А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Полуугол при его вершине θ = arcsin(1/S). Наряду с конической можнопостроить бесконечно много оптимальных пространственныхНП, которые при таких S, опираясь на круговое основание, имеютодинаковые с Dm = F(1/S). Одна из них изображена на рис. 4.8, б.На НП любого оптимального тела α = α m = 1/S. В силу формул(7), записанных для S 1 = S 0 = 0, это обеспечивает одинаковые увсех оптимальных тел значения с D и S.Пусть теперь c f ≤ c f∗ ≈ 1.0752, а α m1 < 1/S ≤ 1.
В таких случаяхоптимальная НП состоит из торца и УДЭ, на котором для всех Sиз указанного диапазона α m = α m1 (c f ), т.е. постоянно. При круговом основании одна из оптимальных НП – поверхность усеченного кругового конуса. Три таких усеченных конуса изображенына рис. 4.10, а. При S → 1 высота усеченного конуса стремится кнулю. Напротив, с ростом S при достижении ею величины S == 1/α m1 (c f ) конус становится острым. Полуугол при вершине усеченного конуса θ = arcsinα m1 (c f ) ≤ arcsin(1/S), и равенство имеетместо в предельном случае S = 1/α m1 (c f ). Поверхность усеченногоконуса (рис.
4.10, а) можно разбить на несколько, например, надве поверхности, как показано на рис. 4.10, б. Наконец, конические поверхности можно заменить пространственными. При круговом основании такие пространственные оптимальные НП можно получить удалением плоскостью x = const носовой части оптимального тела, изображённого на рис. 4.8, б.
Отличие от предыдущего случая в том, что пространственная оптимальная НПстроится не для α m = 1/S, а для α m = α m1 (c f ).а)в)б)г)Рис. 4.10268Пусть теперь c f ≤ c f∗ ≈ 1.0752, но 0 ≤ 1/S < α m0 . При этом оптимальная НП состоит из цилиндрического участка и УДЭ. НаУДЭ для всех S из указанного диапазона α m = α m0 (c f ), т.е.
опятьпостоянная, но меньшая величина. При круговом основании однаиз оптимальных НП – поверхность кругового цилиндра с конусом, полуугол при вершине которого θ = arcsinα m0 (c f ) ≥≥ arcsin(1/S). Равенство имеет место при S = 1/α m0 (c f ). Две такихНП вместе с предельным конусом изображены на рис. 4.10, в. Цилиндрические и конические участки можно комбинировать произвольным образом при сохранении величин S и S 0 , а на конических участках α m = α m0 (c f ). Одна из получающихся при этом оптимальных конфигураций изображена на рис. 4.10, г. Любой конус на рис.
4.10, в и г можно заменить пространственной оптимальной НП, построенной для α m = α m0 (c f ).Расчёты, выполненные для c f ≤ c f∗ , подтвердили превосходство ПН с торцевыми (при α m1 < 1/S < 1) и цилиндрическими (при0 ≤ 1/S < α m0 ) УКЭ, хотя для c f << 1 оно незначительно. С увеличением c f уменьшение сопротивления становится более заметным, прежде всего для тел с торцами. На рис. 4.9, б кривые n = 4и n = 2 рассчитаны для коэффициента трения c f = 0.5, замечательного тем, что α m1 (0.5) = 1/√2 ≈ 0.7071, а c Dm ≡ 1 для всех 1/√2≤≤ 1/S ≤ 1.
Для c f = 0.5 при 0 ≤ 1/S < α m0 (0.5) ≈ 0.1265 оптимальныеНП имеют цилиндрические УКЭ. На рис. 4.9, б и в приведенывеличины δc D = c D /c Dm – 1, где c D = F(1/S) – сопротивление острого конуса. Кривая n = 3 дает зависимость δc D от 1/S для c f = c f∗≈≈ 1.0752. Хотя в этом случае δc D примерно в 5 раз больше, чемдля c f = 0.5, уменьшение сопротивления при переходе к комбинации конуса и цилиндра составляет десятые доли процента.
Длябольших 1/S переход к затупленным конусам уменьшает сопротивление заметно больше: до 5% при c f = 0.5 (кривая n = 2 на рис.4.9, б) и до 19% при c f = c f∗ (штриховая кривая на рис. 4.9, в).Согласно рис. 4.9, а для c f > c f∗ ≈ 1.0752 и 0 ≤ 1/S ≤ 1 нарушается хотя бы одно из необходимых условий (12). Это значит, что269при таких c f оптимальная НП не может иметь УДЭ.
