А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2.11 сжатии, начинающемся в сильнойидущей к оси или к центру симметрии (далее – к ЦС) УВ, t f << t 0 ,и в принципе возможны сколь угодно высокие Т f , однако не достигаются необходимые для инерционного термоядерного синтеза109степени сжатия с = (0.3÷4)⋅103. Далее сжатие называется быстрым и сильным (А.Н. Крайко, 2005 [23, 24]), если за время t f <<t 0 оно позволяет получить требуемые для реализации инерционного термоядерного синтеза Т f /Т i и ρ f /ρ i .Согласно определению, быстрое сильное сжатие должно начинаться сильной УВ, движущейся к ЦС.
При её приближении кЦС такое течение описывается автомодельным решением задачиГудерлея (ЗГ, Гл. 2.11) с неограниченным в ЦС ростом температуры T и конечным увеличением плотности ρ и за приходящей(IS), и за отраженной (RS) УВ. Для обеспечения сколь угоднобольшого роста ρ к особой С–-характеристике ЗГ С 0 –, догоняющей УВ в момент её прихода в ЦС, нужно пристроить центрированную волну сжатия (ЦВС) с фокусом в ЦС. Вне малой окрестности фокуса ЦВС и реализующую её траекторию поршня можнорассчитать методом характеристик.
Однако, как и для любой ЦВ,такой расчёт ведётся от ЦС. Поскольку в ЦС часть параметров(заведомо, Т, давление р и скорость u) неограниченна, то расчётуметодом характеристик необходимо предпослать построениеаналитического решения, справедливого в окрестности ЦС. Вплоском случае это решение элементарно, а отвечающая ему xtдиаграмма приведёна на рис. 2.24, а.
Увеличивая начальную скорость поршня, можно получить сколь угодно малое время сжатияпри близком к (γ + 1)/(γ – 1) отношении плотностей на УВ, асколь угодно большую ρ обеспечит ЦВС i 1 0i 2 , догоняющая УВ вмомент её отражения от плоскости симметрии х = 0.а)tRS0б)tв)tRSRSfxi2x0C0−i1ISC0−η = constiISτ=–tРис. 2.24110x00τ=–tЦВСISНиже вместо времени t, отсчитываемого от момента приходаУВ IS и характеристики С 0 – в ЦС, взято τ = – t, а чтобы уравнениятечения при замене t на τ не изменились, под u понимается скорость со знаком «минус». Фокусировке С–-характеристик в ЦС(х = τ = 0) за УВ IS при ν = 2 и 3 отвечает хt-диаграммарис.
2.24, б. При выяснении структуры течения вблизи ЦС учтем,что поток за УВ IS и на приходящей в ЦС характеристике С 0 – неизэнтропический с известной энтропийной функцией р/ργ = χ(m).Постоянная на траекториях частиц лагранжева переменная mвведена равенством (2.1.8) с нормирующим множителем k = 1:dm = x ν−1ρ( dx − ud τ) = ρdz − ( νz )( ν−1) / ν ρud τ, z = x ν / ν.(1)––Равенства (2.2.7 ), получающиеся отсюда для С -характеристик(с –u вместо u), запишутся в формеρadzdm = ( νz )( ν−1) / ν ρad τ =.(1–)a+uНа характеристике С 0 –, совпадающей с линией постоянстваавтомодельной переменной ЗГ ξ = х/(cτn) = ξ 0 , согласно формулам (2.11.2) (во избежание недоразумений в дальнейшем функциям A(ξ) и U(ξ) Гл.
2.11 приписан «градус») и равенствам (1) имеемxxxa = n Ao ( ξ0 ), u = n U o ( ξ0 ) = n μAo ( ξ0 ) ,τττρ = ρ0 R( ξ0 ), z = (1 + μ)m .Постоянная μ и показатель степени n < 1 собраны в табл. 2.1, аτ = x1/n/(cξ 0 )1/n, и поэтому x/τ = (cξ 0 )1/n/x(1 – n)/n. Следовательно, х ∼∼ m1/ν, и при соответствующем выборе масштабов предыдущиеформулы сведутся кpρa 2 m 2 αn −1.(2)a = m α , u = μm α , ρ = 1, γ = p ==, z = (1 + μ)m, α =γγνnρТак как n < 1, то α < 0, и при m → 0 плотность постоянна, а a, u ир неограниченно растут.
Из равенств (2), формулы а2 = γр/ρ и условия сохранения р/ργ как функции m найдём, что в ЦВС1111αγ −1.(3)ρ = a1/ κ m ω , p = a γ / κ m ω , ω = − , κ =γκ2Если из уравнений неразрывности и движения (2.2.1 ν ) и(2.2.2 ν ) (для ν = 2 – без закрутки) с помощью выражений (3) исключить ρ и р, то они запишутся в форме∂u∂a α ν−1 2daudu+ κa + κ ( ν − 1)a = 0, κ+a −x ρa = 0. (4)∂x∂x γmdτxdτФормулы (3) предопределяют использование m в качествеодной из независимых переменных. В качестве второй возьмемпостоянную на каждой С–-характеристике пучка (рис.
