А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2.22, построенный для ν = 3, γ = 7/5). В точке IS22 γ ( γ − 1)U IS =, BIS =, BIS − (U IS − 1) 2 = ( γ − 1) /( γ + 1) > 0 , (4)2γ +1( γ + 1)т.е. эта точка лежит внутри звуковой параболы B = (U – 1)2, которая на рис. 2.22, а дана штрих-пунктиром. На ней множитель перед производными в уравнениях (2.10.5) – функция f 0 (B,U) == (U – 1)2 – B = 0.102Подстановка τ или х из (1) в формулы (2) приводит к выражениямn(cξ)1/ nncξn(cξ)1/ nncξu = 1/ n −1 U (ξ) = 1− n U (ξ), a = 1/ n −1 A(ξ) = 1− n A(ξ),xτxτ(2′)2(ncξ)2pP (ξ)1−1/ γ ( ncξ).ρ = ρ0 R (ξ), p = ρ0 2(1− n ) P (ξ), γ = ρ0τρτ2(1− n ) R γ (ξ)Согласно им за УВ IS и на любой линии постоянства ξ плотностьпостоянна, а u, а, р и р/ργ при приближении к ЦС неограниченнорастут (для ξ ≠ 0).
При переходе в плоскости xτ от УВ IS к оси xпеременная ξ монотонно растёт от конечной положительной величины ξ IS до ξ = ∞. Неограниченно растёт и множитель ξ2τ2(n – 1)в формулах (2′) для u и а. На оси х, за исключением начала координат, скорость газа u, и скорость звука а ограничены. Это возможно только при U(∞) = A(∞) = 0. Начало координат B = U = 0плоскости UB – особая точка уравнения (3), которое при малых Uи B принимает видdB2nγB=.dU nγU + 2(1 − n) BПроинтегрировав это уравнение, найдём, что B ≈ kU2 при U → 0,т.е.
начало координат узел, из которого выходит множество интегральных кривых, отличающихся значением постоянной k. Приk > 0 интегральные кривые касаются оси U.Итак, в плоскости UB интегральная кривая уравнения (3), начинающаяся в точке IS внутри звуковой параболы, должна примонотонном росте ξ прийти в начало координат B = U = 0. В силупервого уравнения (2.10.5), переписанного в формеfdξ= nγξ 0 ,(5)dUf1такой переход через звуковую параболуf 0 = f 0 ( B,U ) = (U − 1)2 − B = 0(6)возможен лишь при одновременном выполнении равенстваf1 = f1 ( B,U , γ , ν, n ) = ( nνγU + 2n − 2) B + γU (U − 1)(1 − nU ) = 0 .
(7)Действительно, искомая интегральная кривая должна прийти вначало координат, т.е. непременно пересечь звуковую параболу.103Монотонному росту ξ от конечного значения ξ IS на УВ IS до ξ =∞ на оси x отвечает непрерывное изменение U, в том числе припересечении звуковой параболы. Согласно (5) в произвольных ееточках dξ/dU = 0, и ξ сначала растет, а затем убывает (или наоборот), что на рис. 2.22, а показано стрелками. Чтобы производнаяdξ/dU в точке пересечения интегральной кривой со звуковой параболой не меняла знак, одновременно с числителем в правойчасти уравнения (5) должен обратиться в ноль ее знаменатель.В согласии с приведёнными после уравнений (2.10.5) выражениями выполнение равенств (6) и (7) обеспечивает обращениев нули и функций f 2 и f 3 – линейных комбинаций f 0 и f 1 .
В результате все три производные U′, B′ и R′ в точке перехода конечны. Это естественно и без упомянутых выше выражений для f 2 иf 3 , ибо при конечной U′ на звуковой параболе согласно первому итретьему уравнениям системы (2.10.4) конечны B′ и R′.В плоскости UB переход через звуковую параболу – возможен лишь в особых точках. При фиксированных γ, ν и любом 0 << n < 1 их координаты находятся из совместного решения уравнений (6) и (7). Для интересных в дальнейшем значениях n назвуковой параболе кроме особой точки (1,0) есть две особых точки. В силу уравнений (6) и (7) их абсциссы равны2 − 2n − γ + νnγ ± (2n − 2 + γ − νnγ ) 2 − 8nγ (ν − 1)(1 − n), (8)2nγ (ν − 1)а ординаты В 1,2 находятся по U 1,2 из уравнения (6).Пригодная для попадания выходящей из SP интегральнойкривой и в точку (4), и в начало координат B = U = 0 особая точка– седло или узел, а дающия решение интегральная кривая – однаиз их сепаратрисс ( для узла – «главный ус»).
Показатель n подбирается так, чтобы сепаратрисса попала в точку (4). Попаданиееё в точку B = U = 0 обеспечивается тем, что для всех γ, ν и n начало координат плоскости UВ – узел уравнения (3). Согласнорасчётам, при 1 < γ < γ * , где γ * ≈ 1.91 и 1.87 при ν = 2 и 3, интегральная кривая проходит через нижнюю особую точку – седло сабсциссой U 1 . На рис. 2.22, а это – точка SP.
