А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если же исходить из рис. 3.14, а, то естественно принять,что замыкающий скачок начинается на ЗЛ, хотя качество изображения на фиг. 3.14, а выше качества снимков, получаемых вэксперименте.a)0б)C–C+0C+Рис. 3.15Если ξ расстояние вдоль возникшего внутри МСЗ скачка отего начальной точки 0 (рис 3.15, а), а [p] – перепад давления нанём, то, как и в Гл. 2.4, [p] ξ1/2.
Следовательно, на С+-характеристике, проходящей через точку 0, [I–] [p]3 ξ3/2, и терпят бесконечный разрыв вторые производные параметров потока. Знаки ихоказываются такими, что в точке прихода С+-характеристики наЗЛ зарождается второй скачок [29]. Оба скачка образуют «перевернутую λ-образную конфигурацию» (рис. 3.15, б). Для выявления, второго скачка нужны, однако, на порядки более мощныесетки, чем использовались при построении рис. 3.14.Глава 3.6. Метод характеристик.Решение типичных задачСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, МХ – метод характеристик, ПВР – пучок волн разрежения, УВ – ударнаяволна, УС – условия совместности.160При расчёте и исследовании плоских и осесимметричныхсверхзвуковых течений метод характеристик (МХ) играет неменьшую роль, чем в одномерных нестационарных течениях.В МХ используются интегралы (3.4.4)2h + U 2 = 2 H (ψ ), y ν−1w = Γ(ψ), s = S (ψ) ,(1)Функции H(ψ) и Γ(ψ) определяются только набегающим потоком, S(ψ) – им и изменениями энтропии на УВ (если они есть), афункция тока ψ введена дифференциальным равенством (3.1.9):d ψ = ky ν−1ρ(udy − v dx ) = ky ν−1ρV (cos θdy − sin θdx ) .(2)Согласно ему ψ, постоянная на линиях тока (ЛТ), определена сточностью до аддитивной постоянной и множителя k, выбираемых из соображений удобства.На С±-характеристиках справедливы уравнения (19±) и условия совместности – УС (3.4.22±)(3±)cos( θ ± μ)dy = sin( θ ± μ)dx ,dθ ±ctgμw2ν −1⎛ w⎞2()0,,sindpYdyXdxX+−=θ=θ+,⎜⎟yV2ρV 2⎝ V⎠Y ( θ) = sin θ cos θ, Y (0) = X (0,0) = 0.y03a(2)122 133323(2)1f32c3b(1)g31(4±)e11d0хРис.
3.16В типичных задачах (рис. 3.16), параметры в точках 1 и 2 известны, а в точке 3 ищутся, 1–3 – отрезки С+-характеристик (характеристик 1-го семейства), 2–3 – отрезки С–-характеристик(характеристик 2-го семейства). На рис. 3.16 изображены от161личная от характеристик всех семейств линия начальных данныхab, стенка ag и С±-характеристики. Жирные линии – С±-характеристики – границы областей, течение в которых получается изрешения задач: Коши, Гурса и т.д.
Обозначение точки 3(2) означает, что она фигурирует в двух тройках точек 1, 2 и 3: сначалакак искомая, а затем как известная.В треугольнике abc решается задача Коши. В ней параметрызаданы на отрезке ab, причём ψ b = 0 и на оси х, а за счёт выборамножителя k в уравнении (2) ψ a = 1 и на стенке ag. Таким образом, задание параметров на АВ включает задание функций H(ψ),Γ(ψ) и S(ψ) при 0 ≤ ψ ≤ 1. При ν = 1 всегда, а при ν = 2 для точки1, не лежащей на оси симметрии, расчёт точки 3 в разных задачахидентичен и состоит в следующем. Отрезки С±-характеристик 1–3и 2–3 пересекаются в точке 3. Поэтому, приближённо проинтегрировав по этим отрезкам уравнения (3±), получим[cos(θ + μ)1 + cos(θ + μ)3 ]( y3 − y1 ) = [sin(θ + μ)1 + sin(θ + μ)3 ]( x3 − x1 ),[cos(θ − μ) 2 + cos(θ − μ)3 ]( y3 − y2 ) = [sin(θ − μ)2 + sin(θ − μ)3 ]( x3 − x2 ).(5)При известных коэффициентах перед разностями (у 3 – у 1 ), … этиуравнения позволяют найти х 3 и у 3 . После этого, воспользовавшись результатом интегрирования уравнения (2) по отрезку 2–3( y ν−1ρV cos θ) 2 + ( y ν−1ρV cos θ)3ψ3 = ψ2 + k( y3 − y2 ) −2(6)( y ν−1ρV sin θ) 2 + ( y ν−1ρV sin θ)3−k( x3 − x2 ),2определим ψ 3 .
