А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому спереди на ФГ приходят С0- иС+-характеристики, а сзади – С–-характеристики, и отсутствиеприходящих возмущений означает, что три возмущения77s 1 = i1+ = i2− = 0. Здесь для определения четырёх функций i1− , s 2 , i2+ иd есть три линейных относительно них однородных уравнения.Отсюда, вроде бы, следует, что в противоречии с повседневнойпрактикой ФГ неэволюционен. Разрешение этого противоречия втом, что скорость ФГ D – известная функция температур и давлений с обеих его сторон.
Её линеаризация приводит к выражениюдля d как линейной комбинации прочих возмущений. Четыре линейных относительно i1− , s 2 , i2+ и d однородных уравнений дают: i1− = s 2 = i2+ = d = 0. Значит, ФГ эволюционен.Глава 2.7. Нелинейное затухание слабых ударных волнСокращения: БВ – бегущая волна, УВ – ударная волна.Ошибки линейного приближения носят накопительный характер, т.е. растут с удалением от источника возмущений. Так, вволне, которая на рис. 2.13 бежит вправо, точные уравнения С+характеристик в обозначениях Гл. 2.6 имеют видdx / dt = U + A + u + a = A + ( γ + 1)u / 2 = A + ( γ + 1)i + / 4 .(1)Здесь учтено, что U = 0, возмущение а скорости звука связано свозмущением u скорости газа условием постоянства инвариантаI–, а u выражено через i+ формулой (2.6.5).
В силу этого же условия волна, бегущая вправо, – простая волна даже после возникновения в ней слабых УВ. Поэтому и в точной постановке, и в линейном приближении на каждой С+-характеристике параметрыпостоянны, а сами они прямые линии. В линейном приближении,однако, все они имеют одинаковый наклон:dx/dt = A.(2)+mПусть i – максимальное положительное возмущение инварианта i+ в С+-волне, а Lm – расстояние при t = 0 от точкис i+ = i+m до точки b. Тогда согласно уравнениям (1) и (2) максимальная погрешность линейного приближения в вычислении хΔx m = i + m ( γ + 1)t / 4 .Пока t мало, Δxm << Lm, но, нарастая со временем, она станетсколь угодно большой. При tm = 4Lm/[i+m(γ + 1)] С+-характеристи78ка, отвечающая i+ = i+m, пересечёт характеристику Cb+ – правуюграницу С+-волны. Ещё раньше в С+-волне возникнет слабая УВ,которая, двигаясь в том же направлении, догонит характеристикуCb+ и станет правой границей расширяющейся С+-волны.
При наличии в профиле инварианта i+ орицательного минимума im+ < 0аналогичная ситуация возникнет на левой границе С+-волны. Таким образом, в отличие от линейного приближения ширина С+волны будет расти. В любом случае С+-характеристики, отвечающие большим значениям i+, догоняют УВ, а меньшим – догоняются ею. Это ведёт к уменьшению i+, а с ним, согласно формулам (2.6.5) – к уменьшению возмущений всех параметров.Подтвердим приведённые выше соображения решением задачи, смысл которой поясняют рис. 2.16, а и б. На них жирная линия – траектория поршня.
При t < 0 он покоился. В момент t = 0поршень стал двигаться с конечной скоростью U a > 0 и с отрицательным ускорением, из-за чего его скорость, уменьшаясь, при t == τ 0 стала нулевой, а затем – отрицательной. Вернувшись в момент t = t b = 2τ 0 в начальное положение х b = х a = 0, поршеньмгновенно останавливается. Скорости U a и |U b | предполагаютсямалыми, в силу чего на вызванных ими УВ можно пренебречьприращениями энтропии и инварианта I–.
