А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Последние обусловлены растеканием газа в уравнении неразрывности и центробежными и кориолисовыми ускорениями в уравнениях движения. Введём (рис. 3.44) в произвольной точке сферы r = const локальные декартовы координаты x′y′z′с осями x′ и у′, направленным по параллелям и меридианам, иосью z′, направленной по r. В этих координатах умноженные на1/r производные по ϑ и φ станут производными по x′ и y′, свободные члены сохранятся, а из-за отсутствия производных по r производных по z′ не будет. С другой стороны, течение в малой окрестности рассматриваемой точки (при |x′|, |y′| << r) должно бытьблизко к плоскому, т.е.
к независящему от z′ при отличной от нуля z′-компоненте скорости. Следовательно, уравнения в координатах x′y′z′ будут отличаться от уравнений плоского течения свободными членами, а их тип определит число Маха, вычисленноепо проекции V τ скорости V на плоскость x′y′, нормальную r.yz′rV0x′xzVτУВrVrРис. 3.44209Vy′По определению V τ = V – V r , где V r = i r V r , а i r = r/r. Направим ось х декартовых координат xyz по вектору скорости набегающего потока V 0 , и пусть u, v , w – проекции V на эти оси.
Тогда(1, η, ζ )u + ηv + ζwu + ηv + ζwir =, Vr = V ⋅ i r =, Vr = (1, η, ζ ),22221 + η2 + ζ 21+ η + ζ1+ η + ζ⎛u + ηv + ζwu + ηv + ζwu + ηv + ζw ⎞Vτ = V − Vr = ⎜ u −,v −η, w−ζ=22221+ η + ζ1+ η + ζ1 + η2 + ζ 2 ⎟⎠⎝⎛ η( ηu − v ) + ζ( ζu − w) v − ηu + ζ(v ζ − ηw) w − ζu + η( ηw − ζv ) ⎞=⎜,,⎟.1 + η2 + ζ 21 + η2 + ζ 21 + η2 + ζ 2⎝⎠Отсюда найдём, что(v − ηu )2 + ( w − ζu )2 + ( ζv − ηw) 2.(1)Vτ2 =1 + η2 + ζ 2Для вывода УКТ воспользуемся записанными в координатахxyz уравнениями стационарного течения (3.1.1), (3.1.2) и (3.1.4):1 dp ∂u ∂v ∂wdu ∂pd v ∂p+++= 0, ρ += 0, ρ += 0,2ρa dt ∂x ∂y ∂zdt ∂xdt ∂y(2) – (6)⎛ddw ∂pds∂∂∂ ⎞ρ+= 0,= 0 ⎜ = u + v + w ⎟.dt ∂zdt∂x∂y∂z ⎠⎝ dtВ уравнении неразрывности (3.1.1) производная dρ/dt заменена наdp/dt с учётом уравнения (6). Во всём КТ справедлив интеграл(7)2 H ≡ 2h + u 2 + v 2 + w 2 = 2 H 0 .Для перехода к КП η = y/x и ζ = z/x используем равенства∂ϕ∂ϕ∂ϕdϕ =dx +dy +dz = ϕηd η + ϕζ d ζ =∂x∂y∂z⎛ ∂ϕ ⎞⎛ ∂ϕ ⎞ζ ⎞η ⎞⎛1⎛1= ϕη ⎜ dy − dx ⎟ + ϕζ ⎜ dz − dx ⎟ , ϕη ≡ ⎜ ⎟ , ϕζ ≡ ⎜ ⎟ ,xx∂ηxx⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ζ⎝ ∂ζ ⎠ηв силу которыхηϕ + ζϕζ ∂ϕ ϕη ∂ϕ ϕζ d ϕ v − ηuw − ζu∂ϕ,,=− η== ,=ϕη +ϕζ .(8)xx ∂zx dtxx∂x∂y210С учётом этих равенств пространственные уравнения (2) – (6)преобразуются к системе двумерных УКТ:L ≡ (v − ηu ) pη + ( w − ζu ) pζ − ρa 2 ( ηuη + ζuζ − v η − wζ ) = 0 , (9)L1 ≡ ρ[(v − ηu )uη + ( w − ζu )uζ ] − ( ηpη + ζpζ ) = 0 ,(10)L2 ≡ ρ[(v − ηu )v η + ( w − ζu )v ζ ] + pη = 0 ,(11)L3 ≡ρ[(v − ηu ) wη + ( w − ζu ) wζ ] + pζ = 0 ,(12)(v − ηu ) sη + ( w − ζu )s ζ = 0 .(13)Уравнение (13), как и его предшественник – уравнение (6),характеристическое.
