А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Плавныйповорот на любой угол ограниченного по z потока возможен привведении постоянной z-компоненты скорости w 0 . Возникающийблагодаря ей скос потока, не влияя на течение в плоскости ху,позволяет построить спиралевидный ограниченный или неограниченный по высоте канал постоянной (в направлении оси z) ширины, реализующий такой поворот. Кстати, при выполнении условий (2) течение в плоскости ху не изменяется при введении внабегающем потоке произвольного распределения w 0 (ψ).Интегралы (10±) – уравнения С±-характеристик в плоскости годографа (рис.
3.9, а). В этой плоскости С±-характеристикипокрывают сверхзвуковое кольцо 1 ≤ V/a ∗ ≤ V М/a ∗ = ε–1/2. Согласно формулам (10±) вдоль них dθ/dV = ±(ctgμ)/V = ±(M2 – 1)1/2/V.Поэтому С±-характеристики на звуковой окружности (при М = 1)касаются лучей θ = const, а на окружности V = V М, где М = ∞, –этой окружности. Пусть некоторая базовая С+-характеристика(БХ+) выходит из точки (V = 1, θ = 0). Тогда аналогичная базоваяС–-характеристика (БХ–) согласно (10±) получается отражениемБХ+ относительно оси u.
На рис. 3.9, а БХ+ и БХ– – жирные кривые. Прочие С+- и С–-характеристики получаются поворотом БХ+и БХ– на произвольные углы. В кружках на рис. 3.9, а изображены ЦВР, описываемые кривыми С+ или С–, на которых постояненинвариант I+ или I–, соответственно. Для совершенного газаС±-характеристики в плоскости годографа, описываемые уравнениями (10±) и (11), называются эпициклоидами.153а)vC+V–б)p/p–V+1M–1 < M–2V0ε–1/2uθ1M–20V–C–ΔθΔ θ 2m Δθ1mV+Рис. 3.9При анализе взаимодействия поверхностей разрыва ЦВРудобно описывать в переменных θ и р. При заданных числе МахаM – ≥ 1, угле θ – и давлении р – ≤ р ∗ набегающего потока зависимости р = р±(Δθ), где Δθ = θ – θ – , для ЦВР определяются формулами (5±).
Согласно имd ( p / p− )mρV 2Δθ = m Φ ( p ) ± Φ ( p− ),=,d Δθp− M 2 − 1(12)m γM 2−m ρV 2d ( p / p− )d ( p / p− )= 0.=,=d Δθ p = p−d Δθ p =0 p− M 2 − 1M 2− − 1M =∞При M – ≥ 21/2 модуль производной d(p/p – )/dΔθ растёт с ростомM – . Это и последнее равенство (12) учтены при построении зависимостей р = р±(Δθ) на рис. 3.9, б для M –2 > M –1 > 21/2.Для однородных плоских течений со звуковыми линиями(ЗЛ) развитый выше аппарат позволяет сформулировать важноеправило, получившее название теоремы Никольского–Таганова(ТНТ) (А.А. Никольский, Г.И. Таганов, 1946).
Согласно ей, еслипри движении по ЗЛ область сверзхвукового потока находитсясправа, то угол θ монотонно убывает, т.е. вектор скорости V поворачивается по часовой стрелке. Доказательство ТНТ опираетсяна уравнения (3.4.14) и (3.4.15). В плоском случае (при ν = 1) онипринимают вид1541 ∂p∂θ∂θ 1 − M 2 ∂p.(13),=−=2∂x ′ρV ∂y ′∂y ′ρV 2 ∂x ′Пусть y′ = y′ sl (x′) – уравнение ЗЛ в локальных координатах(рис. 3.10). Тогда согласно уравнениям (13) для производнойdθ/dx′, вычисляемой вдоль ЗЛ, имеемd θ ∂θ dysl′ ∂θ ∂θ1 ∂p.=+==−dx ′ ∂x ′ dx ′ ∂y ′ ∂x′ρV 2 ∂y ′Для однородных плоских течений с ростом числа Маха давление уменьшается (точнее, не растёт).
