А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1.4, a ∗n – критическая скорость, при определении которой в набегающем потоке отсутствовала касательная к УВ компонента вектора скорости V τ0 . Чтобысвязать a ∗n с a ∗ , воспользуемся их определениями2a022a 2γ + 1 2 2a022a 2γ +1 2a∗ ,a∗n .+ Vn02 + Vτ20 = ∗ + a∗2 =+ Vn02 = ∗n + a∗2n =γ −1γ −1γ −1γ −1γ −1γ −1Отсюдаγ −1 2a*2n = a*2 −Vτ 0 , Vτ 0 = V0 cos ϕ .(3)γ +1Подставим найденное a*n2 и выражения из (2) и (3) для нормальных и касательных компонент скорости в соотношение (2) и исключим, воспользовавшись формулой (1), появившиеся в нёмsinϕ и cosϕ.
В результате придём к уравнению УПuV0 − 1v 2 = (V0 − u ) 2 2,(4)2V0 / (γ + 1) − uV0 + 1в котором скорости отнесены к критической скорости а ∗ .vУВ1mVmϕ θ θ01/V0π/2 – ϕV01u∞ uРис. 3.22Знаки «+» и «–», получающиеся при извлечении квадратногокорня из правой части уравнения УП (4) – естественное следствиесимметрии течения при отражении рис. 3.22 относительно осиабсцисс – замене положительного угла наклона УВ на отрицательный. Обращение в нуль скобки перед дробью даёт УВ нуле177вой интенсивности: u = V 0 , а числителя – прямой скачок: u = 1/V 0в передней точке УП. Согласно уравнению (4) в ней касательнаяк УП вертикальна. Перед стационарной УВ поток сверхзвуковой(V 0 > 1), поток же за УВ может быть и сверх- и дозвуковым (по V,а не по нормальной компоненте V n < 1). Сверхзвуковым течениямза УВ отвечает часть УП, лежащая вне звуковой окружности:V = 1, а дозвуковым – часть УП внутри неё.Фиксированному углу поворота потока θ < θm, где θm == θm(М 0 , γ), отвечают два косых скачка: сильного и слабого семейств.
Вне малой окрестности точки максимального поворотапотока m за УВ слабого семейства М > 1. За скачками сильногосемейства M < 1. В УВ, возникающей при сверхзвуковом обтекании, например, затупленной пластины, реализуется вся УП отпрямого скачка, т.е УВ сильного семейства на плоскости симметрии до УВ нулевой интенсивности – на бесконечности.При наличии УП для выбранных V 0 > 1 (или М 0 ) и точки пересечения УП с лучом θ = const ≤ θm угол УВ ϕ определяетсяпростым правилом – следствием непрерывности на УВ касательной компоненты скорости (рис.
3.21). Для этого из начала координат на прямую, проведённую через выбранную точку УП и еёже точку u = V 0 , нужно опустить перпендикуляр (рис. 3.22). Полуугол при острой вершине поляры – один из углов получившегося прямоугольного треугольника равен π/2 – ϕ. При θ → 0 онстремится к π/2 – μ 0 , где μ 0 – угол Маха в набегающем потоке.Если М 0 → 1, то μ 0 → π/2, и толщина УП стремится к нулю. Сростом числа Маха (V 0 → ε–1/2) μ 0 → 0 и соответствующий угол впределе становится прямым. Рассмотрим эти случаи подробнее.Если V 0 = 1 + δ с 0 < δ << 1, то 1/V 0 = 1 – δ. Положив u == 1 + δu° и подставив эти выражения в уравнение (4), получим( γ + 1)(1 − u o ) 2 (1 + u o + δu o )γ +1v 2 = δ3≈ δ3(1 − u o )2 (1 + u o ) .o2 + [3 − γ − (1 + δ)(γ + 1)u ]δ2Итак, при малой сверхзвуковой скорости уравнение УП записывается в универсальной (независящей от δ и γ) форме:u = 1 + δu o , v ≈ δ3 / 2 γ + 1v o , v o = ±(1 − u o ) (1 + u o ) / 2, − 1 ≤ u o ≤ 1.
(5)178Функция v °(u°), дающая универсальную околозвуковую УП(рис. 3.23, а), равна нулю при u° = ± 1 с вертикальной касательнойпри u° = – 1 и с dv o / du o = ± 1 при u° = 1. В максимуме и минимуме v °(– 1/3) = ± 4/33/2 ≈ ± 0.77, а v °(0) = ± 2–1/2 ≈ ± 0.71.При V 0 = V М с учётом того, чтоM2VV M + 1/ V Mγ(V M + 1 / V M ) 21,+ 1 = (V M )2 ,=,−1 = 2γ +124γ −1γ2 − 1уравнение УП (4) принимает вид2⎛1γ ⎞.⎜u −⎟ +v2 = 22⎜⎟γ −1γ −1 ⎠⎝Это уравнение окружности (рис. 3.23, б) радиуса R = (γ2 – 1)–1/2 сцентром на оси u при u = γR. Максимальный угол поворота потока θm – угол наклона касательной к УП, проходящей через началокоординат и касающейся этой окружности, т.е.
sinθm = 1/γ.1–10v°а)1б)vu°1/ γ 2 − 1θm–101/V Мγ / γ2 −1u∞ = V М uРис. 3.23Получающаяся из уравнения (4) штриховая кривая на рис.3.22 с асимптотой u = u∞ отвечает V > V 0 . При V 0 = V М она сливается с асимптотой u = u∞ = V М, касающейся окружности (рис.3.23, б). Решения с V > V 0 отвечают скачкам разрежения, запрещенным в нормальном газе. Вместо них при развороте и разгонесверхзвукового потока реализуются центрированные волны разрежения (ЦВР). Описывающие их кривые – C±-характеристики(рис. 3.9 Гл.