На плоскости КП ηζ оно выполняетсявдоль С0-характеристик – конических линий тока (КЛТ):d ζ w − ζu.(14)=d η v − ηuСогласно уравнению (14) введём скорость КТ – двумерный вектор V c с компонентами V cη = v – ηu и V cζ = w – ζu. Кроме уравнения (13), на КЛТ справедливо ещё одно уравнение – результатсложения уравнений (11) и (12), умноженных на компоненты V c .Итак, на КЛТ выполняются два условия совместности:ds = 0, ρ(Vcηdv + Vcζ dw) + dp = 0 .(15), (16)Контур конического тела в конических переменных ηζ задаётся уравнением F(η,ζ) = 0.
Оно же определяет форму поверхности тела в пространстве. Для нормали n к контуру тела на плоскости конических переменных ηζ, нормали N к его поверхности впространстве и для проекции V на N имеемFη , Fζ−( ηFη + ζFζ ), Fη , Fζ, N=, VN = V ⋅ N =n=22Fη + Fζ( ηFη + ζFζ ) 2 + Fη2 + Fζ2=(v − ηu ) Fη + ( w − ζu ) Fζ( ηFη + ζFζ ) 2 + Fη2 + Fζ2=( Vc ⋅ n) Fη2 + Fζ2( ηFη + ζFζ ) 2 + Fη2 + Fζ2= 0.Компоненты N получены с учётом формул (8). Из равенства V N == 0 – условия непротекания на поверхности тела следует, что либо V c и КЛТ касаются контура тела, либо на нём V c = 0. В обоихслучаях на контуре тела в плоскости конических переменных ηζ,211как и на его поверхности в пространстве, выполняется условиенепротекания: V cn = 0.а)УВyV0ηб)ζx0КЛТУВzyв)ЛТ: x → ∞, η → 0C–η1/kV0xzг)ω0RωC+ζКМиглаРис.
3.45На рис. 3.45 показаны КЛТ для двух простых КТ. На рис.3.45, а и б как двумерное КТ рассмотрено осесимметричное обтекание кругового конуса. Отрезки оси η, где ζ = w = 0, – интегральные кривые уравнения (14), т.е. КЛТ. При этом величинаV cη ≡ v – ηu, отрицательная на УВ, увеличивается до нуля на конусе (в конических переменных на контуре тела V c = 0). На рис.3.45, б отрицательным V cη отвечают стрелки, направленные к началу координат. В силу произвола в выборе ориентации осей η иζ такими же КЛТ являются отрезки всех лучей ζ/η = const.На рис. 3.45, в и г под углом атаки обтекается не возмущающая течение (везде u = V 0 , v = w = 0) игла – конус с полуугломпри вершине θ с = 0. Тонкий конус возмутит поток внутри области, ограниченной близкой к конусу Маха конической УВ малойинтенсивности. При этом, однако, почти всюду возмущения будут малы, а КЛТ – близки к КЛТ для иглы – сходящимся в начало212координат η = ζ = 0 лучам ζ/η = const.
Исключение – малая окрестность конуса, на всём контуре которого, кроме нижней и верхней точек, V c ≠ 0. Точка плоскости конических переменных, вкоторую сходятся КЛТ, получила название точки Ферри (ТФ) вчесть A. Ferri, указавшего на её возможность. На рис. 3.45, г КЛТ– стрелки, идущие в начало координат, а след иглы – кружок.ηа)ηMτ > 1КЛТMτ < 1КЗЛζУВζб)00ТФMτ < 1УВУВРис. 3.46С ростом угла θ с размер конуса в плоскости ηζ растёт, возмущения – увеличиваются, а КЛТ между конусом и УВ – искривляются.
Вне УВ поток невозмущён, и КЛТ, как на рис. 3.45, – лучи, сходящиеся в начало координат (стрелки на рис. 3.46, а). Еслиα – угол атаки, то при θ с = α верхняя точка конуса совпадёт с началом координат. При θ с , равном или близком к α, с ней совпадёти ТФ, которая, как на рис. 3.46, а, останется там при дальнейшемувеличении θ с .
При меньших θ с ТФ, находящаяся над конусом,как на рис. 3.45, г, называется всплывшей.Как показано выше, система УКТ при М τ > 1 должна бытьгиперболической. Это значит, что в дополнение к выполняющимся на КЛТ уравнениям (15) и (16) при М τ > 1 должно быть ещёдва характеристических уравнения. Для их вывода составим линейную комбинацию из уравнений (9) – (12):L + λ1 L1 + λ 2 L2 + λ 3 L3 = 0213и выберем множители λ k так, чтобы дифференциальные операторы в этом уравнении были одинаковыми.
