамерой сгорания внутри него даёт рис.
4.12, б. Одна из особенностей таких сопел – поворот до- и трансзвукового потока набольшие углы. При реальных ограничениях на габариты и заданном расходе газа из-за этого оптимальные сверхзвуковые контуры начинаются с вогного (в сторону течения) участка постоянного давления [54]. Идущие от них волны сжатия (на рис.
4.12, б –С–-характеристики), пересекаясь, формируют висячий скачок,хорошо видный на рис. 4.12, б. Начальная точка висячего скачкарасполагается слева от замыкающей С+-характеристики, приходящей в концевую точку контура.278wyа)б)yhf 0.302f0.294sсx = 0.314di°idx0ix0lРис. 4.13Вторая задача, в которой будет применён МНКК, – задачаНьютона о головной части минимального волнового сопротивления, решаемая в отличие от Гл. 4.1 в рамках уравнений Эйлера(А.Н.
Крайко, Д.Е. Пудовиков, К.С. Пьянков, Н.И. Тилляева, 2003[60]). Однако и в новой постановке оптимальная головная частьимеет передний торец – УКЭ теперь только из-за задания её длины. Ограничимся головными частями, которые назовём короткими. Этот термин означает следующее: удлинение l (отношениедлины к радиусу их основания) таково, что на до-, транс- и сверхзвуковое течение за отошедшей ударной волной до ЗХ пучка разрежения, образующегося при обтекании излома в точке стыковкиd торца и пологого участка контура d + f, не влияет форма последнего (рис.
4.13, а, d + h – часть ЗХ, wf – С–-характеристика). Заотошедшей ударной волной перед затупленными головными частями энтропия s = S(ψ), где ψ – функция тока. Для коротких головных частей функция S(ψ) в характеристическом треугольникеd + hf не зависит от формы участка d + f.Волновое сопротивление χ выразим через разности потоковх-компоненты количества движения через ударную волну и черезпока неопределённую кривую fw, соединяющую концевую точкуголовной части f и точку ударной волны w,279fwwiiofχ = ∫ pydy = ( p0 + ρ0V02 ) ∫ ydy − ∫ [ y ( p + ρu 2 )dy − yρuv dx ] .Перейдя к интегрированию по функции тока ψ, которая для ν = 2и нормирующего множителя k = 1 вводится равенством (3.1.10)(7)d ψ = yρ( udy − v dx ) ,получимw⎛ p⎞χ = ⎜ 0 + V0 ⎟ ψ w − ∫ ( ypdy + ud ψ) .⎝ ρ0V0⎠fЕсли у = у(ψ) на fw, а штрих означает производную по ψ, тосогласно равенству (7) для х = х(ψ) на fw и для длины fw имеемψw⎛ 1uy ′1uy ′ ⎞′−−x =dψ ., X ≡ x f − xw = ∫ ⎜(8)yρvyρv v ⎟⎠vψ f =0 ⎝Для получения необходимых условий минимума χ, составимфункционалψw⎡⎛ p⎞⎛ uy ′1 ⎞⎤J = χ + λX = ⎜ 0 + V0 ⎟ ψ w − ∫ ⎢ ypy ′ + u + λ ⎜−⎟ ⎥d ψ ,yρvv⎝⎠⎦⎝ ρ0V0⎠⎣ψ f =0в котором λ – неопределённый постоянный множитель Лагранжа.При любом допустимом варьировании Х = const, и Δχ = ΔJ.При варьировании учтём, что зависимость у = у(ψ), т.е.
кривая fw в плоскости ψу и значения ψ в её концевых точках фиксированы. Варьирование контура d + f не изменяет течение слева отЗХ пучка волн разрежения, а параметры на ЗХ, в частности, вточке h непрерывны. Наконец, вариации параметров потока – этоих приращения при фиксированном ψ, а для короткой головнойчасти S(ψ) не изменяется при варьировании контура d + f. Следовательно, δρ = а–2δр, а δр = – ρ(uδu + v δ v ).
В соответствии сэтим, проведя необходимые выкладки, получим280Δχ = ΔJ =ψh∫( Au δu + Av δv )d ψ,ψ f =0(9)2322λu − yρa v yρuv − λyρv + λua −v+y ′, Av =y′ − λ.22vyρa 2v 2yρa vvДалее, как и при профилировании сопла, за счёт выбора кривой hf обратим в ноль коэффициент Аv, что даст уравнение дляопределения hfλ(a 2 − v 2 )y′ =.(10)yρa 2 ( yρv 3 + λu )Вариации δu, оставшиеся после этого в выражении (9), не являются независимыми, так как при варьировании необходимо удовлетворять условию постоянства Х. Их независимость достигаетсявведением на hf компенсирующей точки с, в которой, пользуясьпроизволом в выборе множителя λ, обратим в ноль коэффициентАu.
Подставив в него х′ из уравнения (10), найдём, что в точке сAu =λ = ± yρv 2 / M 2 − 1 .(11)Рассудая далее, как при построении оптимального сопла, установим, что условие (11) должно выполняться на всём отрезкеhf. Подставив затем определяемое им λ в уравнение (10), а получившееся у′ – в дифференциальное уравнение из (8), найдём, чтоm sin( θ m μ )cos(θ m μ)y′ =, x′ = m.yρV sin μyρV sin μОтсюда следует, что dy/dx = tg(θ ± μ), т.е.
