А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2.17, параметрыв точке 3 ищутся, а в точках 1 и 2 известны, 1–3 – отрезок С+характеристики (характеристики 1-го семейства), 2–3 – отрезокС–-характеристики (характеристики 2-го семейства).a)tcbc1ab х2хac31aacз)t332311хat2bхж)ctbed1е)д)dг)t302tt313aв)б)t22хbх0х0хРис.
2.17В задаче Коши (рис. 2.17, а) параметры газа заданы на отрезке ab, отличном от отрезка характеристик всех трёх семейств.Функции W(m), Γ(m) и S(m) заданы для m a ≤ m ≤ m b . С+- и С–характеристики, выходящие соответственно из точек a и b, пересекаются в точке с. На рис. 2.17, а ab – отрезок оси х.
Это, однако,несущественно, ибо далее не предполагается, что t 2 = t 1 .Отрезки С+- и С–-характеристик 1–3 и 2–3 пересекаются вточке 3. Поэтому, приближённо проинтегрировав по этим отрезкам соответствующие уравнения (2±), получимu + a + u + a3u + a2 + u3 + a3x3 = x1 + 1 1 3(t3 − t1 ), x3 = x2 + 2(t3 − t2 ) .(6)22При известных коэффициентах перед разностями (t 3 – t 1 ) и (t 3 –t 2 ) эти уравнения позволяют найти х 3 и t 3 . Воспользовавшись затем результатом интегрирования уравнения (1) по отрезку 2–384x2ν−1ρ2 + x3ν−1ρ3x ν−1ρ u + x3ν−1ρ3u3( x3 − x 2 ) − k 2 2 2(t3 − t2 ) ,(7)22определим m 3 . Зная m 3 и х 3 и воспользовавшись интегралами (4),вычислим энтропию s 3 и компоненты w 3 и v 3 вектора скорости.Если функции W(m), Γ(m) и S(m) заданы таблицами, то их значения при m = m 3 находятся квадратичной интерполяцией.Интегрирование первых уравнений (5±) даст⎛ 11 ⎞ p3 − p1 ν − 1 ⎛ Fx+1 Fx+3 ⎞u3 − u1 + ⎜+++⎟⎜⎟ ( x3 − x1 ) = 0,2 ⎝ x1x3 ⎠⎝ ρ1a1 ρ3a3 ⎠ 2(8)⎛ 11 ⎞ p3 − p2 ν − 1 ⎛ Fx−2 Fx−3 ⎞u3 − u2 − ⎜+++⎟⎜⎟ ( x3 − x2 ) = 0.2 ⎝ x2x3 ⎠⎝ ρ 2 a 2 ρ 3 a3 ⎠ 2m3 = m2 + kЕсли коэффициенты при приращениях и координата х 3 известны,то решение уравнений (8) определит u 3 и p 3 .
Наконец, известныеs 3 и p 3 и уравнения состояния позволяют найти ρ 3 и а 3 и, такимобразом, завершить определение всех параметров в точке 3.Коэффициенты при приращениях в уравнениях (6) – (8) считались известными, хотя слагаемые с индексом «3» в них неизвестны. По этой причине решение строится итерациями. В первой итерации вторые слагаемые заменяются известными первыми, вычисленными в точке 1 или 2. В следующих итерациях онивычисляются по параметрам в точке 3 из предыдущей итерации.Разностные уравнения (6) – (8) аппроксимируют исходные дифференциальные со вторым порядком относительно приращений.Квадратичная интерполяция по m 3 сохраняет второй порядокточности.
Теоретически второй порядок обеспечивают две итерации, но опыт расчётов оправдывает увеличение их числа до трёх.Описанная процедура определения новой точки применяетсядля всех последовательных пар точек 1 и 2 отрезка ab. В результате получается новый слой, содержащий на одну точку меньшеисходного. Если N – число точек на ab, то после расчёта N слоеввыстроится характеристический треугольник abc, боковые стороны которого ac и bc – отрезки С+- и С–-характеристик. Здесь идалее предполагается, что распределения параметров на ab, законы движения границ и т.п. обеспечивают безударное течение врассчитываемой области, в данном случае – в треугольнике abc.85Последнее, разумеется, не означает, что УВ не возникнут никогда. Более того, согласно результатам Гл. 2.7 в общем случае УВнепременно возникнут в С+- и С–-полосках, опирающихся на отрезок ab.
