А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Зависящие от х и t малые возмущения параметров относительно некоторого постоянного фона будем обозначать маленькими буквами, а постоянные параметры фона – идентичными(или похожими) большими. В результате такого соглашения А + а– скорость звука, R +ρ – плотность, U + u – х-компонента скорости, P + p – давление и т.п., причём все возмущения, кроме u, ма71лы (по модулю) в сравнении с соответствующей большой величиной. Для возмущения u сделано исключение: |u| << А, ибо дляплоского течения можно перейти в такую движущуюся с постоянной скоростью в направлении оси х систему, что в ней U = 0.Пусть такой переход сделан, U = 0, и с точностью до линейныхслагаемых включительно для любого параметра Ф + ϕ(х,t):d ( Φ + ϕ) ∂ ( Φ + ϕ)∂ (Φ + ϕ) ∂ϕ∂ϕ ∂ϕ. (1)=+ (U + u )=+ (U + u )≈dt∂t∂x∂t∂x ∂tС учётом (1) уравнение сохранения энтропии в частице и эквивалентные ему уравнения (2.2.1 s ) станут∂s∂ ( Rh − p )∂ ( A2ρ − p )= 0,= 0,=0.∂t∂t∂tСогласно им в линейном приближении имеют место интегралыs = s1 , Rh − p = s2 , A2ρ − p = s3 , sk = sk ( x − Ut ) = sk ( x ), k = 1 − 3 , (2)Функции s 1 – s 3 определяются начальными условиями; s 2 и s 3пропорциональны s 1 .
Пропорциональные [p]3 приращения энтропии в слабых УВ лежат за пределами линейного приближения.Аналогично линеаризация уравнений (2.2.11), справедливыхна С+- и С–-характеристиках, даёт уравненияd +i +d −i −p d± ∂∂,= 0,= 0, i ± = u ±= + (U ± A) =dtdtRA dt ∂t∂x(3)±d x∂∂= ±A ,= U ± A = ± A.dt∂t∂xСогласно им в линейном приближении введение инвариантов i+ иi– не требует изэнтропичности течения. Решение уравнений (3)приводит к интеграламi ± = i ± {x − (U ± A)t} = i ± ( x m At ) .(4)0Интегралы (2) и (4) сохраняются на линеаризованных С -характеристиках (траекториях частиц) и на линеаризованных С±-характеристиках (правых и левых звуковых волнах), которые назовём бегущими (БВ). БВ, для которых справедливы интегралы (2),назовём энтропийными БВ, а БВ, для которых справедливы интегралы (4), – звуковыми БВ (или акустическими БВ).72–tC0ai ≠0−i+ = 0 C bs=0d−CaC0bs≠0i+ = 0i– = 0Ca+fi+ ≠ 0i =0s=0–Cb+exabРис.
2.13В системе координат, в которой U = 0, рис. 2.13 демонстрирует развитие течения, вызванного наличием возмущений всех параметров только на отрезке ab оси х. По параметрам на ab находятся комбинации возмущений в левых частях интегралов (2) и(4) и определяются функции s k (x), i+(x) и i–(x) в их правых частях.При х < x a и x > x b все они равны нулю. Так, s k (x) = 0 вне С0полоски x a < х < x b , t > 0. Её границы – характеристики C0a и C0b :х = х a и х = х b .
При t > 0 функция i+ = 0 вне С+-полоски, ограниченной характеристиками Ca+ и Cb+ , а i – = 0 при t > 0 вне С–полоски, ограниченной характеристиками Ca− и Cb− .Согласно определениям (2) и (3)i+ + i−i+ − i−2 s + (i + − i − ) RAu=, p=RA, ρ = 3.(5)222 A2Поэтому u = p = ρ = 0, т.е. течение не возмущено в четырёх областях: справа от характеристики Cb+ , слева от характеристикиCa− , и в двух секторах, один из которых ограничен характеристиками C0b и Ca+ , а второй – характеристиками Cb− и C0a .Согласно сказанному выше и формулам (5) в вертикальнойC0-полоске выше ломаной def u = p = 0, а возмущены только отличные от давления термодинамические параметры.
В идущейвправо C+-полоске cправа от bf плотность ρ, а начиная от отрезка73be, u и p пропорциональны инварианту i+, «профиль» которого неизменяется (рис. 2.14), начиная от основания C+-полоски на оси х.Аналогичная ситуация с заменой i+ на i –, bf на ad и be на ae реализуется в идущей влево C–-полоске левее отрезка ad.ti+abxРис.
2.14Зона интерференции БВ – пятиугольник abfeda. В треугольниках bfe и aed интерференция энтропийной и одной из звуковыхБВ, не влияя на распределения s, u и p в них, сказывается толькона распределения отличных от s и р термодинамических параметров.
Сложнее течение в треугольнике abe, где интерферируюттри БВ. Однако и здесь интегралы (2) и (4) и формулы (5) позволяют найти все параметры потока.Функции s k (x) и i±(x), определяющие распределения параметров в БВ, могут быть негладкими, как на рис. 2.14, и разрывными.Разрывам s k (x) отвечают КР, а разрывам i± (x) – слабые УВ. В линейном приближении допускаются УВ и уплотнения, и разрежения. УВ разрежения заменяют ЦВР. Это естественно, ибо в линейном приближении в плоскости xt наклон одноимённых характеристик одинаков. Согласно формуле (1.4.14) скорость УВ относительно газа с уменьшением её интенсивности [p] стремится кскорости звука.