Для ситуаций, изображённых на рис. 3.10, число Маха с ростом y′ уменьшается. Следовательно, производная др/ду′ положительна (в каких-то точкахЗЛ она может обратиться в нуль), и в силу последнего уравненияdθ1 ∂p(14)=−≤0.ρV 2 ∂y ′dx ′ЗЛyx′yЛТy′ЗЛy′y′ = y′sl(x′)y′ = y′sl(x′)x′M<1M<1M>1M>1ЛТxxРис. 3.10В случаях, рассмотренных на рис.
3.10, направлению движения, которое фигурирует в формулировке ТНТ (М > 1 справа походу), отвечает рост х′. Поэтому согласно неравенству (14) θ притаком движении монотонно убывает. Если на рис. 3.10 поменятьместами области до- и сверхзвукового течений, то одновременноизменятся знак неравенства в формуле (14) и направление движения (теперь х′ будет уменьшаться). В результате если при движении по ЗЛ сверхзвуковой поток находится справа по ходу, то уголθ по-прежнему уменьшается.155уM<1M>1ЗЛ0хРис. 3.11ТНТ сразу даёт ответ о ЗЛ в плоском сопле Лаваля (рис.
3.11).Если ось х лежит на плоскости симметрии сопла, то на ней θ = 0.В силу ТНТ при движении по ЗЛ угол θ либо убывает, либо остаётся неизменным. В первом случае ЗЛ приходит на стенку сужающегося участка образующей, как изображено на рис. 3.11.Второй случай особый, ибо его реализация возможна только приспециальном профилировании сужающейся части контура сопла.Если такое профилирование выполнено, то все параметры на ЗЛпостоянны (θ = 0, М = 1, μ = π/2), ЗЛ – прямолинейный отрезок,нормальный оси х, характеристики обоих семейств касаются ЗЛ(более того, С–-характеристика совпадает со ЗЛ).ЗЛM<1M<1VM>1ЛТЛТM<1Рис.
3.12ТНТ была доказана в связи с течениями в местных сверхзвуковых зонах (МСЗ), возникающих при обтекании профилей околозвуковым потоком (рис. 3.12). При превышении числа Маханабегающего потока М 0 некоторого критического значения M ∗0МСЗ возникает сначала в области максимального разрежения надверхней выпуклой образующей профиля, как это следует из первого уравнения (13).
Действительно, над ней ЛТ тоже выпуклые,а значит, на них дθ/дх′ < 0. Поэтому согласно первому уравнению156(13) др/ду′ > 0, т.е. давление с удалением от профиля растёт. Следовательно, на профиле р < р 0 , а М > М 0 .b–a+M>1a–M<1b+уM<1baхРис. 3.13Обычно МСЗ, наблюдаемые в аэродинамических трубах присверхкритическом (М 0 > M ∗0 ) обтекании профилей, снизу по потоку ограничены достаточно интенсивной УВ – замыкающимскачком. В 40–50-х гг. ХХ века усилия многих аэродинамиковбыли направлены на выяснение причин его появления.
Одно изследствий ТНТ – демонстрация разрушения безударного сверхзвукового течения при небольшом спрямлении в МСЗ обтекаемого контура (участок ab на рис. 3.13). Покажем это.Вдоль отрезков a – a, b – b и aa + , bb + С–- и С+-характеристик сохраняются соответствующие инварианты. На ЗЛ р = р ∗ , а для осих, направленной по ab, θ b = θ a = 0. С учётом этого и того, чтоФ(р a– ) = Ф(р b– ) = Ф(р ∗ ) = 0, условие постоянства инварианта I– наотрезках a – a и b – b С–-характеристик сведётся к равенствамθa −papb∗∗ctgμctgμdp, θb− = −Φ ( pb ) = −dp .= −Φ ( pa ) = −2ρVρV 2pp∫∫Вычитание второго равенства из первого дастpbθ a − − θb − =∫p∗papb∗pactgμctgμdp −dp =ρV 2ρV 2p∫ctgμ∫ ρV2dp .По ТНТ левая часть этого равенства положительна. Поэтому(15)pb > pa,157и поток на отрезке ab тормозится.
