А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Действительно, в формуле (26) R – гипотенуза прямоугольного треугольника, с примыкающим к углу –π/2 ≤ ω – ω 0 ≤ π/2катетом длины 1/k. Если смотреть из центра круга, то справа отточки касания каждая такая прямая (рис. 3.45, г) – С+-характеристика (сплошная линия), а слева – штриховая С–-характеристика.Семейство характеристик определяет равенство (25): для всеххарактеристик с удалением от точки касания R растёт, но согласно этому равенству для С+-характеристик угол ω уменьшается(верхний знак), а для С–-характеристик – увеличивается.
Для любого КТ в областях невозмущённого потока С+- и С–-характеристики, как и КЛТ, естественно, определяются уравнениями (25) и(26), т.е. в плоскости конических переменных – прямые, касающиеся окружности (следа конуса Маха набегающего потока) нарис. 3.45, г. При этом не имеет значения, что такого конуса Маханет, если в плоскости конических переменных он попадает в область, ограниченную УВ, и даже внутрь конического тела. Тем неменее эти С+- и С–-характеристики полезны при анализе КТ.2,3.
Обтекание кругового конуса, треугольной пластины иих комбинации под углом атаки. При обтекании кругового конуса под нулевым углом атаки (рис. 3.45, а и б) закрутка потокаотсутствует, и единственная нормальная к лучу, идущему вдольУВ, компонента скорости V τ совпадает с проекцией V n вектора Vна нормаль к УВ. Перед УВ она сверхзвуковая, а за УВ дозвуковая, т.е. М τ > 1 перед УВ и М τ < 1 за УВ. На поверхности кругового конуса V τ = 0 и М τ = 0, причём согласно Гл.
3.10 при движении от УВ к поверхности конуса М τ уменьшается монотонно.Таким образом, безотносительно к полному числу Маха М рас216сматриваемое как двумерное КТ в кольце между УВ и конусом –конически дозвуковое.На углах атаки перед боковыми участками УВ появляется ирастёт нормальная к r и в то же время касательная к УВ компонента V, непрерывная на волне. Вклад этой компоненты ведёт ктому, что в плоскости ηζ сначала возникают боковые коническисверхзвуковые зоны, которые затем достигают контура конуса(рис. 3.46, б), разделяя нижнюю и верхнюю конически дозвуковые зоны. Наличие последних неизбежно уже потому, что на осиη поток и за УВ, и за конусом Маха заведомо конически дозвуковой.
От М τ < 1 к М τ > 1 с переходом через нижнюю КЗЛ потокразгоняется непрерывно. Торможение при приближении к верхнему участку оси η в основном происходит в висячей УВ.С–Mτ < 10С+УВС+С+С–ηС–С–ζС–Mτ < 1УВКМб)С+0 КЗЛг)УВС–ζС+0КМУВMτ < 1ζКМηв)С+0Mτ < 1ηа)ηζУВКМРис. 3.47Обтекаемая под нулевым углом атаки треугольная пластинанулевой толщины (рис. 3.47, а), как и игла на рис. 3.45, в и г, невозмущает набегающий поток.
В то же время сколь угодно малыйугол атаки возмутит КТ, но не только в конусе Маха, но и в боковых конически сверхзвуковых зонах. Границы таких зон – характеристики соответствующих семейств, идущие к конусу Маха из217концевых точек крыла (на рис. 3.47, а – жирного отрезка оси ζ).Те же характеристики ограничивают конически сверхзвуковыезоны меньших размеров при обтекании под нулевым углом атакикомбинации треугольного крыла и кругового конуса (рис. 3.47, в,штрихи – конус Маха невозмущённого набегающего потока иотрезки касающихся его характеристик, попавшие в коническидозвуковую кольцевую зону между конусом и УВ).При конечном угле атаки в плоскости конических переменных не изменяется лишь след конуса Маха – окружность, котораяна рис. 3.47, б и г частично или полностью дана штрихами.
