А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Гонор, Г.Г.Чёрный, начало 1960-х гг., см. [42]) фиксировались L, r и N.В рамках принятого ЗЛВ на НП0 ≤ α ≤ 1.(3)При некотором α = α m из этого конечного интервала функцияF(α) минимальна. Значит, в силу формулы (2) минимально возможное значение коэффициента сопротивления c Dm = F(α m ) имеют тела, в каждой точке которыхα = αm ,(4)а для любого иного тела с тем же основанием c D > c Dm .Согласно определению α из (1) равенство (4) приводит к нелинейному уравнению в частных производных первого порядка:(5)x 2y + x z2 = C 2 ≡ α −m2 − 1 ≥ 0 .Оно решается методом характеристических полосок (МХП),который состоит в следующем. Введя обозначения q = x y и r = x z ,продифференцируем уравнение (5), переписанное в формеq2 + r 2 = C 2 ,(5°)по y и z. С учетом того, что q z = r y , это даст два уравнения:qq y + rqz = 0, qry + rrz = 0 ,из которых следует, что q и r постоянны вдоль характеристических полосок: qdz = rdy – отрезков прямых в плоскости yz.
Ноdx = x y dy + x z dz ≡ qdy + rdz и с учетом уравнения (5°) вдоль нихdx = (C 2 / q )dy = (C 2 / r )dz ,и на характеристических полосках х – линейная функция у или z.НП пересекает плоскость уz по границе Г b основания S b , заданной уравнением Г(у, z) = 0. Следовательно, на Г b : х(у, z) = 0.Продифференцировав эти уравнения и исключив дифференциалыdy и dz, получим: q/Г y = r/Г z , а отсюда и из уравнения (5°) найдём261r = ±C Γ z / Γ 2y + Γ 2z , q = ±C Γ y / Γ 2y + Γ 2z .Из пары значений q и r берутся те, которые формируют НП, обращенную навстречу потоку.
Если основание – круг, то МХП даёт круговой конус с полууглом при вершине(6)θ m = arcsin(α m ).Первыми равенство (4) установили А. Миеле и Д. Халл (1965[42]), которые при построении пространственной оптимальнойНП в дополнение к S b задавали площадь НП S. Согласно их результату, полученному МХП, α m = S b /S, т.е. не зависит от видаЗЛВ. Как показано ниже, этот результат при правильности равенства (4) неверен: при круговом основании конус с α m = S b /S – неединственная и не всегда оптимальная пространственная НП.yyxxzzРис.
4.7Простейшие поверхности, нормаль к которым такова, что α == α m , – это круговые конусы с полууглом при вершине θ m и касающиеся их плоскости. Такие конусы и плоскости назовём оптимальными. Угол θ m определяется формулой (6), в которой α mдоставляет минимум функции F(α) в выражении (2) для коэффициента сопротивления с D . Используя оптимальные конусы иплоскости, можно исключительно просто конструировать широкий круг конических и неконических пространственных оптимальных НП (Г.Е.
Якунина, 2000 [47-49]). Так, конические оптимальные НП строятся из оптимального конуса и не менее двухоптимальных плоскостей (рис. 4.7).262Идею построения пространственных оптимальных НП с круговым основанием поясняет рис. 4.8, а. На нём в плоскости х = 0нарисованы окружности – основания трёх оптимальных конусови прямые – линии пересечения плоскости х = 0 с восьмью оптимальными плоскостями, которые касаются меньшего конуса посимметрично расположенным образующим. Попарно эти плоскости формируют одинаковые оптимальные клинья с равным 2θ mуглом при вершине.
Угол между плоскостями симметрии четырёх «сплошных» клиньев (им отвечают сплошные прямые) равенπ/2. Радиус и длина внешнего оптимального конуса с основанием,ограниченным сплошной окружностью, которая проходит черезчетыре точки пересечения сплошных прямых, в √2 ≈ 1.41 разбольше радиуса и длины меньшего (внутреннего) оптимальногоконуса. Оптимальное тело получается после удаления внешнимоптимальным конусом четырех полубесконечных частей клиньев.Результирующая пространственная оптимальная НП – наконечник крестообразной отвертки при таких же, как у внешнегооптимального конуса, площади основания, c D и площади НП S,имеет в √2 раз меньшую длину.yа)б)в)yyzxxzРис.
