А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Её уравнения, линейные относительно μ k , решаются в обратном направлении – от С–-характеристики hf. Для определения μ k , а вместе сними и коэффициента Bx на УДЭ d + f сопряженную задачу нужнорешить только в треугольнике dhf при известных μ k на hf и одномусловии на участке d + f контура тела. Задание Ω проявляетсятолько в условии на d + f. Решение сопряженной задачи в треугольнике dhf много проще расчёта обтекания головной части сотошедшей УВ.Значения Bx на участке d + f, найденные из одного прямого расчёта обтекания головной части и решения сопряженной задачи втреугольнике dhf, определяют направление требуемых измененийx на всем пологом участке (х d = 0, х f = l, т.е. фиксированы).
Коэффициент Аy, определяющий направление изменения у d , вместес коэффициентами Ax и Bx на торце id – можно найти только послерешения всей сопряженной задачи, что неизмеримо сложнее [60].Но коэффициенты Ax и Bx на торце id – нужны не для построенияконтура idf, а для доказательства того, что торец – УКЭ.
Найти женаправление изменения у d можно из ещё одного прямого расчёта.С 1990-х годов широкое распространение получили подходы,основанные на анализе чувствительности. Как и множителиЛагранжа и выражающийся через них множитель D в формуле(1), ключевые для таких прямых методов коэффициенты чувствительности находятся из одного прямого расчёта. Другое,сближающее эти подходы обстоятельство состоит в том, что одиниз способов определения коэффициентов чувствительности состоит в решении сопряжённой задачи, которая при строгой реализации эквивалентна сопряжённой задаче ОММЛ.Для задач, в которых УДЭ оптимизируемых контуров и поверхностей обтекаются сверхзвуковым потоком, С.А.
Таковицкий [62, 63]. развил метод локальной линеаризации (МЛЛ), вкотором число прямых расчётов не связано с числом управленийK. Основные идеи этого метода изложим на примере задачи о построении оптимальной сверхзвуковой части осесимметричногосопла.В качестве управлений возьмём величины у k (k = 1, …, K) –радиусов правых точек K отрезков искомой образующей с фик285сированными х 0 = 0, у 0 = 1 и x k (k = 1, …, K) с х K = Х. Среднимпараметрам на отрезках припишем полуцелые индексы, например, (рис. 4.14, б) h k–1/2 = x k – x k–1 . Изменение ординат y k изменяетуглы наклона отрезков θ и давление p на них.
Для связи приращений Δp и Δθ воспользуемся приближённой формулой простойволныΔp ≈ −ρV 2 tgμΔθ ≈ − AΔtgθ, A = ρV 2 tgμ cos2 θ– результатом локальной линеаризации уравнений течения относительно параметров около каждого отрезка. С учетом её приh k–1/2 = h = X/KΔyk −1/ 2 = ( Δyk −1 + Δyk ) / 2, Δyk′ −1/ 2 ≈ ( Δyk − Δyk −1 ) / h ,Δpk −1/ 2 ≈ Ak −1/ 2 ( Δyk −1 − Δyk ) / h ,а для приращения интеграла сил давленияXp+ 2yKχ = ∫ ypy ′dx −20с точностью до квадратов Δy k справедлива формулаK −1K −1K −1k =1k =1k =1Δχ = ∑ ak Δyk + ∑ bk ( Δyk ) 2 + ∑ ck Δyk Δyk +1 + a K Δy K + bK ( Δy K ) 2 ,h⎞h⎞⎛⎛,− ⎜ y ( y ′A − p ) − py ′ ⎟ak = ⎜ y ( y ′A − p ) + py ′ ⎟22 ⎠k −1/ 2⎝⎠ k +1/ 2 ⎝y⎞y⎞⎛ y ′A − p⎛ y ′A − p⎛ y⎞,−A ⎟−⎜+A ⎟bk = ⎜, ck = 2 ⎜ A ⎟h ⎠ k +1/ 2 ⎝ 2h ⎠k −1/ 2⎝ 2⎝ h ⎠k +1/ 2h⎞y⎞p+⎛⎛ y ′A − p.+ y K p + , bK = ⎜+A ⎟+aK = ⎜ y ( y ′A − p ) − py ′ ⎟h ⎠ K −1/ 2 22 ⎠ K −1/ 2⎝⎝ 2Для получения необходимых условий минимума χ приравняем нулю производные от Δχ по Δy k с k = 1, 2, …, K.