При [p] = 0 УВ вырождается в характеристику.Одно из применений результатов линейного приближения –исследование важного свойства поверхностей разрыва, получившего название неэволюционности. Тривиальный пример неэволюционного разрыва – произвольный разрыв. При его распадемгновенно вместо единственной, заданной произвольно поверхности разрыва возникает одна из структур, изображённых на рис.742.10. Это происходит не постепенно (эволюционно), а сразу и характеризуется термином неэволюционность. Понятия неэволюционности и неустойчивости (течения, поверхности разрыва ит.п.) не эквивалентны. Действительно, течение неустойчиво и тогда, когда разрушающие его возмущения растут плавно. Неэволюционность произвольного разрыва – естественное следствиетого, что на нём не выполняются законы сохранения.
Другое дело, поверхности разрыва, которые им удовлетворяют. Однако,как показано ниже, и они могут оказаться неэволюционными.Пусть на поверхности разрыва, которая при отсутствии возмущений покоится в выбранной системе координат (D = 0), выполняются законы сохранения (1.3.20), (1.3.30) и (1.3.50). Они выполняются и в невозмущённом состоянии, т.е.
для параметров,обозначенных большими буквами (U 1, 2 , P 1, 2 , R 1, 2 ), и при наличиивозмущений u 1, 2 , p 1, 2 , ρ 1, 2 – слева и справа от неё (через разрывгаз течёт слева направо). Согласно формулам (5) возмущения –линейные комбинации i+, i– и s.
Возмущение скорости разрываобозначим буквой d. Итого, в случае плоской поверхности разрыва все возможные возмущения характеризуются семью функциями (возмущения касательных к поверхности разрыва компонентвектора скорости в данном случае несущественны, так как они невлияют на возмущения параметров, перечисленных выше).Поскольку на невозмущённой поверхности разрыва выполняются три закона сохранения, то при их линеаризации получается система трёх однородных уравнений, линейных относительносеми функций времени i1,+ 2 , i1,− 2 , s1, 2 и d. Рассмотрим теперь разные поверхности разрыва при отсутствии приходящих к ним возмущений (рис.
2.15).75tа) – УВСб) – УВРС0С–С–0С–СС0xtС–С++–СС+С–t0СС+Сxг) – ФГС–С0С+–0x0tв) – КРГСС0С+ПСС+xРис. 2.15Согласно Гл. 1.4 нормальный газ перед УВ сжатия (УВС –рис. 2.15, а) движется со сверхзвуковой скоростью (U 1 > A 1 ), а заней – с дозвуковой (U 2 < A 2 ). Поэтому спереди (со стороны х < 0)на УВС приходят С0-, С+- и С–-характеристики, а сзади (со стороны х > 0) – только С–-характеристики. Следовательно, отсутствиеприходящих возмущений означает, что возмущения s 1 = i1+ = i1,−2 == 0. Здесь, для определения s 2 , i2+ и d есть три линейных относительно этих возмущений однородных уравнения.
Их решение:s 2 = i2+ = d = 0, и в нормальном газе УВС эволюционны.В противоположность этому, согласно Гл. 1.4 нормальный газперед УВ разрежения (УВР – рис. 2.15, б) движется с дозвуковойскоростью (U 1 < A 1 ), а за ней – со сверхзвуковой (U 2 > A 2 ). В результате спереди на УВР приходят только две характеристики (С0и С+), а сзади – ни одной. Теперь условие отсутствия приходящихвозмущений обращает в нули лишь две функции s 1 = i1− = 0, и втрёх уравнениях, линейных и однородных относительно возмущений, остаётся пять неизвестных. Двумя из них Природа может распорядиться по своему усмотрению, что Она и делает.
На76ряду с уменьшением энтропии это – ещё одна причина, запрещающая УВР в нормальных газах. Если же, несмотря на запрет,задать ступенчатое распределение параметров, отвечающее УВР,то произойдёт распад разрыва. При этом, как на рис. 2.10, а и в,влево по газу пойдёт ЦВР, а вправо – либо УВ сжатия (рис. 2.10,а), – либо ЦВР (рис. 2.10, в).
Итак, в нормальном газе УВР неэволюционны. Наоборот, в ненормальном газе УВР эволюционны, а УВС неэволюционны. Аналогичным образом показывается неэволюционность детонационных волн, для которых М 2 >1. На детонационной адиабате (рис. 1.11, а) им отвечают точкитипа 2°.Следующий пример – контактный разрыв (КР, рис. 2.15, в).Выполняющиеся на КР, линейные уравнения (1.3.60) и (1.3.7),включающие условия непрерывности нормальной к КР скоростии давления, имеют видu 1= u2 = d , p1 = p2 .(6)+–Слева на КР приходят С -, а справа – С -характеристики. Поэтому i1+ = i2− = 0, и формулы (5) сводятся к равенствамu1 = i1− / 2, u2 = i2+ / 2, p1 = −i1− R1 A1 / 2, p2 = i2+ R2 A2 / 2.Подстановка этих выражений в уравнения (6) даёт: d = i1− = i2+ = 0,т.е.
все влияющие на КР возмущения равны нулю, и он эволюционен.Последний пример – фронт медленного горения (ФГ – рис.2.15, г). Законы сохранения, выполняющиеся на ФГ, отличаютсяот выполняющихся на УВ лишь дополнительными постояннымислагаемыми в уравнениях энергии и ударной адиабаты. Эти слагаемые появляются из-за того, что горючая смесь (ГС) находится в неравновесном (метастабильном) состоянии, а продуктысгорания (ПС) – в равновесном. Следствие этого – разные уравнения состояния h = h(p,ρ) горючей смеси и продуктов сгорания,главное отличие которых связано с энергией, выделяющейся приреакции (теплотой реакции).Скорость ФГ D много меньше скоростей звука до и после него: U 1 << A 1 и U 2 < A 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