Её попрежнему касаются С+- и С–-характеристики, ограничивающиесверху конически сверхзвуковые зоны, над подветренной стороной обтекаемых тел. Кроме них от передних кромок крыла отходят прямолинейные характеристики тех же семейств, образующие, как можно показать, центрированные волны разрежения. Нанебольших углах атаки при обтекании наветренных (нижних)сторон рассматриваемых тел сохраняются боковые коническисверхзвуковые зоны, ограниченные прямолинейными или близкими к прямолинейным УВ. При малых углах атаки в случае изолированного треугольного крыла (рис.
3.47, б) КЗЛ близка к конусу Маха невозмущённого набегающего потока.Глава 3.12. Уравнение Чаплыгина. Струйные течения.Выравнивание докритических и критических струйСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, УЧ – уравнение Чаплыгина.Система дифференциальных уравнений, описывающих плоскопараллельные однородные по полной энтальпии (изоэнергетические) и энтропии (изэнтропические) течения, сводится к двумуравнениям для определения компонент вектора скорости V илиего модуля V и угла наклона θ к оси х декартовых координат ху.Коэффициенты этих уравнений – известные функции V.
Поэтому,если в качестве независимых переменных взять V и θ, а искомых– координаты или функцию тока ψ и потенциал ϕ, то уравнениядля их определения станут линейными. При этом, правда, возникают проблемы с записью граничного условия непротекания на218поверхности тел. Тем не менее, для некоторых струйных течений,как это поясняет рис. 3.48, таких проблем нет.а)θyψ=1 f0 a–θ = 0, ψ = 1V = Ve, ψ = 1θaθ = θa , ψ = 1bθ = 0, ψ = 00Veψ=1fVеψ=0ψ=1aб)exθaa+ψ=1bРис. 3.48На рис. 3.48, а струя истекает из симметричного плоского канала, контур которого образован двумя отрезками прямых, в затопленное пространство.
Давление р е в затопленном пространстве удовлетворяет неравенствам р е∗ ≤ р е < р st , где р е∗ и р st – давления звукового (критического) и заторможенного (изоэнергетически и изэнтропически) потоков. При р е > р е∗ струя докритическая, а при р е = р е∗ – критическая. В обоих случаях границаструи be сходит с кромки канала без излома. На границе критической струи число Маха М е∗ = 1. В точке излома стенки а потокпри V а = 0 поворачивается на отрицательный угол θ а .
Точки f и ена рис. 3.48, а отвечают равномерным потокам. Кривые, соединяющие их на рис. 3.48, б, – линии тока (ЛТ) ψ = const. Две ЛТ –ломаная fa – a + be и отрезок fe – образуют границу прямоугольнойобласти течения в плоскости Vθ. На отрезке fe – ЛТ, отвечающейплоскости симметрии, ψ = 0, при ψ = 1 на fa – a + be за счёт выборанормирующего множителя k в определяющем ψ дифференциальном равенстве (3.1.9) (для ν = 1)d ψ = kρ( udy − v dx ) = kρV ( cos θdy − sin θdx ) .(1)Для перехода к V и θ в качестве независимых переменныхвоспользуемся тем, что согласно Гл.
3.1 рассматриваемые течения потенциальны. Если ϕ(х,у) – потенциал, то для них уравнение(3.1.18) сводится к равенствам219u=∂ϕ∂ϕ,,v=∂x∂yв силу которыхd ϕ = udx + v dy = V (cos θdx + sin θdy ) .(2)Для упрощения дальнейших вычислений, введяz = x + iy , dz = dx + idy , u + iv = Veiθи выразив из равенств (1) и (2) dx и dy через dϕ и dψ, получим⎞eiθ ⎛i(3)dz =dϕ + dψ ⎟ .V ⎜⎝kρ⎠Если входящие в это равенство z, ϕ и ψ – функции V и θ, то⎞⎞eiθ ⎛ie iθ ⎛iϕ+ψ=ϕθ + ψ θ ⎟ .zV =z,θVV ⎟⎜⎜V ⎝kρ ⎠V ⎝kρ ⎠Продифференцируем z V по θ, а z θ по V и приравняем получившиеся выражения.
