А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Треугольники отвечают предельно толстым головным частям такого типа с горизонтальной касательной в точке f.Справа от них оптимальны контуры из переднего торца, выпуклого УДЭ и концевого УКЭ: у = 1. Между кружками и прямо247угольниками оптимальные контуры состоят из переднего торца иУДЭ, сначала выпуклых. С уменьшением с Ω на УДЭ появляютсявогнутые участки, а начиная с квадратиков – задний торец.Штрихами даны рассчитанные по ФН зависимости с х = с х (с Ω , l)для острых и затупленных эквивалентных конусов, удовлетворяющих тем же габаритным ограничениям.Рассчитанные интегрированием уравнений течения идеального газа с х головных частей, построенных в рамках ФН, подтвердили преимущества выпуклых оптимальных контуров. В противоположность этому с х головных частей с вогнутыми участками,а тем более с задним торцом, как правило, превосходили с х эквивалентных конусов.
В тех же примерах, где преимущество сохранялось, оно было заметно меньше, получавшегося по ФН. Одноиз следствий этих результатов – изменение постановки задачи.На практике задание объёма головной части обусловлено размещением в ней полезного груза фиксированного объёма Ωm. Дляэтого объём головной части должен удовлетворять неравенствуΩ ≥ Ωm. Если Ω 0 отвечает решению ЗН со свободным объёмом, иΩ 0 ≥ Ωm , то именно оно с с х = с х0 , минимальным для заданного l,даёт решение задачи. Согласно рис.
4.2 при этом возможно значительное (при l ≥ 1 – в несколько раз) уменьшение с х . С математической точки зрения, такая головная часть – пустотелый обтекатель со стенками нулевой толщины и располагающимся внутринего полезным объёмом Ωm. Таким образом, оптимальные в рамках ФН головные части с с Ω < с Ω0 , отвечающие на рис. 4.2 участкам кривых слева от кружков, не представляют интереса.Глава 4.2. Симметричный профиль минимального волновогосопротивленияСокращения: ЗЛВ – закон локального взаимодействия, УКЭ –участок краевого экстремума, ФН – формула Ньютона.Ниже на примере построения симметричного относительнооси х плоского тела (профиля) минимального волнового сопротивления покажем, как задание длины приводит к появлению невстречавшегося до этого УКЭ – заднего торца, замыкающегооптимальный контур.
По предположению задний торец газом248не обтекается, а действующее на него донное давление р+ заданои не зависит от формы оптимального контура. Ось х декартовыхкоординат ху с началом в передней точке профиля направим повектору скорости набегающего потока V 0 . Кроме длины профиляL зададим отнесённую к L2 площадь F верхней половины егопродольного сечения.
В идеальном газе при задании только длины минимальное (равное нулю) волновое сопротивление имеетпластинка – отрезок оси х длины L. Если задать только F, то, неограниченно увеличивая длину, можно сделать волновое сопротивление сколь угодно малым. Если принять L за линейный масштаб, то (рис. 4.3): x i = y i = y f = 0, x f = 1.yV0i0yа)θб)ff1 xV0i0°f1 xРис.
4.3Для определения давления р на поверхности профиля ограничимся так называемыми законами локального взаимодействия(ЗЛВ), в силу которых, как и в случае ФН (4.1.1), р – функциятолько угла θ и констант, например, параметров набегающегопотока. В отличие от рассмотренной в Гл. 4.1 головной части дляпрофиля, имеющего не только наветренную (с θ > 0), но и подветренную (с θ < 0) части образующей ФН примет видp = p0 + [(1 + signθ) / 2]sin 2 θ .(1)Согласно такой записи ФН на подветренной части профиля,включая задний торец, р = р 0 . При этом на наветренной части попрежнему 0 ≤ θ ≤ π/2.