Здесь же речь идёт о безударности течения лишь в треугольнике abc, эквивалентном треугольнику abe рис. 2.13.При отсутствии УВ, приходящих извне на ac и bc, треугольник abc – область определённости отрезка ab в том смысле, чтотечение в нём полностью и единственным образом определяетсязаданными распределениями параметров на ab.
Справедливостьданного утверждения – результат мысленной реализации описанной процедуры МХ. Представление о погрешности вычисленийдаёт отличие от нуля интеграла по контуру abc от правой частиуравнения (1). Погрешность оценивается разностью значений m c ,полученных интегрированием по отрезкам С–-характеристик согласно (7) и аналогичным интегрированием по отрезку ac С+характеристики.Во второй задаче (рис.
2.17, б) заданы отрезок ac С–-характеристики, включая функции W(m), Γ(m) и S(m) при m c ≤ m ≤ m a , итраектория ab непроницаемого поршня, т.е. задание зависимостиот времени его координаты х = Х(t) и скорости U(t) = X′(t) ≡ dX/dt.Начнём со случая u a = U a = U(t a ), где u a – скорость газа в точке aхарактеристики ac. В отличие от отрезка ab предыдущей задачи uи р на отрезке ac С–-характеристики не могут задаваться произвольно. Они должны удовлетворять условиям (5–), которые поэтой причине и названы условиями совместности (УС).
Если такой отрезок – отрезок bc С–-характеристики предыдущей задачи,то с точностью до погрешностей конечно-разностной записи (8)УС выполняется. Если же на С–-характеристике задать W(m),Γ(m) и S(m) и, например, р = р(х), то u = u(х) определится интегрированием УС (5–) с учётом интегралов (4).Отличие второй задачи от первой только в расчёте точки натраектории поршня. Для определения её х 3 и t 3 используется первое уравнение (6) и уравнение траектории поршня, записанноедля ускорения сходимости итераций в форме86x3 = X (t3 ) =(9)X ′ + X 3′⎡⎤ X ′ + X 3′(t3 − t0 ) ⎥ + 0(t3 − t0 ).= X 0 + ⎢ X (t3 ) − X 0 − 022⎣⎦Здесь 0 – предыдущая точка траектории поршня (рис. 2.16, б), aX ′ = dX/dt.
Уравнение (9) вместе с первым уравнением (6) решается итерациями. В итерациях наряду с X 3′ в последнем слагаемом участвует квадратная скобка. В ней в первой итерации индекс «3» заменяется на «0», и скобка исчезает. На траекториипоршня m 3 = m a , функции в интегралах (4) равны W a , Γ a и S a , апо ним и найденному х 3 определяются s 3 = S a , w 3 = W a и v 3 =x31−ν Γ a .Вычислив по t 3 , найденному в данной итерации, u 3 = U(t 3 ) ипроинтегрировав по отрезку 1–3 первое уравнение (5+), получим⎛ 11 ⎞ p3 − p1 ν − 1 ⎛ Fx+1 Fx+3 ⎞+U 3 − u1 + ⎜++⎟⎜⎟ ( x3 − x1 ) = 0 (10)2 ⎝ x1x3 ⎠⎝ ρ1a1 ρ3a3 ⎠ 2– уравнение, определяющее р 3 . Наконец, по р 3 и s 3 из уравненийсостояния найдём ρ 3 и а 3 , чем и завершим данную итерацию.Выходящая из точки 3 С–-характеристика рассчитывается точказа точкой так же, как при решении задачи Коши.
Последняя точкаотрезка новой С–-характеристики принадлежит отрезку cb С+-характеристики. Число точек на каждом новом отрезке С–-характеристики на единицу меньше, чем на предыдущем. Единственнойточкой последнего отрезка будет точка b. Получившийся характеристический треугольник abc – область определённости отрезков траектории поршня (ab) и С–-характеристики (ac).Пусть теперь начальная скорость поршня U a > u a – скоростигаза в точке a отрезка ac С–-характеристики.