После несложных преобразований придём к уравнениюVcη − λ1η + λ 2 ⎛Vcζ − λ1ζ + λ 3 ⎞λ1Vcζ − a 2 ζppuuζ ++++⎜ ηζ⎟ηVcη − λ1η + λ 2 ⎟⎠ρ(λ1Vcη − a 2 η) ⎜⎝λ1Vcη − a 2 η⎞λ V + a2 ⎛λ 2Vcζλ 3Vcη ⎛λ 3Vcζ + a 2 ⎞wwζ ⎟ = 0.+ 2 cη 2 ⎜ v η +++v⎟⎜ζη⎟λ1Vcη − a η ⎜⎝λ 2Vcη + a 2 ⎟⎠ λ1Vcη − a 2 η ⎜⎝λ 3Vcη⎠При выполнении равенствVcζ − λ1ζ + λ 3 λ1Vcζ − a 2 ζλ 2Vcζλ 3Vcζ + a 2===Vcη − λ1η + λ 2 λ1Vcη − a 2 η λ 2Vcη + a 2λ 3Vcη(17)(18)все дифференциальные операторы в уравнении (17) станут одинаковыми, а оно – характеристическим.Разрешив второе и третье равенства (18) относительно λ 1 иλ3:Vcηλ 2 + a 2( ζv − ηw)λ 2 + a 2 ζ, λ3 = −λ1 =(19)VcζVcζи подставив полученные выражения в первое равенство (18),придём к квадратному уравнению для λ 2 . Два его корня λ 2± в силу формулы (1) для Vτ2 равныAλ 2± = ± , A± = ηζw − ζ 2v − Vcη ± Vcζ (1 + R 2 )(M 2τ − 1),(20)B22222B = (1 + R )M τ , R = η + ζ .В результате из уравнения (17) и формул (19) для λ 1 и λ 3 найдёмнаправления С±-характеристик в плоскости ηζ:Vcζ A±d ±ζζ′± ≡=(21)d η Vcη A± + a 2 Bи выполняющиеся вдоль них условия совместности(VcηVcζ − a 2 ηζ ) B + [Vcζ − η( ζv − ηw)] A±vdp − ζu 2 d +2uρ(Vcη A± + a B )wv+ ηu 2 d + w2 d = 0.uw214(22)Уравнения и формулы (20) – (22) подтверждают сделанныйранее вывод о наличии при M τ > 1 у системы УКТ (9) – (14) в дополнение к КЛТ (14) С+- и С–-характеристик.
Итак, при M τ > 1система УКТ гиперболична. Области КТ, где M τ > 1, назовём конически сверхзвуковыми, наоборот – конически дозвуковыми, алинию, на которой M τ = 1, – конической звуковой линией (КЗЛ).2. Характеристики слабо возмущённых КТ. Для невозмущённого (u = V 0 , v = w = 0) потока в силу формулы (1)(1 + R 2 )(M 2τ − 1) = R 2 k 2 − 1, k 2 = M 02 − 1,(23)A± = η ± ζ R 2 k 2 − 1 V0 , B = R 2 ( k 2 + 1).)(Согласно первой формуле М τ → М 0 , когда R → ∞, а лучи, идущие из носика тела, нормальны V 0 . В силу формул (23) уравнения (21) и (22) принимают вид (как и ранее, С+(С–)характеристикам отвечают верхние (нижние) знаки):ζ′± =k 2ζ 2 − 1,R 2k 2 − 1vwdp ± ζd m ηd = 0.2uuρ0V0(24)k 2 ηζ m R 2 k 2 − 1Эти уравнения описывают слабо возмущённые КТ в коническисверхзвуковых зонах.
Так как интенсивность УВ в них мала, топриращением энтропии в УВ можно пренебречь, положив s ≡ s 0 .Кроме того, на КЛТ таких КТ – лучах ζ/η = const выполняетсялинеаризованное уравнение (16):ρ0V0 ( ηdv + ζdw) − dp = 0 .Наконец, в слабо возмущённых КТ справедлива связьp − p0 + ρ0V0 (u − V0 ) = 0– результат линеаризации интеграла полной энтальпии (7).В плоскости ηζ невозмущённое или слабо возмущённое КТсогласно уравнениям (23) конически дозвуковое в круге R ≡ (η2 +ζ2)1/2 < 1/k = tgμ 0 , где μ – угол Маха, и конически сверхзвуковое –вне этого круга. Окружность R = 1/k – его КЗЛ.В полярных координатах Rω (рис. 3.45, г)dζdω dηdωη = R sin ω, ζ = R cos ω,= cos ω − η= sin ω + ζ,,dRdR dRdRи первое уравнение (24) сводится к215dω =±d χχ=1,kR(25)1− χа после интегрирования – к конечной формуле (угол ω0 – постоянная интегрирования):11.(26)ω − ω0 = m arccos∝ R=kRk cos(ω − ω0 )В плоскости ηζ согласно формуле (26) С+- и С–-характеристики – прямые, касающиеся при ω = ω 0 звуковой окружности R == 1/k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