2.24, б) характеристическую переменную η. При переходе от х и τ к m и ηучтем, что в силу определения η равенства (1–) принимают вид:zm =a+u1,, τ m=ρa( νz )( ν−1) / ν ρa(5)где индексы m и η означают дифференцирование по этим переменным. В силу этих выражений равенство (1) станетdτ =ρ( zm dm + zηd η) − dm udm + ρazηd ηρdz − dm,==( ν−1) / ν( νz )( νz )( ν−1) / ν ρu( νz )( ν−1) / ν ρauρu(6)для любой функции ϕ(m,η) или ϕ(x,τ) в силу формул (5) и (6)uϕηρazηϕm − uϕη d ϕ ∂ϕ∂ϕ∂ϕ,,= ( νz )( ν−1) / ν=+u= ( νz )( ν−1) / νazηd τ ∂τzη∂x∂xа в переменных m и η уравнения (4) заменятся наaαa ν − 1αρa 2um + m −+u = 0, ρazηam + ( κuη − aη )u −zη = 0. (7)κ γκm νzργmВыполняющееся на С–-характеристиках первое уравнение этойсистемы – результат сложения записанных в переменных m и ηуравнений (4).В ЗГ а и u на характеристике С 0 – при m → 0 растут неограниченно.
С учётом этого в ЦВС z, a и u представим в форме (функции A(η) и U(η) отличны от A(ξ) и U(ξ) Гл. 2.11):z = (1 + μ)m + ϕ( m) Z ( η), a = m α + ψ( m) A( η), u = μm α + ψ( m )U ( η) , (8)где первые слагаемые, совпадающие с распределениями (2) нахарактеристике С 0 –, при m → 0 много больше вторых, т.е.112(1 + μ )m >> ϕ( m ) Z ( η), m α >> ψ( m ) A( η), μm α >> ψ( m)U ( η) . (9)В силу этого и формул (8) выражение для плотности (первое равенство (3)) в малой окрестности ЦС примет видψA.(10)ρ = 1+κm αПодстановка выражений (8) в первое уравнение (5) при учётесоотношений (9), (10) и того, что главные слагаемые в равенствах(8) удовлетворяют тому же уравнению, дастψκU − [1 + (1 + κ )μ] AZ = α Ω = c0Ω, Ω =; ψ = c0m αϕ& (11)κm ϕ&с неизвестной постоянной с 0 . Эти равенства – следствия того, чтоZ, A, U и Ω – функции η, а ψ и ϕ – функции m.
Здесь и далее точка означает производные по m, а штрих – по η.Аналогично из первого уравнения (7) после исключения Zс помощью уравнения (11) получим& c2κωκ( ν − 1)μ ⎛ U Ω A ⎞ϕ& c1 ψ( κU + A)c2 +A+= ,= . (12)⎜ − − ⎟ = 0,γν(μ + 1) ⎝ μ c1 κ ⎠ϕ m ψ mПроинтегрировав второе и третье из этих уравнений, найдёмϕ = Cϕ m c1 , ψ = Cψ m c2 = Cϕ c0c1m α−1+ c1 ,а приравняв, в согласии с определением функций ϕ и ψ, входящие сюда постоянные С ϕ и С ψ единице, получимϕ = m1+Δ , ψ = m α+Δ , Δ = c1 − 1, c0 = 1/ c1 , c2 = α + c1 − 1 .
(13)Левая часть первого уравнения (12) – линейная однороднаяфункция A и U с постоянными коэффициентами. Поэтому дляпредставляющих интерес, не равных тождественно нулю функций A(η) и U(η) имеемU ( η) = kA( η)(14)с подлежащей, как и с 1 , определению постоянной k. При учётеравенства (14) и выражения для с 2 (последнее равенство (13))первое уравнение (12), связывающее искомые постоянные, запишем в форме(1 + κk )(α − 1 + c1 )c1 +κων − 1 ⎡ κk − μ1 + μ + κμ − κk ⎤c1 +c1 + μ⎢⎥ = 0 .
