А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для слоистых и закрученных течений в плавных каналах также развиты соответствующие элементарные теории.В силу ограничений на форму каналов и характер течения наих входе интегральные слагаемые в равенствах (3) – (6) – малыевторого порядка по параметру, характеризующему величину y′ w .Пренебрегая ими и опустив у оставшихся знак осреднения, придём к уравнениям, описывающим течения в плавных каналах врамках теории, которую назовём элементарной (ЭТ):G = jF , j = ρ V , 2 h + V 2 = 2 H , s = S ,(7)ρ = ρ( p, s ), h = h ( p, s ), a = a ( p, s ), a −2 = ∂ρ / ∂p.Входящие в эти уравнения константы G и H не изменяются и приналичии в некотором сечении канала прямого скачка, которыйтакже допускается ЭТ.
При наличии прямого скачка изменение sили χ(s) = р/ργ рассчитывается так же, как при обтекании тела сотошедшей УВ в Гл. 3.2.Уравнения (7) тождественны уравнениям, справедливым длятрубки тока. Поэтому в рамках ЭТ применимы все результаты Гл.3.2. Опираясь на них, рассмотрим течения в соплах, сверхзвуковых диффузорах (воздухозаборниках) и в каналах с двумя пересжатиями (аэродинамических трубах).
Начнём с устройства, вкотором поток можно разогнать до сверхзвуковой скорости –сужающегося-расширяющегося канала – сопла Лаваля. Изображённое в нижней части рис. 3.5, а сопло слева присоединено к135большому объёму (ресиверу, камере сгорания и т.п.), а справа –открыто в атмосферу. Давление в ресивере близко к р st – давлению изоэнергетически и изэнтропически заторможенного потока.Если перепад π = р st /р е = 1, где р е – атмосферное (внешнее) давление, то газ покоится, и во всём устройстве р/р st ≡ 1.
На рис. 3.5,а этому режиму отвечает прямая 0.p/pstа)1б)023p∗/pst7506234′4′′5′5′′75460xу0у0114′4′′5′5′′4xу0xxв)x0Рис. 3.5При π > 1 начинается истечение газа, причём сначала с дозвуковой скоростью во всём сопле. Поток разгоняется в сужающейсячасти и, не достигнув скорости звука, тормозится в расширяющейся части сопла. Распределения давления, соответствующиетаким течениям, представлены кривыми 1 и 2. До тех пор покапоток на срезе сопла дозвуковой, давление на срезе близко квнешнему, а в рамках ЭТ – равно ему. По указанной причине ординаты правых концов этих кривых равны р е /р st . С ростом π растет скорость потока во всём сопле, поэтому кривая 1 лежит нижепрямой 0, кривая 2 ниже кривой 1 и т.д. Для полностью дозвуковых режимов наименьшее давление (и наибольшая скорость) дос136тигается в минимальном сечении.
Здесь F′ = F′ m = 0, и согласноравенству (3.2.8)ρ mVm2 Fm′pm′ == 0.(8)(1 − M 2m ) FmПри некотором перепаде в минимальном сечении число Махастановится равным 1. Для определения отвечающей такому режиму производной p∗′ в минимальном (теперь – критическом)сечении сопла раскроем неопределённость.
Все параметры,включая V и число Маха M, – функции давления. ПоэтомуF ′′F ′′→ p*′ = ±,(9)p*′ =−2M p* p*′−2M p*где за масштабы площади, скорости, плотности и давления взятыF m , a ∗ , ρ ∗ и ρ ∗ a ∗ 2. Поэтому для совершенного газа при М = 1 вминимальном сечении(10)F m = V m∗ = ρ m∗ = 1, p m∗ = 1/γ.Для произвольного газа с учётом формулы (3.2.3), определений удельного объёма ω = 1/ρ и скорости звука а2 = 1/ρ р == – ω2/ω р и того, что в ЭТ, как и на ЛТ, (д/др) s = d/dp, найдём222dM 2 d V 2 2a VV p − V ( a ) p−2 V 2 ⎛ ω2 ⎞2MM p ==== 2+ 4⎜⎟ =24dpdp aaa ⎜⎝ ω p ⎟⎠ pρa=−2a 2 + ρV 2 ( ω2 / ω p ) p==−2a 2 + ρV 2 (2ωω2p − ω2 ω pp ) / ω2pρa 42V 2 − 2a 2 − ρV 2 ω pp ω2 / ω2p=ρa 42(M 2 − 1) − M 2ρ3a 4 ω pp=ρa 4ρa 2Вспомнив выбор масштабов, отсюда получимσ2 ≡ −2M p∗ = ω pp∗ .(11).(12)2Согласно формуле (12) для нормальных газов σ положительно, и в минимальном сечении, где F′ m = 0, а F′′ m > 0, подкоренноевыражение в формуле (9) также положительно.