Аналогично из условий сохранения инварианта I+ на отрезках aa + и bb + следует, чтоpaθ a + = Φ ( pa ) =∫p∗ctgμdp, θb + = Φ ( pb ) =ρV 2pbctgμ∫ ρV2dp .p∗Отсюда в силу неравенства (15) θ b+ > θ a+ , что противоречит ТНТ.Разрешение этого противоречия – допущение пересечения характеристик aa + и bb + , исключающего их приход на ЗЛ. Следовательно, возникает УВ, интенсивность которой тем меньше, чемменьше длина участка ab. Введение прямолинейного участка –один из способов инициирования УВ в МСЗ. Другой более простой и естественный способ – малый излом контура.
При его обтекании также возникает слабая УВ, интенсивность которой темменьше, чем меньше величина излома и протяженность, связанной с ним неровности. В действительности эти примеры демонстрируют лишь то, что сверхзвуковое течение – весьма чувствительный объект в том смысле, что малые его возмущения, какправило, инициируют слабые УВ. Скачок, замыкающий МСЗ, несвязан с подобными малыми возмущениями.Изучение причин образования скачков, замыкающих МСЗ,имеет богатую историю, в которой участвовали многие учёные(Ф.И.
Франкль, К Гудерлей, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Ю.Б.Лифшиц, О.С. Рыжов, И.А. Чернов, Л.П. Горьков, Л.П. Питаевский и др.). Сначала рассматривалась возможность зарожденияскачка на ЗЛ (в случае рис 3.12 – на правой границе МСЗ). Былоустановлено, что подобное возможно только тогда, когда на ЗЛприходит характеристика, несущая конечные разрывы первыхили бесконечные разрывы вторых производных от параметровпотока, причём определённых знаков.
В результате установиласьточка зрения, что при обтекании достаточно гладких профилейзамыкающий скачок, начинается из-за пересечения характеристик (в МСЗ над профилем – С–-характеристик) – волн сжатия,идущих от ЗЛ. Пересечению С–-характеристик способствует монотонное по ТНТ изменение угла наклона θ при движении вдольЗЛ: угол Маха на ней постоянен (равен π/2), и, следовательно,благодаря указанной монотонности каждая следующая С–-характеристика направлена навстречу предыдущей.158аа)бб)вв)гг)Рис. 3.14Возникновение замыкающего скачка внутри МСЗ подтверждают результаты численного интегрирования уравнений Эйлера.
На рис. 3.14 из [28], который отвечает обтеканию профиляпотоком совершенного газа с γ = 1.4 и числом Маха М 0 = 0.64,изолинии нарисованы через ΔМ = 0.01. Наряду с ними, показаныграницы блоков, покрывающих расчётную область. Вся расчётная область близка к кругу, радиус которого составлял пять хордпрофиля. Жирная изолиния М = 1 включает звуковую линию илинию М = 1 в размазанном замыкающем скачке.
Разбиение сетки на блоки с измельчением ячеек в блоках, окружающих начальную точку замыкающего скачка, проводилось в процессесчета. Из общего числа ячеек 4.6⋅104 на последний блок, занимающий пренебрежимо малую часть расчётной области, приходилось 1.6⋅104 ячеек.Прямоугольники на рис. 3.14, а, б и в ограничивают те области, которые на последующих рисунках занимают все поле тече159ния. Рассмотрение изолиний обнаруживает их сгущение и слияние слева от ЗЛ, т.е. внутри МСЗ, что, однако, обнаруживается несразу.