А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(3)Rs =( γ + 1)2γ −1γ +1γ +1Независимость полученных условий от множителя n – следствиеего включения в формулы (2).Обыкновенные дифференциальные уравнения для определения U, A, … получаются подстановкой представлений (2) в уравнения (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.5). Эти уравнения c учётом сохраненияэнтропии вдоль траекторий частиц и выражения для удельнойэнтальпии: h = а2/(γ – 1) перепишем в форме1 dp ⎛ ∂u ν − 1 ⎞ 2du 1 ∂pda 2 γ − 1 dpu ⎟ a = 0,+⎜ ++= 0,−=0.ρ dt ⎝ ∂xx ⎠dt ρ ∂xdtρ dtПри подстановке в них представлений (2) учтем, что (U′ = dU/dξ)∂U ( ξ, γ , ν, n )∂ξξ∂U (ξ, γ , ν, n )∂ξ ξ= U ′ = −n U ′,= U′ = U′t∂t∂t∂x∂x xи аналогично для A, P = A2R/γ и R. Проведя необходимые выкладки, получим систему трёх уравнений:n(U − 1)ξB′ + n( γ − 1) BξU ′ + νn( γ − 1) BU + 2( nU −1) B = 0,(4)nξB′ + nγ (U − 1)ξU ′ + nBξ(ln R )′ + γ ( nU − 1)U + 2nB = 0,ξU ′ + (U − 1)ξ(ln R )′ + νU = 0или после разрешения относительно производныхdUfdBBf 2d ln Rf3f 0ξ= 1 , f 0ξ=, f 0ξ=, (5)d ξ nγd ξ nγ (U − 1)dξnγ (1 − U )95f 0 = f 0 ( B,U ) = (U − 1) 2 − B, f1 = f1 ( B,U , γ , ν, n ) == ( nνγU + 2n − 2) B + γU (U − 1)(1 − nU ), f 2 = f 2 ( B,U ,...) == γ[2(1 − nU ) − nν( γ − 1)U ] f 0 ( B,U ) − ( γ − 1) f1 ( B,U ,...),f 3 = f 3 ( B,U ,...) = nγνUf 0 ( B,U ) + f1 ( B,U ,...).В функции f k не входит R.
Поэтому два первых уравнения системы (5) интегрируются независимо от третьего. Наконец, уравнения (5) не изменяются при замене ξ на kξ с произвольной константой k. Благодаря этому можно считать, что на УВ ξ s = 1.Согласно первым двум уравнениям системы (5)dBBf 2 ( B,U , γ , ν, n )=.(6)dU (U − 1) f1 ( B,U , γ , ν, n )В рассматриваемой модели энергия Е при t = 0 мгновенновыделяется в точке (в начале координат). В результате в тот жемомент Т, р, s и энтропийная функция р/ργ становятся бесконечными. Энтропия s и р/ργ сохраняются в частице, а следовательнои в центре взрыва (при х = 0 или, что то же – на оси t), где в силусимметрии скорость газа u = 0.
Поэтому в приближении нетеплопроводного газа р/ργ бесконечно и при t > 0. Напротив из-за разлёта газа давление мгновенно становится конечным. Следовательно, разлёт должен обеспечивать падение до нуля плотности.В результате при х = 0 температура Т = р/ρ и скорость звука а == (γр/ρ)1/2 бесконечны и при t > 0.На оси t, где ξ = 0, u = 0, а скорость звука а = ∞. Так как x/t == ξc/t(1 – n), то этим условиям удовлетворяют U(0) ≡ U 0 < ∞ иB(0) = ∞.
В переменных U, δ = 1/B уравнение (6) принимает вид⎫dδδ ⎧ γ[1 − δ(U − 1) 2 ][2(1 − nU ) + νn( γ − 1)U ]=+ γ − 1⎬ .⎨dU U − 1 ⎩ νnγU − 2(1 − n) − γU (U − 1)(nU − 1)δ⎭(7)При любых 0 < n < 1 отвечающие δ = 0 особые точки этого уравнения – узел: U = 1, δ = 0 и седло:U 0 = 2(1 − n ) /( νγn ), δ0 ≡ 1/ B0 = 0 ,(8)а одна из их сепаратрисс – ось U (δ = 0). Другая сепаратриссаседла при n = 2/(ν + 2), когда U 0 = 1/γ, приходит в точку (3) плоскости UB (или Uδ) и даёт решение задачи. Последнее установилЛ.И. Седов (1946), который первым решил эту задачу.96Ключевой элемент решения Л.И.