для оптимальногоконтура головной части fh – отрезок С+- или С–-характеристики.Чтобы соединить точку f с ЗХ, в качестве hf естественно взятьотрезок С–-характеристики, чему отвечает верхний знак в равенстве (11). В результате оно примет видyρV 2 sin 2 θtgμ = λ .(12)Оптимальный размер торца определяется численно. На рис.4.13, б для фиксированного торца по результатам расчёта (М 0 = 2,γ = 1.4, l = 1) построено несколько ЗХ пучка волн разрежения сфокусом в точке d и выпущенных с них экстремальных С–-харак281теристик hf с точками f, лежащими на прямой х = ly = y.
Благодаря этому удлинение всех отвечающих таким ЭХ головных частейодинаково (l = 1). Оптимальную головную часть выявило сравнение с х головных частей, построенных для разных точек h. Её с х == 0.294. То, что торец – УКЭ, проверялось сравнением с х этойголовной части и головных частей с торцами, деформированными разными допустимыми способами. Их с х всегда был больше.Так же, как для головной части, условие (12) получается в задаче о построении оптимального сопла для переменных Н и s.Здесь именно оно, а не условие (4) определяет распределение параметров на отрезке hd. При постоянных Н и s для оптимальногосопла справедливы оба условия (4) и (12). Два условия, выполняющихся в таком случае на отрезке hd, не противоречат условию совместности для С+-характеристики, справедливому на томже отрезке.
Как показал Ю.Д. Шмыглевский [61], любое из них иусловие совместности даёт второе. В силу равенства (12), если θ= 0 в одной точке hd, то θ = 0 всюду на hd. Это доказывает сделанное ранее утверждение о том, что при θ d = 0 поток на срезеоптимального сопла равномерный и параллельный оси х.Глава 4.5. Прямые методы построения оптимальныхконфигурацийСокращения: ГА – генетический алгоритм, КБ – кривая Безье,КПД – коэффициент полезного действия, ОММЛ – общий методмножителей Лагранжа, УДЭ и УКЭ – участки двустороннего икраевого экстремума, ФП – фронт Парето.При несомненной теоретической красоте, а подчас, как в задаче о профилировании сопла максимальной тяги, и практической значимости результатов, которые удаётся получить непрямыми методами вариационного исчисления (или что то же – теории оптимального управления), надежды на решение весьмасложных и важных для приложений задач построения оптимальных аэродинамических форм связываются с так называемымипрямыми методами.
Последнее тем более справедливо, когда282речь заходит о задачах многодисциплинарной оптимизации. Хотяи здесь непрямые методы часто полезны, их роль сводится к выяснению структуры оптимальных конфигураций, а не к их окончательному построению. В последнее время прямые методы получили бурное развитие.Начнём с задачи об осесимметричной головной части минимального волнового сопротивления при ограничениях на её габариты (максимально допустимые длину L и радиус Y или на удлинение l = L/Y и на Y, который примем за линейный масштаб) иобъём Ω или на коэффициент объёма с Ω = Ω/(πLY2). Полученноенепрямыми методами в приближении формулы Ньютона решение этой задачи описано в Гл.
4.1. Согласно ему интерес представляют Ω 0 ≤ Ω ≤ 1, где Ω 0 – объём, который при том же удлинении l получается в задаче Ньютона. При таких Ω оптимальныеголовные части всегда имеют передний торец, а начиная с некоторого Ω 1 > Ω 0 – цилиндрический УКЭ у = 1. Эту информациюоб оптимальной головной части естественно использовать и прирешении той же задачи прямыми методами в рамках уравненийЭйлера, допуская у искомой головной части наличие переднеготорца и цилиндрического УКЭ: у = 1.В прямых методах искомый контур задается N параметрами,играющими роль управлений. В качестве управлений можновзять ординаты (N – 1)-й точки пологого участка при фиксированных x и абсциссу начальной точки цилиндрического участка.Пологий участок можно аппроксимировать сплайнами или другими функциями.
В таком случае управлений (параметров этихфункций) будет меньше. Вне зависимости от выбора управленийв классических прямых методах каждая коррекция требует равного числу управлений прямых расчётов обтекания оптимизируемой конфигурации. Поэтому при большом числе управлений(N >> 1) они весьма затратны по потребным вычислительнымресурсам и временам счета.283wуhа)б)уKyKfksdi°xi0k +1k –1lу0 =10ХxРис. 4.14Принципиальную возможность получения информации, необходимой для очередной коррекции оптимизируемого профиля,за один прямой расчёт даёт общий метод множителей Лагранжа – ОММЛ (K.G.
Guderley, J.V. Armitage, 1962; Т.К. Сиразетдинов, 1963, см. [51]). В рамках ОММЛ при фиксированномобъёме Ω приращение коэффициента волнового сопротивленияΔc х при допустимых варьированиях короткой головной части(рис. 4.14, а, тонкие кривые – С+- и С–-характеристики и звуковаялиния ds) даётся формулой⎛ d− f ⎞(1)Δc x = A y Δyd + A x Δxd + ⎜ ∫ + ∫ ⎟ B x δo xdy .⎜ i d ⎟+ ⎠⎝°Здесь Δy d , Δx d ≥ 0 и δ x – приращения y d и x d и вариация x на УКЭid – и УДЭ d + f, а коэффициенты Ay, Ax и Bx – известные функции у,параметров течения и множителей Лагранжа μ 1 -μ 3 на контуре idf.Множители μ k вводят во вспомогательный функционал уравнения течения, записанные, например, в форме∂ ( yρu ) ∂ ( yρv )∂y (ρu 2 + p ) ∂ ( yρuv )L1 ≡+= 0, L2 ≡+= 0,∂x∂y∂x∂y∂ ( yρus ) ∂ ( yρv s )L3 ≡+= 0.∂x∂yДля построенной на предыдущей итерации головной частирассматриваемого типа параметры течения определяются из ре284шения прямой, а множители μ k – сопряженной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