Здесь и далее р отнесено к ρ 0 V 0 2.На ударной волне согласно Гл. 1.4 приращения энтропии s ианалогично Гл. 2.4 инварианта I– сверхзвукового стационарноготечения (Гл. 3.5) – величины порядка [p]3, где [p] – приращение рна ударной волне. Поэтому если профиль заострённый и тонкий,а число Маха набегающего потока М 0 невелико, то головная249ударная волна слабая, и с точностью до [p]2 включительно вовсём потоке, вкючая образующие if или if °, имеем (Гл. 3.5)pI − = I 0− → θ =∫M2 − 1dp,ρV 2pθ ≡dp=dθρV 2.(2)M2 − 1Формулы (2) дают ещё один ЗЛВ.
Объединение формулы (1),применяемой при θ ≥ 0, с формулами (2), применяемыми при θ ≤≤ 0, даёт ЗЛВ (1) + (2), для толстых профилей более точный, чемЗЛВ (1) и (2) в отдельности. Наконец, линеаризация формул (2)приводит к менее точному, но наиболее простому ЗЛВ:θp = p0 +(3)M 02 − 1p0– формуле линейной теории, уже встречавшейся в законе подобия Аккерета (Гл. 3.13).В рамках ЗЛВ для коэффициента волнового сопротивленияс х , а также для площади F симметричного профиля без заднеготорца (рис. 4.3, а) или с ним (рис.
4.3, б), будем иметьofcx =∫ p(θ)dy − pof+yf o, F =iof∫ (1 − x )dy − ∫ (1 − x)dy,if(4)E ( x ′, θ) ≡ x ′ − ctgθ = 0.Равный нулю при х = 1 второй интеграл в выражении для F записан для правильного вычисления приращения площади. Для аналогичной цели р+у f ° в формуле для с х записывается и при у f ° = 0.Для вывода необходимых условий минимума с х , составимфункционалofJ = c x + λF +∫ μ( y ) E ( x′, θ)dy =iof=of∫ [ p(θ) + λ(1 − x ) + μ( y )( x′ − ctgθ)]dy − ∫ [ pi++ λ(1 − x )]dy,fв котором λ – постоянный, а μ(у) – переменный множители Лагранжа. При любых допустимых варьированиях исходного (необязательно оптимального) контура, при которых сохраняетсязаданная величина F и выполняется равенство Е = 0 с Е из (4), и250любых конечных множителях λ и μ приращения с х и функционала J совпадают.
Поэтому, проварьировав J и перейдя от δх′ к δхинтегрированием по частям, найдёмoofofΔcx = ΔJ = X Δx f o + Y Δy f o +fof∫ ( A δx + A δθ)dy − ∫ A δxdy. (5)xθi+f°З Здесь и далее для тел без заднего торца f заменяется на f; Δx f °и Δу f ° – приращения х и у точки f °; δх и δθ – вариации, т.е. приращения х и θ проварьированного и исходного контуров при фиксированном у, а Хf °, Yf °, Ах, Аθ и А+ –функции х, θ, λ, μ, μ′ = dμ/dyи р+, выражения для которых приводятся по мере необходимости.Для любого контура if ° множитель μ(у) выберем так, чтобыобратить в нуль коэффициент Аθ. Это даст конечное уравнениеAθ sin 2 θ ≡ μ + pθ sin 2 θ = 0, pθ = dp( θ) / d θ(6)с р(θ), определяемым по одному из ЗЛВ (1) – (3) либо из ЗЛВ(1) + (2).
После этого в выражении (5) для Δс х останутся толькослагаемые, пропорциональные Δx f ° , Δу f ° и δх в интеграле по if °, апри наличии торца – ещё в интеграле по ff °. Поскольку площадьF при варьировании не должна изменяться, то перечисленныеприращения и вариации зависимы. Их независимость достигаетсявведением при 0 < х < 1 компенсирующей точки с. В ней за счётпроизвола в выборе λ обратим в ноль коэффициент Ах:− A x ≡ λ + μ′ = 0 .(7)Согласно уравнению (6) входящая в это равенство производнаяμ′≡ dμ/dy = – (p θ sin2θ)′.Выполнение равенства (7) в точке с позволяет при варьировании образующей if °f за счёт одновременного варьирования х вмалой окрестности точки с сохранять постоянной величину F. Всилу условия (7) варьирование х в окрестности точки с вносит вприращение Δс х вклад более высокого порядка, чем Δx f ° , Δу f° и δхв других точках if ° или ff °. В результате эти вариации и приращения можно считать независимыми. Следовательно, если участок if °, где δх произвольны, реализует минимум с х , то условие(7) должно выполняться всюду на этом участке.251Для оптимального профиля с задним торцом Δу f ° произвольны, а при его отсутствии Δу f ° ≥ 0.