Если γ > γ * , то интегральная кривая, вышедшая из точки (4), проходит через верхнюю особую точку – узел с абсциссой U 2 .U1,2 =104Как показано в Гл. 2.10, выполнение при некотором ξ равенства (6) означает, что соответствующая линия постоянства ξ – С+илиС–-характеристика. В ЗГ это – особая С–-характеристика С 0 –, приходящая в ЦС одновременно с УВ IS. На рис. 2.22 интегральнаякривая (сепаратрисса седла SP), соединяющая точку IS c началомкоординат, продолжается во второй квадрант до точки RS – . Вплоскости хτ (рис. 2.21) такое продолжение отвечает течению отоси х до отраженной УВ RS.Далее, как и в задаче о сильном взрыве, неограниченностьγр/ρ при конечном давлении означает, что в ЦС, где ξ = 0 и u = 0,скорость звука а = ∞ для τ = t > 0.
Согласно выражениям (2′) этовозможно, если |U(0)| ≡ |U 0 | < ∞, а B(0) = ∞. Для построения решения между УВ RS и осью t интегрируется уравнение (2.10.7),записанное в переменных U, δ = 1/B. Интегральная кривая, которая приходит в седло (2.10.8), – его сепаратрисса. На рис. 2.22, б вплоскости Uδ представлены интегральные кривые уравнения(2.10.7) в окрестности седла, включая горизонтальную (δ = 0) ивертикальную (U = 1) прямые. Штрих-пунктиром нарисованачасть звуковой параболы – кривой: δ = (1 – U)–2. Все отличные отпрямых интегральные кривые, в том числе, сепаратрисса приходящая в седло сверху (а на рис.
2.22, а – наоборот, снизу) заканчиваются в узле NP на звуковой параболе.На УВ RS – линии постоянства ξ выполняются законы сохранения (1.3.8), (1.3.9) и (1.3.11). Для совершенного газа в обозначениях данного параграфа они принимают вид:ρ + (u+ − D ) = ρ − (u− − D ), p+ + ρ + (u+ − D )2 = p− + ρ − (u− − D ) 2 ,2a+22a 2+ ( u + − D ) 2 = − + ( u− − D ) 2 ,γ −1γ −1где индексы «–» и «+» метят параметры перед и за УВ (справа ислева от RS на рис. 2.21). С учётом формул (1) и (2) и того, что наRS ξ постоянна, эти условия принимают видR+ (U + − 1) = R− (U − − 1), P+ + R+ (U + − 1) 2 = P− + R− (U − − 1)2 ,2 B+ + ( γ − 1)(U + − 1) 2 = 2 B− + ( γ − 1)(U − − 1) 2 ,а после разрешения относительно U + и B + :105U+ − 1 =U− − 1B−(2G + γ − 1), G =≥ 0,γ +1(U − − 1) 2(9)(U − − 1) 222B+ =[2(1 − γ )G + (6 γ − γ − 1)G + 2 γ ( γ − 1)].( γ + 1) 2Для построения полного решения точка RS – на «левой» ветвиинтегральной кривой (U – и B – ) выбирается так, чтобы в согласиис равенствами (9) точка RS + с координатами U + и B + плоскостиUB попала на идущую сверху интегральную кривую.
На рис.2.22, а этот переход показан стрелкой. Другие интегральные кривые даны тонкими линиями, а ещё два узла – кружками (NP,верхний – на звуковой параболе, он же – на рис. 2.22, б). Ось B == 0 и прямая U = 1 – тоже интегральные кривые уравнений(2.10.3) или (2.10.7).После определения показателя n и интегральной кривой B == B(U), выходящей из точки IS плоскости UB, строится полноерешение задачи. Зависимости ξ = ξ(U) и R = R(U) находятся интегрированием первого и третьего уравнений системы (2.10.5), отточки IS, в которой ξ IS = 1, а R IS = (γ + 1)/(γ – 1).Если m – массовая лагранжева переменная, то при любом показателе n есть универсальные связь R = R(ξ,U,B) и формула: х == Х(ξ,m) для траекторий частиц (далее – траекторий) в плоскости xt.
Для получения этих функций учтём, что на траекторииdx ⎛ ∂X ⎞X(10)≡⎜⎟ =u=n U ,d τ ⎝ ∂τ ⎠ mτа в силу определения переменной ξ = х/(сτn) имеемxxdx = n d τ + d ξ .τξДанная связь справедлива, в частности, вдоль любой траектории(при m = const). ОтсюдаX X ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂X ⎞(11)⎜⎟ =n + ⎜ ⎟ ,∂ττ ξ ⎝ ∂τ ⎠ m⎝⎠mа с учётом равенства (10)106⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂ξ ⎞ ⎛ ∂X ⎞⎛ ∂ξ ⎞ X⎜ ⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ n U.⎝ ∂τ ⎠ m ⎝ ∂X ⎠m ⎝ ∂τ ⎠m ⎝ ∂X ⎠m τПодстановка формулы (10) и этого выражения в (11) даст⎛ ∂ ln X ⎞U.=U − 1 ⎝⎜ ∂ ln ξ ⎠⎟ mЕсли из третьего уравнения системы (2.10.4), переписанного вдифференциалах и делённого на (U – 1), с помощью последнейформулы исключить U/(U – 1), то оно примет вид⎛ ∂ ln X ⎞d ln(U − 1) + d ln R + ν ⎜⎟ d ln ξ = 0 .⎝ ∂ ln ξ ⎠ mНо U и R – функции только ξ, и его можно переписать в форме⎛ ∂[ln(U − 1) + ln R + ν ln X ] ⎞⎜⎟ = 0.∂ ln ξ⎝⎠mОткуда после интегрирования и простых преобразований найдём(U − 1) RX ν = K1 ( m ) .(12)До встречи с УВ RS вдоль траекторий сохраняется энтропийная функция, т.е.