Благодаря этому, несмотря на присутствие УВ, все С+-характеристики – прямые линии. На тех из них, что выходят с траектории поршня в момент t= τ 0 и с оси t, параметры газа не отличаются от параметров однородного покоящегося газа на положительной полуоси х и на выходящих с неё С+-характеристиках. На рис. 2.16 почти все С+характеристи-ки даны тонкими прямыми. Исключения – Ca+ и Cb+на рис. 2.16, а – УВ в линейном приближении.79tа)Cb+C0+utб)SWbC0+Ca+SWa00tuba0uu0bτ0τxax(t)xРис. 2.16Принципиальные отличия линейного и нелинейного приближений видны из сравнения рис. 2.16, а и б.
В линейном приближении (а) наклон всех С+-характеристик, включая ударные волныCa+ и Cb+ , одинаковый (dx/dt = A). В БВ не изменяются и показанные для двух моментов времени профили скорости u = u(x). Сучётом нелинейности (б) из идущих от траектории поршня С+характеристик наклон единственной «нейтральной» характеристики C0+ такой же, как у С+-характеристик покоящегося газа.Характеристики, покинувшие траекторию поршня при τ < τ 0 , догоняют ударную волну SW a . Ударная волна SW b , замыкающаяС+-полоску слева, догоняет С+-характеристики, покинувшие траекторию поршня при τ > τ 0 . Так получается потому, что скоростьслабых УВ равна полусумме скоростей характеристик, движущихся в том же направлении. С ростом t и х УВ SW a догоняютхарактеристики, покинувшие траекторию поршня всё ближе иближе к точке нулевой скорости (τ = τ 0 ).
Благодаря этому параметры за УВ приближаются к параметрам покоящегося газа.Аналогично с УВ SW b с той разницей, что это происходит с параметрами перед ней (обе УВ движутся вправо). В этом – механизм нелинейного затухания УВ.При определении траектории УВ SW А индекс «0» припишемневозмущённым параметрам справа от УВ (без индекса – пара80метры за УВ). Пусть X(τ) – координата траектории поршня. Тогдаu(τ) = X& ( τ) ≡ dX / d τ – равная скорости поршня скорость газа упоршня, сохраняющаяся на С+-характеристике. Проинтегрировавуравнение прямолинейной С+-характеристики (dx/dt = u + a) оттраектории поршня (t = τ) до УВ SW a , найдёмγ +1⎧⎫x (t ) = X ( τ) + (u + a )(t − τ) = X ( τ) + ⎨ a0 +u ( τ) ⎬ (t − τ) . (3)2⎩⎭Здесь x(t) – координата УВ.
При получении этого равенства учтено, что в силу постоянства во всём течении инварианта I–a = a0 + ( γ − 1)u / 2 .(4)По формуле (1.4.22) скорость слабой УВ равна полусумме скоростей приходящих на неё С+-характеристик. С учётом равенства(4) это дастdx (t ) a0 + a ( τ) + u( τ)γ +1= a0 +u ( τ) .=(5)dt24Вычислив из уравнения (3) производную dx(t)/dt и подставивеё в уравнение (5), придём к уравнению⎫ dτd τ ⎧ 4a0 + ( γ − 3)u( τ)u( τ) + 2u& ( τ)t=⎨+ u( τ) + 2u& ( τ) τ ⎬ ,dt ⎩γ +1⎭ dtкоторое после умножения на u(τ) сведётся кd {tu 2 ( τ)} 4a0 + ( γ − 3)u( τ)d {τu 2 ( τ)}u( τ) +.=γ +1dτdτИнтегрирование этого уравнения от точки а, где t = τ = 0, дастττ14 a0+γ−τττ≈tu 2 ( τ) = τu 2 ( τ) +{4a(3)u()}u()du ( τ)d τ . (6)0γ + 1 ∫0γ + 1 ∫0Второе выражение написано с учётом того, что τ << t, a u << a 0 .Когда τ → τ 0 , скорость u(τ) → u(τ 0 ) = 0.
При этом первое слагаемое в правой части решения (6) стремится к нулю, а верхнийпредел в интеграле можно заменить на τ 0 . В результате получимτ1 0tu ( τ) = K , K ={4a0 + ( γ − 3)u ( τ)}u ( τ)d τ .γ + 1 ∫022281(7)Положительность интеграла – следствие выполнения неравенств0 < u(τ) << a 0 при 0 ≤ τ ≤ τ 0 . Согласно формуле (7) при больших tинтенсивность УВ определяется функцией u(τ) = Kt–1/2.