В обоих случаях Δx f ° ≤ 0. Придопустимом варьировании оптимального контура Δс х ≥ 0, и условия оптимальности, которые должны выполняться в совпадающих или несовпадающих точках f ° и f, сводятся к неравенствамoY f ≡ ( p − p + − μctgθ) f o ≥ 0,Xfo≡ μf o ≥ 0,а после исключения множителя μ с помощью равенства (6) к(8), (9)( p − p + + pθ sin θ cos θ) f o ≥ 0, ( pθ sin 2 θ) f o ≥ 0 .Входящие сюда величины (исключение – р+) – предельные значения при подходе к точке f ° слева.Нарушение неравенства (8) в точке f ° ≡ f тела без заднего торца указывает на необходимость его введения.
Во всех описанныхвыше ЗЛВ р θ > 0, т.е. неравенство (9) выполняется, указывая наувеличение с х оптимального контура с уменьшением абсциссыточки f ° или f. Для профилей с задним торцом это – одно из условий того, что он – УКЭ, где допустимые δх ≤ 0. Поэтому ещё одно условие того, что задний торец – УКЭ, сводится к неравенствуA+ ≡ −λ ≥ 0 .(10)Исключив множитель μ(у) из уравнений (6) и (7), придём куравнению( pθ sin 2 θ)′ = λ(11)и к его первому интегралуpθ sin 2 θ = C + λyс постоянной интегрирования С. Поскольку θ = arcctgx′, то длявсех ЗЛВ это – нелинейное дифференциальное уравнение первогопорядка.
Подобно Гл. 4.1 его решение представим в параметрической форме с θ в качестве параметра. Имеем λу = р θ sin2θ – С,λx′ = λctgθ. Следовательно,θθθd λyC ⎞⎛λx = ∫ ctgθd θ = ( pθ sin 2 θ − C )ctgθ + ∫ ⎜ pθ − 2 ⎟ d θ =θidθθ⎠sinθiθi ⎝θθθθiii= ( pθ sin 2 θ − C )ctgθ + ( p + Cctgθ) θ = ( p + pθ sin θ cos θ) θ .252Так как y i = 0, то искомое параметрическое представление оптимального контура if ° принимает видθθiθiλx = ( p + pθ sin θ cos θ) θ , λy = pθ sin 2 θ .(12)Отсюда для оптимального контура без заднего торца в точке f ≡ f °θθfiθiλ = ( p + pθ sin θ cos θ) θ f , 0 = pθ sin 2 θ(13), (14),причём для выполнения равенства (14) р θi и р θf должны быть одинаковых знаков.В рамках простейшего ЗЛВ – формулы (3) линейной теориир θ – константа, и из условия (14) следует, чтоθ f = −θi < 0 ,(15)поскольку оптимальный контур if лежит над осью х. Из равенств(3) и (15) и линеаризованных (|θ| ≤ θ i << 1) формул (13) и (12)сначала найдём λ, а затем х и у оптимального контура:− 4θiθ −θθ2 − θ2λ=, x= i, y= i, − θi ≤ θ ≤ θi .2θi4θiM 02 − 1Подставив θ, выраженное через х, в формулу для у, получим, чтоy = x (1 − x )θi ,(16)т.е.
оптимальный контур симметричен относительно х = 0.5.С использованием формул (3), (4) и (16) найдёмf11F = ∫ (1 − x )dy = (1 − x ) y i + ∫ ydx = θi ∫ x (1 − x )dx =f0i=11dyθ dx =∫2M 0 − 1 0 dxθi201∫ (1 − 2 x ) dx = 32M 02 − 1 0fθi, cx = ∫ pdy =6iθi2M 02 − 1=12 F 2M 02 − 1(17).Чтобы профиль с острой задней кромкой был оптимален, вточке f должно выполняться неравенство (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