γр/ργ = ρ1 – γа2 = χ(m). Отсюда, воспользовавшись представлениями (2), получим2ρ10−γ R1−γ ( nX / τ ) B = χ( m)или после подстановки 1/τ = (cξ)1/n/Х1/n и деления на константыξ2 / n1− nR1−γ 2 λ B = K 2 ( m ), λ =.XnПосле исключения Х из этого уравнения и равенства (12) придёмк искомой связи(U − 1) R1+(1−γ ) ν /(2 λ ) ξν /(1−n ) B ν /(2 λ ) = K1 ( m )[ K 2 ( m )]ν /(2 λ ) = K .Стоящая в правой части данного равенства комбинация функцийот m – константа, поскольку его левая часть – функция ξ.На участках траекторий между УВ IS и RS константа K ифункция K 1 (m) определяются по параметрам на УВ IS.
Перед нейгаз покоится, ρ = ρ 0 и dm = kXν – 1ρ 0 dX. Отсюда, взяв нормирующий множитель k = ν/ρ 0 , найдём Х = m1/ν. С учётом этого, формул(2.10.3) для параметров за УВ IS и того, что ξ s = 1, найдём:107ν /(2 λ )⎡ 2 γ(γ − 1) γ ⎤2 γ (γ − 1) γ,K=−.⎢ (γ + 1) γ+1 ⎥m 2 λ / ν (γ + 1) γ+1⎣⎦При известной Х(ξ, m) время на траектории согласно определению переменной ξ даётся равенством |t|n = X(ξ, m)/(сξ).K1 ( m ) = −m, K 2 ( m ) =ν2323232323Т а б л и ц а 2.1Показатели n, константы μ и характерные плотности в ЗГρm =nρ ISρCρt = 0ρ RS–γμ= ρ RS+3 0.77567 0.52774 22.139 2.500 2.991 3.9063 0.63641 0.49957 22.209 2.736 3.345 4.0955/3 0.81562 1.30244.749 7.018 11.71 22.985/3 0.68838 1.281945.190 9.550 18.88 32.287/5 0.83532 1.886867.566 12.90 28.77 77.707/5 0.71717 1.885168.492 20.07 64.32 145.14/3 0.84226 2.137779.018 16.24 41.17 127.54/3 0.72769 2.1453710.21 26.55 106.9 273.26/5 0.86116 2.9760 11 15.00 31.62 122.6 590.16/5 0.75714 3.0160 11 17.33 59.55 539.62112Рассчитанные Х.Ф.
Валиевым (2009, [22]) показатели автомодельности n, константа μ и характерные значения плотности (ρ ISза УВ IS, ρ С – на C0− , ρ t = 0 – на оси x, ρ RS– и ρm = ρ RS+ – перед и заУВ RS) собраны в табл. 2.1. По отношению плотностей ρ RS+ кρ RS– отражённая УВ RS не сильная. На рис. 2.23 в плоскости xtдля трёх вариантов даны траектории УВ и поля плотностей.1081ttν=3γ = 5/3tρ = 320ν=3γ = 4/3ν=3γ = 7/5mρm = 273ρm = 145xx00xРис. 2.23Глава 2.12. Быстрое сильное сжатие идеального газаСокращения: ЗГ – задача Гудерлея, УВ – ударная волна, ЦВ иЦПВ – центрированная волна и центрированная простая волна,ЦВС – центрированная волна сжатия, ЦС – центр симметрии.В Гл. 2.9 описано изэнтропическое сжатие идеального газа изпокоя в покой.
Показано, что при этом возможны любые степенисжатия с = ρ f /ρ i , где ρ i и ρ f – начальное и конечное значенияплотности, за время, близкое к t 0 – времени пробега звуковойволны по несжатому газу. Однако при изэнтропическом сжатииконечная температура невелика. Так, для совершенного газаТ f /Т i = (ρ f /ρ i )γ – 1, и если ρ f /ρ 0 = 104, то Т f /Т i ≈ 40 и 460 соответственно для γ = 7/5 и 5/3. При Т i = 300 K это даёт Т f == (0.12÷1.4)⋅105 K, а для реализации управляемого инерционноготермоядерного синтеза при несколько меньшей степени сжатиянужны Т f = (0.3÷1)⋅108 K. Следовательно, для достижения многоболее высоких конечных температур к тому же за времена t f << t 0сжатие должно начинаться в сильной УВ.В рассмотренном в Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