Седова – «интеграл энергии», наиболее просто получаемый из записанного для рассматриваемых одномерных течений уравнения энергии (1.7.3):∂{x ν−1ρ(2e + u 2 )} ∂{x ν−1ρu(2h + u 2 )}+=0.(9)∂t∂xДля совершенного газа после подстановки представлений (2) оносводится к обыкновенному дифференциальному уравнению2 R[2 B + γ ( γ − 1)U 2 ] + nξ{R[2 B + γ ( γ − 1)U 2 ]}′ −− nγ ( ν + 2) RU [2 B + ( γ − 1)U 2 ] − nγξ{RU [2 B + ( γ − 1)U 2 ]}′ = 0,которое при n = 2/(ν + 2) принимает вид{ξν+ 2 R[2 B + γ ( γ − 1)U 2 ] − γξν+ 2 RU [2 B + ( γ − 1)U 2 ]}′ = 0и приводит к интегралу (С – константа интегрирования)ξν+ 2 R{2 B + γ ( γ − 1)U 2 − γU [2 B + ( γ − 1)U 2 ]} = C .При определённых формулами (3) значениях U s и B s за УВ (приконечном ξ s ) его левая часть равна нулю, обращая в нуль константу интегрирования С = 0.
Следовательно, выражение в фигурной скобке равно нулю при всех 0 ≤ ξ ≤ ξ s . Отсюдаγ ( γ − 1)U 2 (1 − U )B=.(10)2( γU − 1)Как и утверждалось выше, определяемая этим решением интегральная кривая, начинаясь в точке (3), приходит в седло с координатами: U = 1/γ, δ = 1/B = 0. Уравнением энергии в форме (9)можно заменить любое из уравнений, использованных при получении системы (5) и её следствия уравнения (6). Поэтому решение (10) заведомо удовлетворяет этому уравнению, в чём можноубедиться и непосредственной подстановкой.Позднее задачу о сильном взрыве численным интегрированием системы (5) от ξ s = 1 с начальными условиями (3) до ξ = 0 решил Дж. Тейлор (1950).
При интегрировании этой системы нипри каком ξ функция f 0 = (U – 1)2 – B с B = A2 не должна обратиться в ноль. В рассматриваемой задаче этого не происходит.Действительно, пусть (U – 1)2 – A2 = 0 при некотором ξ = ξ 0 , т.е.97на линии x = ξ 0 ct. Как следствие на ней выполняется одно из равенств: 1 = U ± A. Но в плоскости xt вдоль той же линииdxx= nξ0ct n −1 = n .dttС учётом предыдущих равенств и определений (2) это означает,что dx / dt = u ± a , и данная линия – С+- или С–-характеристика.Как отмечалось выше, на оси t при нулевой скорости скоростьзвука бесконечна.
Значит, характеристики обоих семейств нормальны к этой оси, что отражено на рис. 2.19. На нём С+- и С–характеристики – штриховые линии, отличные от выходящих изначала координат кривых ξ = const.ϕ/ϕs1u/usp/psρ/ρs01–ε1x/xsРис. 2.20Типичные распределения скорости, плотности и давления,получающиеся в результате решения, проиведёны на рис. 2.20.Одна из его особенностей – сосредоточение практически всегогаза в тонком слое, примыкающем к УВ. Его относительная толщина имеет порядок ε = (γ – 1)/(γ + 1) – малого параметра, широко используемого в газовой динамике. Вне этого слоя величина ρблизка к нулю, из уравнения движения др/дх = – ρdu/dt ≈ 0, и давление практически постоянно.Отметим два следствия упрощений, лежащих в основе полученного решения. Бесконечные значения температуры, скоростизвука, давления и энтропии при t = 0 – следствие пренебреженияразмером и массой взрывающегося устройства.
Даже при этомбесконечные значения энтропии, температуры и скорости звука98при t > 0 возможны только для нетеплопроводного газа. Вне малой окрестности начала координат (эпицентра взрыва) построенное решение справедливо лишь пока УВ остаётся сильной, т.е. еёчисло Маха М D = D/a 0 таково, что M 2D >> 2/(γ – 1).Скорость УВ D = dx s /dt = nξ s ct(n – 1) – убывающая функция t,ибо n < 1.
Входящее в выражения D значение ξ s отлично от использованной выше величины ξ s = 1. Для его вычисления воспользуемся тем, что в приближении сильной УВ энтальпия покоящегося газа h 0 = 0, и при t > 0 энергия газа, ограниченного УВ,равна Е. С учётом интеграла (10) это даст (ξ° = ξ/ξ s )xs ( t )E=xs ( t )⎛u2 ⎞x ρ ⎜ e + ⎟ dx =2⎠⎝∫∫ν−10xs ( t )∫= ρ002U 2 ( ξ) ⎤⎛ x ⎞ ⎡ B ( ξ)x ν−1 R ( ξ) ⎜ n ⎟ ⎢dx =+2 ⎥⎦⎝ t ⎠ ⎣ γ ( γ − 1)ρ c 2 +ν= n 2 −0n (2 +ν )t20⎡ a2u2 ⎤+ ⎥ dx =x ν−1ρ ⎢⎣ γ ( γ − 1) 2 ⎦ξs⎡ B ( ξ)U 2 ( ξ) ⎤ξ1+ν R ( ξ) ⎢+dξ =2 ⎥⎦⎣ γ ( γ − 1)0∫2( γ − 1) E ξ2s +ν=(2 + ν) 21∫0R ( ξo )U 3 ( ξo ) o1+ν oξ dξ .γU ( ξo ) − 1В выполненных преобразованиях использованы формулы для c иn, выражение х = ξctn, и интеграл (9).