3.5) начинаются на оси u при тех же значениях V 0 и179заканчиваются на окружности V = V М = ε–1/2. В точке V = V 0 , θ = 0они плавно сопрягаются с построенными для V ≤ V 0 ветвями УП.В задаче обтекания равномерным сверхзвуковым потокомбесконечного клина среди определяющих параметров нет параметра с размерностью длины. Поэтому параметры стационарноготечения (если таковое есть) зависят не от х и у в отдельности, а ототношения – у/х. Начало декартовых координат ху совмещено свершиной клина. Плоскопараллельное течение такого типа можетсостоять из поступательных потоков, разделённых УВ (рис. 3.24),и, может быть, – ЦВР. Наличие двух УВ не противоречит автомодельности. Но Vn′ < a, а проекция Vn′ на нормаль к первой УВбольше, чем проекция Vn′′ на нормаль ко второй, т.е. Vn′′ < Vn′ < a,и второй УВ с дозвуковой нормальной к ней компонентой вектора V быть не может.
Также доказывается невозможность выходящих из начала координат УВ и ЦВР. Одна ЦВР поворачиваетпоток по часовой стрелке, и остаётся единственное сочетание –разделённые УВ набегающий поток и равномерный поток с θ ≡ ω.yV0Vn′VVn′′ωx0Рис. 3.24В задаче сверхзвукового обтекания бесконечного клина с полууглом при вершине ω < θm есть две точки пересечения УП случом θ = ω, и возникает проблема выбора одного их двух решений. Для слабого решения поток над клином – сверхзвуковой(исключение – малая окрестность точки m), и, если клин конечный, то это не сказывается на течении до первой С+-характери180стики ЦВР, возникающей при обтекании его задней кромки (рис.3.25).
При сильном решении поток над клином – дозвуковой.Вверх по нему распространяется информация о конце клина, чтоискривляет УВ. Для реализации сильного решения при обтеканиибесконечного клина нужно справа на бесконечности поддерживать давление, точно равное тому, которое даёт сильное решение.Это – исключительная постановка, которую вряд ли стоит рассматривать.
Если конечный клин плавно (с монотонным уменьшением угла наклона контура) переходит в пластину постояннойтолщины, то доказано (А.И. Рылов, 1991 [33]), что реализуетсятолько слабое решение. С другой стороны, нельзя исключить, чтоу вершины клина, выдвинутого из торца обтекаемой с отошедшей УВ пластины, течение описывается сильным решением.yУВVV0ЦВРУВθω pb0ТРxРис. 3.25При ω > θm стационарного автомодельного течения в случаебесконечного клина нет. Чтобы понять, что же будет, рассмотримдве нестационарные задачи с бесконечным клином. В первой вравномерном сверхзвуковом набегающем потоке внезапно (в момент t = 0) по нормали к потоку возникает клин с углом ω = π/2,т.е. стенка, перекрывающая набегающий поток.
Решение очевидно: возникнет бегущая навстречу набегающему потоку и останавливающая его УВ. При наклонной стенке также наклонная,параллельная стенке УВ гасит только нормальную к стенке компоненту скорости, не изменяя касательную. Во второй задачеклин по-прежнему бесконечный, но θm < ω < π/2. Вдали от вершины УВ и течение будут такими же, как в случае наклонной181стенки. В некоторой окрестности вершины течение будет болеесложным, зависящим от двух переменных: ξ = x/(a 0 t), η = y/(a 0 t).Если же клин конечный, то имеется характерный размер, например, полувысота основания h, и реализуется стационарное неавтомодельное течение (рис.
3.26), зависящее от ξ = x/h, η = y/h. Наоси х расстояние отхода УВ от вершины клина Δ/h = f(M 0 , ω, γ).yУВЦВРЗЛV0ω0pbТРУВxРис. 3.26При обтекании дна клина образуется застойная зона, в которой давление (донное давление) p b близко к постоянному. Еслипринять, что кромка обтекается без разворота потока (плавныйсход), то, как и при отрывном обтекании того же клина несжимаемой жидкостью по схеме Кирхгофа (G. Kirchhoff), отрывнаязона будет простираться до бесконечности, вследствие чего p b == p 0 . В действительности за клином образуется зона с p b < p 0 .Чтобы обтечь кромку клина с разворотом, поток разгоняется сначала непрерывно вдоль боковой поверхности клина до М = 1, азатем в неавтомодельной ЦВР.