Это даст⎛ 1 0 0 0 K 0 ⎞ ⎛ Δy0 ⎞⎛0 ⎞⎜ 0 2b c 0 K 0 ⎟ ⎜ Δy ⎟⎜a ⎟⎧ Δy0 = 0,111 ⎟⎜⎜⎟⎜ 1 ⎟⎪⇔ ⎜ 0 c1 2b2 c2 0 K 0 ⎟ ⎜ Δy2 ⎟ = − ⎜ a2 ⎟ (2)⎨ ∂Δχ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎪ ∂Δy = 0, k = 1,..., K ; ⎜ ML OM ⎟⎜ M ⎟k⎩⎜⎜M ⎟⎜0⎟⎜a ⎟⎜⎟K cK −1 2bK ⎠ ⎝ Δy K ⎠⎝⎝ K⎠286Каждый цикл коррекции включает однопараметрическийспуск, состоящий в следующем. После решения системы (2) повектору Δy находятся величины Δχ(τ) = χ(y + τΔy) – χ(y) для трёхзначений параметра τ = 0, 0.5 и 1.(для исходного контура), 0.5Δyи Δy. В плоскости τΔχ через три точки проводится парабола:χ(τ) = χ(0) + a 1 τ + a 2 τ2, находится τ m = – a 1 /(2a 2 ), дающее максимум χ, и определяются ординаты y + τ m Δy нового контура, исходного для следующего цикла.Описанный подход легко обобщается на задачи оптимизациисверхзвуковых частей сопел при дополнительных (изопериметрических) условиях, когда неприменим метод неопределённогоконтрольного контура.
В рассчитанных примерах (А.А. Крайко,К.С. Пьянков, 2009) процесс оптимизации требовал 5-8 итераций,или 15-24 прямых расчётов течения.С применением аналогичного подхода строились головныечасти, оптимальные по волновому сопротивлению при заданныхгабаритах и объёме (Ефремов Н.Л., Крайко А.Н., Пьянков К.С.,Таковицкий С.А., 2006 [64]).
Число точек K на участке d + f контура головной части изменялось от 60 до 275. Для таких K построение затупленных (с передним торцом) головных частей требовало менее 50 прямых расчётов их обтекания.Наряду с классической оптимизацией, при которой искомаяконфигурация реализует минимум или максимум некоторой характеристики при фиксированных других (изопериметрическаявариационная задача), в последнее время широкое распространение получила многокритериальная оптимизация или оптимизация по Парето (В. Парето, 1896). Её смысл поясним на примере профилирования пространственной лопатки рабочего колесавентилятора воздушно-реактивного двигателя. Даже при рядесущественных упрощений эта задача – одна из сложнейших задачоптимального профилирования.
Перечислим принятые далее приеё решении упрощения: 1. На конечном расстоянии с обеих сторон от рабочего колеса образующие кольцевого канал – прямые,параллельные оси вращения; 2. Далеко перед колесом поток однородный и осевой; 3. Пограничные слои на стенках канала неучитываются; 4. Стационарное во вращающейся вместе с рабочим колесом системе координат пространственное турбулентное287течение описывается осреднёнными по Рейнольдсу уравнениямиНавье–Стокса, замкнутыми дифференциальной моделью турбулентности «ν t -90» (А.Н. Секундов, 1990).Важные характеристики рабочего колеса – степень повышения давления торможения π и коэффициент полезного действия (КПД) η. Далее при оптимизации фиксируются геометриякольцевого канала, в котором вращается РК, угловая скоростьвращения, расход газа, полная энтальпия H и энтропия s однородного по H и s потока перед колесом.