В последнем интеграле ξ° == ξ/ξ s . Следовательно, значение ξ s определится формулойξ− (2 +ν )s− (2 +ν )= [ξs ( γ, ν)]2( γ − 1)=(2 + ν) 21∫0R ( ξo )U 3 ( ξo ) o1+ν oξ dξ ,γU ( ξo ) − 1а с учётом формул для c и n зависимость от времени числа МахаУВ примет вид1/(2 +ν )D2ξ s ( γ , ν) ⎛ E ⎞MD ==⎜ ⎟a0 ( 2 + ν)a0t ν /(2+ν ) ⎝ ρ0 ⎠.Глава 2.11. Задача об отражении ударной волны от оси99или центра симметрии (задача Гудерлея)Сокращения: ЗГ – задача Гудерлея, УВ – ударная волна, ЦС –центр симметрии.Задача об отражении ударной волны (УВ) от оси или центрасимметрии (далее – центра симметрии – ЦС) решена К. Гудерлеем (K.G. Guderley) в 1942 г. В середине ХХ века она оказаласьодним из ключевых теоретических элементов при создании ядерного оружия, а в наше время – управляемого инерционного термоядерного синтеза.Рис.
2.21В основе рассматриваемой задачи (задачи Гудерлея – ЗГ) лежит физически естественное предположение о неограниченномросте интенсивности УВ, движущейся к центру (при ν = 3) или коси (ν = 2) симметрии. Одно из обоснований этого предположе100ния – неограниченный рост при ν = 2 и 3 интенсивностей разрывов в акустическом приближении. Если УВ сильная, то, как и взадаче о сильном взрыве, из параметров газа, покоящегося передУВ, движущейся к ЦС, важна только его плотность ρ 0 .Возьмем за начало отсчёта времени (рис. 2.21) момент прихода УВ в ЦС, введём τ = | t |, u = v signt и переменную ξ:x(1)ξ= ncτс пока неопределённым показателем автомодельности n иконстантой с. В результате скорость u потока, движущегося заУВ IS к ЦС, как и скорость УВ D = dx s /dτ, станет положительной.Примем, что для u, a, ρ и p вблизи ЦС справедливы разложения(как и ранее, U, … – функции ξ и постоянных γ, ν, n)∞∞x⎡x⎡⎤⎤u = n ⎢U ( ξ) + ∑ x αk U k ( ξ) ⎥ , a = n ⎢ A( ξ) + ∑ xβk Ak ( ξ) ⎥ ,τ⎣τ⎣k =1k =1⎦⎦2∞∞⎡⎤⎤⎛ x⎞ ⎡ρ = ρ0 ⎢ R ( ξ) + ∑ x δk Rk ( ξ) ⎥ , p = ρ0 ⎜ n ⎟ ⎢ P ( ξ) + ∑ x γ k Pk ( ξ) ⎥τ⎝⎠ ⎣k =1k =1⎣⎦⎦с положительными, растущими с увеличением номера k показателями степени α k , β k , δ k и γ k .
Тогда в главных порядках аналогично задаче о сильном взрыве будем иметь2xx⎛ x⎞u = n U ( ξ), a = n A( ξ), ρ = ρ0 R ( ξ), p = ρ0 ⎜ n ⎟ P ( ξ) , (2)ττ⎝ τ⎠причём входящие сюда функции U, … удовлетворяют условиям(2.10.3) на приходящей УВ IS и дифференциальным уравнениям(2.10.4) – (2.10.6) между IS и отраженной УВ RS и между RS иЦС – осью времени t. На рис. 2.21 даны траектории УВ IS и RS иособая С–-характеристика С 0 –, приходящая в ЦС одновременно сУВ IS, а штрихами – одна из траекторий частиц.
Как и в Гл. 2.10,оси координат – линии постоянства ξ. На оси абсцисс ξ = ∞, а наоси ординат ξ = 0.Как и в задаче о сильном взрыве, в ЗГ n < 1. Действительно,по тем же соображениям, что и в Гл. 2.10, траектории УВ IS и RS– линии постоянства ξ. Чтобы скорость D I УВ IS в ЦС была бесконечной, касательная к ней должна быть горизонтальной. В силу101(1) это возможно лишь при n < 1, причём скорость D R УВ RSтакже бесконечна. Несмотря на это, она, как показано ниже, небудет сильной даже в ЦС, ибо в ЦС скорость звука а R– перед УВRS также бесконечна, и М DR = D R /а R– не удовлетворяет неравенству (1.4.28).RRRабРис. 2.22Ключевая роль в определении показателя n принадлежит анализу в плоскости UB интегральных кривых уравнения (2.10.6):dBBf 2 ( B,U , γ , ν, n )=.(3)dU (U − 1) f1 ( B,U , γ, ν, n )Согласно условиям (2.10.3), интегральная кривая этого уравнения, дающая решение ЗГ, начинается в точке IS (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