Подставив это выражение в уравнение (3), найдём, что для больших tγ +1x ( t ) ≈ X ( τ 0 ) + a0 ( t − τ 0 ) +K t.2Первые два слагаемых в правой части дают уравнение нейтральной характеристики C0+ , а третье – расстояние от C0+ до УВ SW a .Скорость u(τ) в окрестности τ = τ 0 – линейная функция τ – τ 0 .При больших t это обеспечивает близкое к линейному распределение u(х) между C0+ , где u = 0, и УВ, где u = Kt–1/2.
В результатеплощадь под практически треугольной эпюрой скорости близка кконстанте.Для УВ SW b получаются аналогичные результаты. Суммарное распределение скорости (рис. 2.16, б) имеет форму, получившую название N-волна. Близкий математический аппарат применяется для расчёта нелинейного затухания УВ, возникающих приполёте сверхзвуковых летательных аппаратов («звуковой удар»).Глава 2.8. Метод характеристикСокращения: МХ – метод характеристик, ТЧ – траекториячастиц, УВ – ударная волна, УС – условия совместности, ЦПВ –центрированная простая волна, ЦС – центр симметрии.Характеристики, ключевое значение которых в теории очевидно, занимают особое место и в численных методах газовойдинамики – основном инструменте исследования всевозможныхтечений без ограничений на их одномерность, изэнтропичность,двупараметричность и идеальность газа и т.п. Особое место характеристик в численных методах обусловлено тем, что основанный на них метод характеристик (МХ) обладает свойствами, ккоторым иные численные методы приближаются лишь асимптотически – при бесконечном измельчении разностной сетки.
Ужемысленная (виртуальная) реализация МХ ещё до проведёнияконкретных расчётов выявляет расположение таких важных эле82ментов искомого решения, как области определённости разныхучастков границы и области их влияния. Уравнения характеристик и условия совместности помогают ставить граничные условия на естественных (твердая стенка, граница затопленнойструи) и искусственных (поверхности раздела областей, описываемых в рамках разных моделей) границах.
Данное свойство –следствие уравнений одномерных нестационарных течений сплоскими волнами применимо к решению вопроса о виде граничных условий в общем пространственном случае.Имея в виду сказанное выше, рассмотрим основные идеи МХи несколько решаемых им задач. Сначала напомним о возможности использования в расчётах вместо координаты х массовой лагранжевой переменной m. Переменная m, введённая дифференциальным равенством (2.1.7)dm = kx ν−1ρ( dx − udt ) ,(1)±постоянна на траекториях частиц (ТЧ).
На С -характеристикахсогласно формулам (2.2.5±)dx/dt = u ± a .(2±)Поэтому на нихdmdxa±u,(3±)= ± kx ν−1ρa ,=dtdm kx ν−1ρaи в каждой точке плоскости mt вертикали m = const, т.е. ТЧ идутпо биссектрисе угла, образованного С±-характеристиками.Вне зависимости от того, в плоскости хt или mt реализованМХ, используются интегралы (2.1.8)s = S ( m ), ν = 1, 2, 3; w = W ( m ), x ν−1v = Γ( m ), ν = 1, 2 ,(4)Функции W(m) и Γ(m) в них определяются начальными условиями, а S(m) – ещё изменениями энтропии на УВ.Условия совместности (2.2.6±) для С±-характеристик с учётомравенств (2±) и (3±) перепишем в двух формах:dp n - 1 ±dp n - 1 ±(5±)du ±+Fx dx = 0, du ±+ ν Fm dm = 0,raxraxFx± (u, v ,...) =F±F±, Fm± = Fm± (u, v ,...) =, F ± ( u, v ,...) =a± ukr a83= au ± (3 - n)v 2 , Fx± (0,0,...) = Fm± (0,0,...) = F ± (0,0,...) = 0 .При решении задач, представленных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