4.8Радиус штриховой окружности, проведённой через восемьточек пересечения и сплошных, и штриховых прямых, примернов 2.61 раза больше радиуса внутреннего конуса. Во столько жераз меньшей (при одинаковых основаниях) оказывается длинапространственной головной части, которая получается после уда263ления «штриховым» оптимальным конусом полубесконечныхчастей всех клиньев.Описанное построение можно выполнить, срезая внешнимоптимальным конусом лишнюю часть любых звездообразныхоптимальных конических тел с N одинаковыми лепестками. Пример такого построения приведен на рис. 4.8, б. На нём для N = 4удаляемые видимые части конического звездообразного оптимального тела и не входящая в пространственную оптимальнуюНП передняя часть срезающего оптимального конуса даны тонкими, а неконическое оптимальное тело – жирными линиями.При фиксированном N сокращение длины и ориентация переднихкромок оптимального тела зависят от длины срезаемых лепестков. Как и в случае рис.
4.8, а, минимальная длина и нормальныеоси х передние кромки получаются для бесконечно длинных лепестков. При этом для N ≥ 2 отношение длины пространственного оптимального тела к длине оптимального конуса с тем же круговым основанием равно sin(π/N), позволяя за счёт увеличения Nудовлетворить любому ограничению на длину оптимального телас круговым основанием. При N = 2 внешний и внутренний оптимальные конусы совпадают, и оптимальное тело остаётся круговым конусом, а при N = 4 и 8 уменьшения длин указаны выше.Способ построения более простой самолётоподобной оптимальной конфигурации (рис.
4.8, в) достаточно очевиден.Причина того, что при круговом основании с помощью МХПполучается только оптимальный конус, объясняется следующим.В рамках МХП изломы искомой поверхности возможны либо приналичии изломов на границе основания, либо из-за пересеченияхполосок, идущих из разных точек гладкой границы. Так, полоски,получающиеся при круговом основании для уравнения (4), тожепересекаются, но пересекаются в вершине оптимального конуса,где заканчивается искомая оптимальная НП. Расположенные заизломами пространственные вырезы отвертки на рис.
4.8, б –рукотворные создания, не связанные с условиями на границеоснования. Их МХП предсказать не мог.Пока в данном параграфе удавалось обходиться без аппаратавариационного исчисления. В задаче построения пространственных оптимальных НП с заданными S b и S без него обойтись не264удастся. Начнём с того, что при такой постановке следует предусмотреть торцы и цилиндрические УКЭ, которые могут появиться из-за ограничений (3) на α.
Если S 1 и S 0 – их площади (отнесённые к S b ), то для ФН с постоянным коэффициентом тренияcD =∫∫FdSb + c f S0 + S1 , S =Sb \ S1∫∫Sb \ S1cfdSb1 − α2 , (7)+ S0 + S1 , F = α2 +ααгде S ≥ S b = 1, 0 ≤ S 0 < S, 0 ≤ S 1 ≤ 1, а S b \S 1 означает интегрирование по основанию без проекций на него торцевых участков.Для получения необходимых условий минимума с D при заданной площади S составим функционал: J = с D + λS с неопределённым постоянным множителем λ. Так как S фиксировано, тоусловия минимума с D и J совпадают, иΔcD = ΔJ =тт δIdSb + тС(1 + λ -Sb \ S1=йтт клкI αδα +Sb \ S1I )δn1d Γ1 + ( c f + λ ) ΔS0 =Γ1щI αα( δα)2 + ...ъdSb + ...ъ2ы,(8)cfλλ1 - α2 + .= α2 +αααЗдесь контурный интеграл берется в плоскости x = const по границе Γ 1 , отделяющей торец (при S 1 > 0) от наклонной части НП –УДЭ, δn1 – смещение Γ 1 по внешней нормали к себе (в той жеплоскости), I на Γ 1 – значение со стороны УДЭ.Получение необходимых условий минимума начнём со случая отсутствия УКЭ (S 1 = S 0 = 0).
В некоторой компенсирующейточке с поверхности S за счет выбора множителя λ положим( I α ) c ≡ ( Fα − λα −2 ) c = 0(9)и одновременно с варьированием α в произвольной точке НП засчет изменения α в окрестности точки с сохраним S, причём принеизменной S b . Благодаря этому все вариации и приращения в (8)можно считать независимыми.На УДЭ вариации δα произвольны. Поэтому определяющееоптимальную НП необходимое условие минимума c D , в первуюочередь, сводится к равенству (9), которое должно выполнятьсяI = I ( α, λ ) = F ( α) +265не только в точке с, но и на всей оптимальной НП. Значит, на оптимальной НП α константа, а согласно равенствам (7) для S и c Dпри S 0 = S 1 = 0 и уравнению (9):α = αm ≡ 1/ S = Sb / S ≤ 1, λ = α2m Fαm ( αm ), cDm = F (1/ S ) .