Единственнаяостающаяся возможность – затупленный по торцу цилиндр, т.е.поверхность, образованная УКЭ двух допускаемых условиями (3)типов. Переход от построенных выше оптимальных НП с УДЭпроисходит естественным образом, ибо при c f = c f∗ их сопротивление равно сопротивлению затупленных цилиндров с теми же0 ≤ 1/S ≤ 1. Для c f > c f∗ ≈ 1.0752 с ростом коэффициента тренияпреимущество оптимальных затупленных по торцу цилиндровнад острыми конусами быстро растет (рис. 4.9, в).Глава 4.4. Метод неопределённого контрольного контурав рамках уравнений ЭйлераСокращения: КК – контрольный контур, МКК – метод контрольного контура, МНКК – метод неопределённого контрольного контура, МХ – метод характеристик, ЗХ – замыкающаяхарактеристика пучка волн разрежения, УКЭ – участок краевого экстремума, ЭХ – экстремальная характеристика.В Гл.
4.1–4.3 оптимальные аэродинамические формы строились в рамках приближённых законов локального взаимодействия. В данном параграфе оптимальное профилирование выполнено в точной постановке с использованием уравнений Эйлера,описывающих плоские и осесимметричные течения идеальногогаза. В таком приближении будет спрофилировано сопло Лаваля,реализующее максимум тяги, и построена осесимметричная головная часть минимального волнового сопротивления. В обеихзадачах искомые контуры удовлетворяют дополнительным габаритным ограничениям. Для применяемого здесь метода отсутствие ограничений типа задания объёма или омываемой поверхности принципиально.
Дело в том, что и объём, и омываемая поверхность не выражаются через интегралы по контрольномуконтуру (КК), сводящему двумерную задачу с уравнениями вчастных производных к одномерной задаче вариационного исчисления.Первым метод контрольного контура (МКК) применилА.А. Никольский (1950). В линейном приближении он построил270осесимметричную кормовую часть тела с протоком, реализующщую при сверхзвуковом обтекании минимум волнового сопротивления. При этом КК состоял из отрезков линеаризованных С+и С–-характеристик.
Характеристический КК в рамках полныхуравнений Эйлера первыми применили К. Гудерлей и Э. Хантш(1955). При профилировании сверхзвуковой части сопла Лаваляони свели определение экстремальной характеристики (ЭХ) крешению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ю.Д. Шмыглевский (1957) нашёл её точноерешение, что существенно упростило построение оптимальныхсопел, а Л.Е. Стернин (1957) распространил это решение на произвольный двупараметрический газ. Более простой способ, которым к тем же результатам пришёл G.V.R. Rao (1958), сначалавоспринимался как ошибочный. Позднее, однако, он получил необходимое обоснование (А.Н.
Крайко, 1979 [51]) и как методнеопределённого КК (МНКК) существенно упростил построениеЭХ в ряде вариационных задач сверхзвуковой газовой динамики.а)yabdxgXf dв)yб)Δхdd°hо0fdΔydahb0оxgXРис. 4.11Поясним идею МНКК на примере задачи оптимального профилирования расширяющейся части плоского (ν = 1) или осесимметричного (ν = 2) сопла Лаваля (рис. 4.11, а). Его сужающаяся часть ab, определяющая до- и трансзвуковое течение до271С–-ха-рактеристики bo, которая приходит на ось х в ту же точку о,что и звуковая линия, задана. На рис. 4.11 звуковые линии даныпунктиром.
Кроме того, заданы давление р+ в окружающем пространстве (например, р+ = 0 при полёте в пустоте), длина расширяющейся части сопла или, что то же, при заданной сужающейсячасти – его полная длина Х, а также максимально допустимая ордината Y его концевой точки f. Ограничимся однородным по Н иs и незакрученным (при ν = 2) потоком на входе в сопло. Требуется построить контур bf расширяющейся части, который присформулированных условиях реализует максимум тяги сопла.При отсутствии ограничений на кривизну контура стыковказаданной сужающейся части и искомой расширяющейся части вобщем случае будет негладкой. Получающийся излом обтекаетсяс образованием пучка волн разрежения из С–-характеристик, выходящих из точки b. Из-за ограничения на длину искомый контурможет содержать концевой участок краевого экстремума (УКЭ)– торец df, на котором х ≡ Х.
Примем, что торец сверхзвуковымпотоком не обтекается, а действующее на него давление р = р+ независит от формы искомого контура.Тяга сопла равна сумме потока х-компоненты количествадвижения на входе в расширяющуюся часть I ∗ и интегралов силдавления, действующих на обтекаемый сверхзвуковым потокомучасток контура bd и на торец df.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