В таком случае точка a – фокус в общем случае неавтомодельного пучка волн разрежения. Для любых ν и неравномерностях параметров на ac течение в точке a описывается формулами центрированной простойволны с постоянными w и v . Справедливость данного утверждения – следствие любого из уравнений (5+), связывающих u, p и xна С+-характеристике, пересекающей пучок бесконечно близко кточке a.
При этом отношение суммарного изменения х к х a стремится к нулю, и увеличение скорости от u a до U a может компен87сировать только конечное изменение давления. По этой причинепри описании течения в точке a в уравнении (5+), как в течении сплоскими волнами, остаются лишь два первых слагаемых. Расчётсовпадающих по х ≡ x a и t ≡ t a точек пучка, лежащих на разных С–-характеристиках, можно вести и по формулам ЦПВ Гл.
2.3, и попервому уравнению (8) без слагаемого с (х 3 – х 1 ). При расчётеновых С–-характеристик пучка волн разрежения (рис. 2.17, в)число точек на них не изменяется.Объединение трёх рассмотренных задач приводит к задаче(рис. 2.17, г) о выдвижении поршня, причём в отличие от Гл. 2.3без ограничений на симметрию задачи и однородность начального газа. Однако и теперь из описанных выше схем решения принепрерывности параметров следует разрывность их первых производных на отрезках ad и ae С–-характеристик, ограничивающихпучок волн разрежения с фокусом в точке a.
Действительно, прирасчёте МХ течения в пучке волн разрежения (рис. 2.17, в) используются полученные в задаче Коши (рис. 2.17, а) параметрына начальной С–-характеристике пучка ad без привлечения какойлибо информации о выводящих производных. Аналогично расчётМХ на рис. 2.17, б не использует информации о выводящих производных на замыкающей характеристике пучка ae.Третья задача, решаемая МХ – задача Гурса, в которой строится течение между отрезками ab и ac С+- и С–-характеристик.Отрезки ab и ac расположены либо по разные стороны от проходящей через точку a ТЧ (рис.
2.17, д), либо по одну сторону отнеё (рис. 2.17, е). На рис. 2.17, д переменная m монотонно растётпри движении от точки c к a и далее к b. На рис. 2.17, е – черезотрезки ac и ab проходят одни и те же ТЧ. Поэтому на этих отрезках функции W(m), Γ(m) и S(m) должны совпадать. В обоихслучаях определение параметров в каждой новой точке 3 независимо от расположения точек 1 и 2 ведётся так же и по тем жеформулам, что и в задаче Коши. В результате в случае рис. 2.17, дтечение рассчитывается в характеристическом четырёхугольникеabdc – области определённости выходящих их точки a отрезковхарактеристик ab и ac.В случае рис.
2.17, е функции W(m), Γ(m) и S(m) обычно определены лишь при m a ≤ m ≤ m b . Для них течение можно постро88ить только в треугольнике abc, одна сторона которого bc – отрезок ТЧ (дан штрихами). Можно показать, что форма отрезка bc итечение в abc не зависят от того, как W(m), Γ(m) и S(m) заданыпри m > m b . При построении течения слева от bc Эти функции заm = m b удобно продолжить гладко, а счёт вести до таких новыхточек, в которых впервые m 3 > m b . Затем координаты х и t точкиТЧ и параметры в ней находятся квадратичной интерполяцией наm = m b по точкам характеристики одного семейства.Если одна из точек 1 или 3 лежит на оси или в центре симметрии (далее – ЦС), где одновременно равны нулю х, u и v , а,следовательно, и F+ или F–, то в УС (5±) появляется неопределённость F+/х или F–/х. Чтобы избавиться от них, умножив УС на х,получимdpau ± (3 - n)v 2,(11±)xdu ± x + ( n - 1) F ± dx = 0, F ± =raa± uгде, как и ранее, знак «+» («–») отвечает С+(С–)-характеристике.Пусть на оси (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