Зная ψ 3 и у 3 и воспользовавшись интегралами (1),вычислим энтропию s 3 и компоненту w 3 вектора скорости. Еслифункции H(ψ), Γ(ψ) и S(ψ) заданы таблицами, то их значения приψ = ψ 3 находятся квадратичной интерполяцией.Интегрирование УС (4±) по отрезкам 1–3 и 2–3 даёт⎡⎛ ctgμ ⎞ ⎛ ctgμ ⎞ ⎤ p3 − p1⎡⎛ sin θ1 cos θ1θ3 − θ1 + ⎢⎜+⎜= ( ν − 1) ⎢⎜+2 ⎟2 ⎟ ⎥y1⎣⎝⎣⎝ ρV ⎠1 ⎝ ρV ⎠3 ⎦ 2162+sin θ3 cos θ3 ⎞ y1 − y3 ⎛ sin 2 θ1sin 2 θ3w32 ⎞ x3 − x1 ⎤w12++++⎥,⎟⎜⎟y3y1V12y3y3V32 ⎠ 2 ⎦⎠ 2⎝ y1⎡⎛ ctgμ ⎞ ⎛ ctgμ ⎞ ⎤ p3 − p2⎡⎛ sin θ2 cos θ2θ3 − θ2 − ⎢⎜+⎜= ( ν −1) ⎢⎜+2 ⎟2 ⎟ ⎥y2⎣⎝⎣ ⎝ ρV ⎠ 2 ⎝ ρV ⎠ 3 ⎦ 2(7)sin θ3 cos θ3 ⎞ y2 − y3 ⎛ sin 2 θ2sin 2 θ3w 2 ⎞ x − x2 ⎤w2+⎜+ 22 ++ 32 ⎟ 3⎥.⎟y3y2V2y3y3V3 ⎠ 2 ⎦⎠ 2⎝ y2Если коэффициенты при приращениях и координаты х 3 и у 3 известны, то уравнения (7) определят θ 3 и p 3 .
Наконец, известныеs 3 и p 3 и уравнения состояния позволяют найти ρ 3 , а 3 и h 3 . По h 3и H 3 интеграл полной энтальпии (1) определит U 3 , после чегонайдутся V 3 = (U 32 − w32 )1/ 2 , М 3 = V 3 /а 3 и ctg μ 3 = (M 32 − 1)1/ 2 . Этимзавершается расчёт точки 3.Коэффициенты при приращениях в уравнениях (5) – (7) считались известными. На самом же деле, слагаемые в них с индексом «3» неизвестны.
Поэтому решение строится итерациями. Впервой итерации вторые слагаемые заменяются первыми, вычисленными по параметрам в точке 1 или 2. В следующих итерацияхони вычисляются по параметрам предыдущей итерации. Разностные уравнения (6) и (7) аппроксимируют исходные дифференциальные со вторым порядком относительно приращений (интегралы при их получении вычислялись по формуле трапеций).
Квадратичная интерполяция по ψ 3 сохраняет второй порядок точности. Теоретически второй порядок обеспечивают две итерации,но опыт расчётов оправдывает увеличение их числа до трёх.В осесимметричном случае (при ν = 2) для точек 1 или 3 наоси симметрии коэффициенты при dx и dy в УС (4) неопределеныиз-за обращения в нуль y, Y и X. Чтобы избавиться от неопределённостей, умножив УС в форме (3.4.21±) на у, получим⎡ sin θ sin μ w2⎤ctgμyd θ ± ydp±m 2 ctg( θ ± μ) ⎥ dy = 0 , (8±)⎢2ρV⎣ sin( θ ± μ) V⎦где верхние (нижние) знаки отвечают С+(С–)-характеристикам.+163Для точки 1 ≡ b, проинтегрировав уравнение (8+) вдоль отрезка 1–3 и учтя, что у 1 = θ 1 = F1+ = 0, после сокращения на у 3 придём к равенству⎡ w2ctgμ 3sin θ sin μ ⎤.(9)θ3 +(p−p)=ctg( θ + μ) −31⎢22ρ3V3sin( θ + μ) ⎥⎦ 3⎣VОно и второе уравнение (7) определят θ 3 и p 3 .