Лопатки могут удовлетворять дополнительным ограничениям, например, на радиускривизны передней кромки, закон изменения хорды, максимальную толщину и положение центра тяжести их цилиндрическихсечений как функций расстояния от оси вращения и т.п.
При перечисленных ограничениях и заданном π = π 1 > 1 можно построить лопатку, обеспечивающую максимум η = η 1 . Решение той жезадачи для π = π 2 > π 1 даст η = η 2 и т.д. Естественно, что при заданной угловой скорости вращения, расходе и других ограничениях π m ≤ π ≤ πm с заранее неизвестными значениями π m и πm.Поэтому представляют интерес задачи, в которых при заданном η= η 3 строятся лопатки, реализующие максимум и минимум π (нарис.
4.15, а это π 3 и π′ 3 ). Геометрическое место точек, которым вплоскости πη отвечают рабочие колеса из лопаток, построенныхв результате решения таких задач, образуют кривую, называемуюдалее фронтом Парето (ФП). На рис. 4.15, а ФП дан жирнойкривой (обычно под ФП понимают только её ниспадающий участок до точки а 3 ). В общем случае ФП – (N – 1)-мерная поверхность в N-мерном пространстве характеристик объекта.б)a2a1η30a)η1η2η1а3′1 π′3а3π1π2π3πРис. 4.15288По способу построения ФП ограничивает область всевозможных объектов, и в этом смысле отвечающие ФП объекты оптимальны.
В то же время с учётом сложности расчёта обтеканиядаже фиксированной лопатки описанный выше метод построенияоптимальных рабочих колес, а следовательно, и ФП даже в случае только π и η, как на рис. 4.15, а, практически нереализуем.Выход из создавшейся ситуации – в применении прямых методов, основанных на генетических алгоритмах (ГА, Дж. Холланд, 1975), использующих механизмы эволюции и селекции.Поясним главные идеи ГА. Двумерные профили удобно задавать кривыми или кривыми Безье (КБ, P.
Bézier, 1962). КБ связанс координатами вершин многоугольника (полигона), координатыкоторых определяют гладкий профиль. На рис. 4.15, б, на котором определённый двумя КБ профиль имеет острую заднююкромку, могут изменяться поперечные координаты вершин отрезков полигона при фиксированных продольных. Как деформируется профиль при изменении поперечной координаты одной вершины (светлые кружки), видно из сравнения сплошных и штриховых линий. Аналогично строятся поверхности Безье, определяющие две стороны гладкой пространственной лопатки.
В приводимых далее примерах количество свободных параметров,используемых при задания пространственной лопатки, составляло 50–60. Каждый набор свободных параметров даёт лопатку,называемую в ГА особью. Разным особям отвечают точки плоскости πη, которые в общем случае располагаются под ФП (отличные от a k кружки на рис. 4.15, а).Сначала свободные параметры и отвечающие им особи выбираются достаточно произвольно, хотя и с отбраковкой тех из них,которые не удовлетворяют имеющимся дополнительным ограничениям. Начиная с некоторого размера популяции, вводятсяразличные принципы отбора лучших особей и их скрещивание.При скрещивании свободные параметры новых особей получаются как взвешенные свободные параметры родительских пар.Одновременно с некоторыми вероятностями допускаются случайные отклонения (мутации).
Каждая новая особь проверяется289на выполнение дополнительных ограничений, после чего проводится расчёт её обтекания и определяется её место в популяции.Как и в сельскохозяйственной селекции, для отбора перспективных особей развит и постоянно совершенствуется обширныйнабор правил и приёмов. Однако при использовании ГА у исследователя намного больше возможностей, в частности, благодарясвободе в выборе мутаций. К тому же ГА допускает простое иэффективное распараллеливание на большое число процессоров(обтекание каждой особи рассчитывается на отдельном процессоре), а стратегия счёта – возможность предварительного отборапо результатам расчётов на грубых сетках.0.9 40.9 4а)η0.9 30.9 30.9 20.9 20.9 10.9 10.91.51.61.7б)η1.8π 1.90.91.51.61.71.8π1.9Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