(10)После этого выражение (8) для Δc D примет вид1ΔcD = ∫∫ I αα ( δα)2 dSb + (1 + λ − I ) ΔS1 + ( c f + λ ) ΔS0 .2 S \Sb1Отсюда получается условие Лежандра:ϕ L (α m , c f ) ≡ I αα α=α = 6 −mcfαm (1 − α2m )3/ 2=6−c f S4( S 2 − 1)3/ 2≥ 0,(11)но не только. Если оптимальная НП не содержит УКЭ (S 0 = S 1 == 0), то их введение (ΔS 0 > 0, ΔS 1 > 0) не должно уменьшать с D .Следовательно, такие оптимальные НП должны удовлетворятьеще двум необходимым условиям минимума с D .
После исключения λ они принимают видϕ0 ( α m , c f ) ≡ 2α3m − c f1 − 1 − α2m1 − α2mcfϕ1 ( α m , c f ) ≡ 1 + αm − 2α2m −1 − α2m2S − S2 −1−≥ 0,cfS3S2 −1(12)cf SS2 + S − 2=−≥ 0.S2S2 −1=Вторые выражения – результат замены α m на 1/S согласно (10).Функции ϕ 0 , ϕ 1 и ϕ L при c f > 0 знакопеременные и для любого 0 ≤ α m ≤ 1 при превышении некоторой величины c f – отрицательные. На рис. 4.9, а в плоскости α m = 1/S, c f кривые 0, 1 и Lотвечают обращению функций ϕ 0 , ϕ 1 и ϕ L в нуль.
Под ними соответствующие условия выполняются, а над ними не выполняются. При всех α m кривая L лежит выше одной из кривых 0 или 1,т.е. условия (12) сильнее условия Лежандра (11).При нарушении хотя бы одного из условий (12) у оптимальных НП кроме УДЭ, где по-прежнему справедливо второе равенство (10), появляются УКЭ одного или обоих типов, т.е. в общемслучае: S 1 ≥ 0 и S 0 ≥ 0. При этом по-прежнему α = α m , однако теперь вместо первой формулы (10) для α m справедлива связь:266S = (1 – S 1 )/α m + S 1 + S 0 .При S 1 > 0 и S 0 > 0 приращения ΔS 1 и ΔS 0 произвольны, и извыражения (8) для Δс D в качестве необходимых условий минимума с D вместо неравенств (12) получаются равенстваcf + λ = 0 ,(13)1 − α2m −cfαm1 − α2m −1 − αmλ =0.αm(14)При S 0 > 0 и S 1 = 0, то выполняются уравнение (13) и второе неравенство (12), а при S 0 = 0 и S 1 > 0 – уравнение (14) и первое неравенство (12).
Опуская дальнейшие детали, приведём результаты выполненного анализа (А.Н. Крайко, Г.Е. Якунина, 2008 [50]).2cfδcD⋅10L2nn=4n=20cf∗ ≈ 1.075в)б)a)δcDcf = ∞4101151n=33221.5cf∗2000αm0αm1αm или 1/S 100.3 0.71/S 1 0000.51/S1Рис. 4.9Согласно полученным выше условиям форма оптимальнойНП зависит не только от величины S, но и от 3ЛВ. На рис. 4.9, апунктирная горизонталь c f = const < c f∗ ≈ 1.0752 почти целикомлежит под кривыми 0 или 1 (α m∗ ≈ 0.2866, c f∗ ≈ 1.0752 в точке ихпересечения), ограничивающими сверху область, в которой удовлетворяются неравенства (12) – необходимые условия минимумас D .
Пусть α m0 = α m (c f ) на возрастающем участке кривой 0, α m1 == α m (c f ) на убывающем участке кривой 1, а заданная величина Sи коэффициент трения c f < c f∗ таковы, что α m0 ≤ 1/S ≤ α m1 . В таких случаях оптимальное α m = 1/S, и при круговом основании267одна из оптимальных НП – поверхность кругового конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