В первой итерациикоэффициент при (р 3 – р 1 ) в (9) вычисляется по параметрам вточке 1, а правая часть – по полусумме параметров в точках 1 и 2.Применение описанных процедур ко всем парам точек 1 и 2на отрезке ab даёт новый слой, содержащий на одну точку меньше исходного. Если N – число точек на ab, то после расчёта Nслоев выстроится характеристический треугольник abc, боковыестороны которого ac и bc – отрезки С+- и С–-характеристик.
Здесьи далее предполагается, что распределения параметров на abобеспечивают безударное течение в рассчитываемой области.Треугольник abc – область определённости отрезка ab в томсмысле, что течение в нём полностью и единственным образомопределяется заданными распределениями параметров на ab. Каки в Гл. 2.8, справедливость данного утверждения – результатмысленной реализации описанной выше процедуры МХ. Представление о погрешности вычислений даёт отличие от нуля интеграла по контуру abc от правой части уравнения (2). Погрешностьоценивается разностью значений m c , полученных интегрированием по отрезкам С–-характеристик согласно (6) и аналогичным интегрированием по отрезку С+-характеристики bc.
При отсутствииУВ задачу Коши можно решать и в прямом (в сторону роста х), ив обратном направлении (в сторону уменьшения х).По найденному отрезку bc С+-характеристики и условию θ == 0 на оси х определяется течение в треугольнике bdc. Первойнаходится точка 3 оси х. При этом в осесимметричном случае УСна отрезке 2–3 используется в форме (8–). Это даёт уравнение⎡ sin θ sin μ w2⎤p3 = p2 + (ρV 2 tgμ)2 ⎢(10)+ 2 ctg( θ − μ) − θ⎥ ,⎣ sin( θ − μ) V⎦2которое без итераций определяет давление р 3 . Поскольку ось х –– ЛТ, то энтропия s 3 = S b известна, и по р 3 и s 3 из уравнений со164стояния находятся ρ 3 , а 3 и h 3 , по h 3 и Н 3 = Н b из интеграла полной энтальпии (1) определяется V 3 = U 3 , а затем М 3 и μ 3 .
Наконец, уравнение, получающееся после интегрирования уравнения(3–),cos( θ − μ) 2 + cos μ3x3 = x2 +y2sin(μ − θ) 2 + sin μ 3также без итераций определяет х 3 .На рис. 3.16 в точке a поток поворачивается на положительный угол, т.е. θ a = θ a+ на ag больше, чем θ a = θ a– на ab. В такомслучае точка a – фокус в общем случае неавтомодельного пучкаволн разрежения (ПВР). При этом для любых ν и неравномерностях параметров на ab течение в точке a описывается формуламицентрированной простой волны с постоянной w. Справедливостьданного утверждения – естественное следствие уравнения (4+),связывающего θ, p, х и у на С+-характеристике, пересекающейПВР бесконечно близко к точке a. При этом отношения изменений х и у к у a стремятся к нулю, и увеличение угла от θ a– до θ a+может компенсировать только конечное изменение давления.
Поэтой причине при описании течения в точке a в уравнении (4+),как и при ν = 1, остаются лишь два первых слагаемых. В том жепределе любой конечный масштаб неоднородности на ab становится бесконечным. Расчёт точек ПВР, лежащих на разных С–-характеристиках и совпадающих по х ≡ x a и у ≡ у a , ведётся при заданном приращении (θ 3 – θ 1 ) или (р 3 – р 1 ) по первому уравнению(7) с нулевой правой частью. Расчёт прочих точек ПВР acf илиade (если течение в bdc уже рассчитано) ведётся так же, как в abc.При расчёте течения в треугольнике afg в отдельном рассмотрении нуждается только счёт точки на стенке ag, заданной уравнением y = F(x).
Для определения х 3 и у 3 используется первоеуравнение (5) и уравнение стенки, записанное для ускорения сходимости итераций в формеF ′ + F3′⎡⎤ F ′ + F3′y3 = F ( x3 ) = F0 + ⎢ F ( x3 ) − F0 − 0( x3 − x0 ) ⎥ + 0( x3 − x0 ) .(11)22⎣⎦Здесь 0 – предыдущая точка стенки, а F ′ = dF/dx. Уравнение (11)вместе с первым уравнением (5) решается итерациями. В итера165циях наряду с F3′ в последнем слагаемом участвует квадратнаяскобка. В ней в первой итерации индекс «3» заменяется на «0», ислагаемое в скобке исчезает.На ag ψ постоянна. Поэтому ψ 3 = ψ a , функции в интегралах(1) равны H a , Γ a и S a , а по ним и найденному y 3 определяются s 3== S a и w 3 = y31−ν Γ a .