(15)γμ +1⎣ νν(μ + 1)⎦113Второе уравнение для определения с 1 и k – результат подстановки выражений (8) во второе уравнение (7). Выразив в нём спомощью первого уравнения (11) и равенства (14) U′ и Z′ черезA′, получим{2(1 − n )[(1 + κ )μ + 1 − κk ] + ( κk − 1) νn γc1μ} A′ = 0 .При неравной тождественно нулю производной A ′ равен нулюмножитель при ней. Откуда(1 + κ )μ + 1 − κkc1 = 2(1 − n ).(16)(1 − κk ) νn γμПри с 1 ≡ с 1,0 = 0 уравнения (15) и (16) совпадают и дают(1 + κ )μ + 1k = k0 =.(17)κТаким образом, с 1,0 = 0 и k 0 – одно из решений этой системы,причём k 0 – один из корней кубического уравнения, которое получается после исключения с 1 из уравнений (15) и (16). Знаниекорня (17) сводит кубическое уравнение к квадратномуk 2 − 2b1k + b2 = 0, b1,2 = b1,2 ( ν, γ , κ, n, μ) = b1,2 ( ν, γ )(18)с известными выражениями для коэффициентов b 1 и b 2 .
Но согласно Гл. 2.11 n и μ – функции ν и γ. Следовательно, b 1 , b 2 икорни k 1 и k 2 уравнения (18) – функции ν и γ.ν γ2323235/35/37/57/56/56/5Т а б л и ц а 2.2Константы в задаче быстрого сильного сжатия–k=– Cz – CτΔ = Δ 1 10–3νΔ k 2– α k0k1Δ20.113 8.21 2.40 0.00437 0.941 0.26 0.70 2.51 2.720.151 8.13 2.16 0.00481 0.905 0.24 0.60 2.60 2.240.099 16.3 4.10 0.01103 0.859 1.04 0.71 4.19 3.840.132 16.3 3.77 0.01401 0.748 1.06 0.62 4.29 3.050.081 42.7 8.48 0.01761 0.784 3.51 0.73 8.47 6.570.107 43.2 7.97 0.02374 0.784 3.55 0.64 8.56 5.02Корни k 1 и k 2 уравнения (18) вместе с k 0 , отвечающие им согласно равенству (16) значения с 1,1 и с 1,2 и величины Δ 1 = с 1,1 – 1и Δ 2 = с 1,2 – 1 (с 1,0 = 0 для всех ν и γ и, следовательно, Δ 0 = –1) и114показатель степени α представлены в табл. 2.2.
Согласно приведённым данным и формулам (13) для функций ϕ и ψ неравенства(9) выполняются только при положительных Δ, т.е. при Δ = Δ 1 .Ниже Δ 1 , μ 1 и k 1 пишутся без индекса.Во всех случаях Δ << 1. В табл. 2.2 приведены величины10 –3νΔ, характеризующие малость показателя Δ. Если на С 0 – m = 1при x = 1, то m = 10 –3ν при x = 10 –3. Поэтому величины 10 –3νΔ показывают, что даже на столь малых расстояниях от ЦС добавки,равные нулю в ЦС, – величины порядка единицы.В качестве характеристической переменной возьмем функцию А, положив η = А(η). По определению, величина η, как ифункция А(η), равна нулю на начальной С–-характеристике пучкаволн сжатия (на особой С–-характеристике ЗГ) и растёт с удалением от неё.
В итоге в малой окрестности ЦС будем иметьκk − 1 − μ − κμ,z = (μ + 1)m(1 + C z ηm Δ ), C z =κ (μ + 1)(1 + Δ )a = m α (1 + ηm Δ ), u = m α (μ + k ηm Δ ), η ≥ 0.Представление для τ, получающееся из второго уравнения (6),имеет видν1/ ν n(1 − Cτηm Δ ) 1/( νn )ν + κν + κ( ν − 1)C z.τ=m, Cτ =( ν−1) / ννκ(1 + νnΔ )(μ + 1)Коэффициенты C z и C τ – функции ν и γ также даны в табл.
2.2.Найденное решение и метод характеристик с последовательным расчётом отвечающих возрастающим значениям η С–характеристик позволяют построить течение до любой фиксированной траектории частиц – линии m = const, например, до m = 1.Её можно принять за искомую траекторию поршня.Полученные в результате расчётов двух вариантов С–-характеристики и траектории поршня представлены на рис. 2.25 дляν = 3 при γ = 5/3 (а) и γ = 6/5 (б).
На ней координата х и время tотнесены к х р и τ р , где р – точка пересечения траектории поршня(верхней кривой) с С 0 –-характеристикой (нижней кривой). В этихпримерах вдоль траектории поршня 1 ≤ ρ ≤ 104.115Зависимости ρ от τ°, где τ° = τ/τ р , на поршня, полученные дляшести представленных в табл. 2.2 вариантов, даны в логарифмическом масштабе на рис. 2.25, в. Так как ρ = 1 на С 0 –-характеристике, то близкие к прямым кривые 1–6 (их номера – номерастрок табл. 2.2) на рис. 2.25, в выходят из начала координат. Умножение величин ρ, представленных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