Для совершенного газа (см. равенство (1.1.5))137[χ( s )]1/ γ1 χ1/ γ1 ⎛ 1 ⎞ χ1/ γ 1 + γ ω,,ω=−ω=+1= 2 2,pppp1/ γγ p1/ γ+1γ ⎜⎝ γ ⎟⎠ p1/ γ+ 2γ pи с учётом равенств (10) в минимальном сечении при М = 1ω pp∗ = 1 + γ.(13)ω=Итак, согласно формуле (9) наклон касательной к кривым р == р(х), дающим распределение давления в сопле Лаваля, при М == 1 в минимальном сечении может быть либо положительным,либо отрицательным.
Поскольку в сужающейся части сопла дозвуковой поток разгоняется, то слева от минимального сечения,наклон соответствующей касательной – отрицательный. Справаот «звукового» сечения положительному наклону соответствуетторможение потока в расширяющейся части (кривая 3 на рис. 3.5,а), а отрицательному – продолжение разгона газа и в расширяющейся части сопла (кривая 4). Величина перепада π 3 , соответствующая правому концу кривой 3, определяет границу так называемых запертых режимов, для которых течение слева от минимального сечения не зависит от перепада.
Достигнутый расход Gявляется максимально возможным, и дальнейший рост перепадане может изменить его, а следовательно, и все течение в сужающейся части сопла. Поэтому для перепадов, больших π 3, начальный участок кривой распределения давления остается неизменным. Для значений π, превосходящих π 4 – перепад, соответствующий правому концу кривой 4, распределение давления в расширяющейся части сопла описывается единой кривой 4: рост перепада выше π 4 не может повлиять на течение внутри сопла в силу сверхзвукового характера течения на его выходе. Таким образом, в рамках ЭТ построены решения задачи о течении газа в сопле для перепадов 1 ≤ π ≤ π 3 и π ≥ π 4 .
Остается найти распределения давления в расширяющейся части сопла для π 3 ≤ π ≤ π 4.Как уже отмечалось, ЭТ допускает введение прямого скачка.Для любого его положения в расширяющейся части все параметры, в том числе энтропия S 2 или энтропийная функция σ 2 за прямым скачком, определяются по известным параметрам перед ним(с индексом «1»). Если принять, что за прямым скачком течениебезотрывное, то реализуется распределение, показанное на рис.3.5, а кривой 4′. Если «прямой скачок» нулевой интенсивности138поместить в минимальном сечении, то кривая 4′ совпадёт с кривой 3. При смещении скачка в расширяющуюся часть сопла одновременно растут его интенсивность – отношение давленийр 2 /р 1 и приращение энтропии. Рост σ 2 вместе с уменьшениемдавления р 1 перед прямым скачком ведут к тому, что каждая следующая кривая 4′ оказывается ниже предыдущей.
Одновременноуменьшается давление на срезе сопла. Самое низкое давление насрезе р е4-4′ реализуется при прямом скачке в сечении среза.Из-за пограничного слоя на стенках сопла с ростом интенсивности скачка более обоснованной представляется модель с простирающейся от скачка до среза сопла отрывной зоной. В рамкахотрывной модели получается распределение 4′′, включающеештриховую горизонталь. По этой модели минимальное (равноер ∗ ) давление на срезе получается при совершенно нереальномотрыве из-под скачка нулевой интенсивности.В обеих моделях с дозвуковым за прямым скачом потоком насрезе сопла есть конечный интервал значений внешнего давления(р е4 < р е < р е4-4′ – в первой модели и р е4 < р е < р ∗ – во второй), длякоторого в ЭТ решения нет. Причина этого в том, что в ЭТ нерассматриваются косые скачки. В действительности, сначала прир е > р е4 от кромки сопла в сверхзвуковую струю отходит косойскачок (рис. 3.38, а), что не сказывается на течении внутри сопла.Когда отношение давлений на косом скачке р е /р е4 превысит некоторый связанный с пограничным слоем на стенках сопла критический перепад, косой скачок войдёт в сопло.
До этого ЭТдаёт приемлемые для инженерных оценок распределения параметров в сопле. Вход косого скачка в сопло сопровождается отрывом потока от стенок, причём с ростом р е к минимальному сечению движется не прямой скачок, а система из первичного иотраженного косого скачка и близкого к прямому скачку дискаМаха.На рис.
3.5, а течениям в сверхзвуковом диффузоре (воздухозаборнике) отвечают кривые 5, 5′, 5′′ и 6. Главное отличие такогодиффузора от сопла Лаваля – заданный сверхзвуковой поток навходе с числами Маха М 1, 5 и М 1, 6 . По этой причине перечисленные кривые начинаются ниже штриховой горизонтали, отвечающей звуковому потоку. При этом, как и для сопла, в зависимости139от условий на выходе реализуется сверхзвуковое (кривые 5 и 6)или дозвуковое (кривые 5′ и 5′′) истечение. Для кривой 7 числоМаха на входе М 1, 7 столь близко к единице, что поток становитсязвуковым (с максимальной плотностью тока j ∗ ) в сужающемсяканале, левее минимального сечения.Ещё одно, казалось бы, возможное распределение – полнаякривая 3 с непрерывным торможением потока от М > 1 до М < 1.В отличие от трубок тока в двух- и трёхмерных течениях такойрежим в канале с твердыми стенками неинтересен ввиду его неустойчивости по отношению к уменьшению М 1, 3 на сколь угодномалую величину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