В результирующем уравнении вторые производные от ϕ и ψ сократятся, а приравнивание нулю действительной и мнимой частей даст равенстваVM2 − 1(4)k ϕθ = ψV , k ϕV =ψθ .ρρVПри получении учтено, что1ρV ⎛ 1 ⎞M2 − 1ρp = 2 , pV = −ρV , ρV = − 2 , ⎜=.(5)⎟ρV 2aa⎝ ρV ⎠VУравнения (4) называют уравнениями Чаплыгина.Потенциал на границах струи неизвестен. Поэтому получимуравнение для ψ. Исключив производные от ϕ дифференцированием первого уравнения (4) по V, а второго по θ и учтя формулудля ρ V из (5), придём к уравнениюV 2ψVV + (1 + M 2 )V ψV + (1 − M 2 )ψ θθ = 0,(6)которое назовём уравнением Чаплыгина (УЧ).
В областях дозвукового (сверхзвукового) течения УЧ является уравнением эллиптического (гиперболического) типа. При М = 0 оно совпадаетс записанным в полярных координатах Vθ уравнением Пуассона.220Если для рассматриваемой задачи с помощью УЧ (6) функциятока ψ(V,θ) найдена, то координаты х(V,θ) и у(V,θ) определятсяинтегрированием уравнений(M 2 − 1)ψ θ cos θ − V ψV sin θV ψV cos θ − ψ θ sin θdx =dV +d θ,2kρVk ρV(7)V ψV sin θ + ψ θ cos θ(M 2 − 1)ψ θ sin θ + V ψV cos θdy =dV +dθkρV 2k ρV– следствий уравнения (3). При их выводе производные от ϕ выражены через производные от ψ согласно уравнениям (4).а)б)yθbθ = θa , ψ = 1fyV = Ve, ψ = 1eV = Ve, ψ = 1beθ = 0, ψ = 00xfθсθ = 0, ψ = 00θ = θс, ψ = 0xРис.
3.49В рамках УЧ полное решение ряда струйных задач, в частности, изображённых на рис. 3.49, удаётся построить методом разделения переменных. В результате ψ(V,θ) представляется рядамипроизведений тригонометрических функций и функций от V, которые в согласии с УЧ (6) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка. Для совершенногогаза эти уравнения сводятся к гипергеометрическому.
Первымуказанный подход для анализа докритических струй применилС.А. Чаплыгин (1902). Так, он строго показал, что докритическиеструи, как и струи идеальной несжимаемой жидкости, выравниваются при х → ∞. В рамках того же подхода обобщение толькоэтого результата на докритические струи несовершенного газа,вытекающих из симметричного канала произвольной формы(Ю.В. Руднев, 1949), сопряжено с весьма сложным доказательством. Для критической струи Л.В. Овсянников (1949) тем же способом получил прямо противоположный результат, доказав что221для неё сечение выравнивания расположено на конечном расстоянии, звуковая линия (ЗЛ) – отрезок прямой, нормальнойплоскости симметрии, а за ней в приближении идеального газатечёт однородная звуковая струя.
В задаче натекания докритической и критической струй конечной ширины на клин (рис. 3.49, б)или клиновидную выемку (при θ с > π/2) тем же методом получены аналогичные результаты (А.Н. Крайко, С.А. Мунин, 1989[38]). Такое течение симметрично относительно биссектрисывнешнего угла, равного π – θ с , а для критической струи примыкающая к вершине клина дозвуковая область (с М = 1 на границеструи) ограничена сверху и снизу по потоку прямыми ЗЛ.На самом же деле, характер выравнивания струй определяется структурой решения лишь в малой окрестности точки е плоскости Vθ, причём при достаточно произвольных термодинамикегаза и форме канала (А.Н. Крайко, 2003 [39]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
