А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Как бы мало ни было это уменьшение, поток сМ 1 < М 1, 3 , как и в случае кривой 7, не может пройти через диффузор. В результате перед ним возникнет отошедшая (выбитая)УВ, а режим течения с расходом G, меньшим G 1, 3 на конечнуювеличину, и с М < 1 в сужающемся канале, как и в случае сопла,определится условием на выходе из канала.Важная особенность течения в сверхзвуковом диффузоре –неединственность решений с прямым скачком. Так, наряду с первым решением, которому на рис. 3.5, а отвечает сплошная кривая5–5 ′, возможно «второе» с прямым скачком в сужающемся канале. Действительно, пусть М 1 – число Маха перед первым прямымскачком в расширяющемся канале. На сверхзвуковом участкекривой 5 распределение числа Маха немонотонно с минимумом вминимальном сечении.
Воспользовавшись этим, найдём сечениес М = М 1 в сужающемся канале и поместим в него второй прямой скачок. Площади F и параметры потоков перед и за обоимипрямыми скачками, включая энтропии S 2 , одинаковы. Поэтомупунктирная ломаная, которая на рис. 3.5, а даёт второе решение,справа от сечения первого скачка повторит отрезок сплошнойкривой 5 ′, дающей распределение р(х) для первого решения.Выбор одного из двух решений может определить исследование их устойчивости.
В предположении отсутствия отражениявозмущений от правого конца близкого к цилиндрическому дозвукового участка диффузора Г.Г. Чёрный (1950) показал, что течение с прямым скачком в расширяющемся канале устойчиво, а всужающемся неустойчиво. В цикле работ автора с сотрудниками[25-27] (1970-е гг.) исследование устойчивости таких течений140проведёно для произвольных коэффициентов отражения акустических и энтропийных возмущений от выходного сечения, дляканалов с любым плавным изменением площади поперечногосечения и для потребовавшего специального рассмотрения случая околозвукового потока за прямым скачком.Рис.
3.5, б даёт представление о том, к каким отличиям приводит замена гладкого контура с F ′ m = 0 на контур с изломом вминимальном сечении. Если F ′ m – < 0, а F ′ m + > 0, то согласноформуле (8) при М m ≠ 1 производные р′ и других параметров вэтом сечении рвутся. В рамках ЭТ при М m = 1 они обращаются вбесконечность, причём на режиме разгона (кривая 4) р′ m ± = – ∞.Аэродинамическая труба – канал с двумя минимальнымисечениями (рис. 3.5, в).
В аэродинамической трубе сверхзвуковойпоток на срезе сопла поступает в рабочую часть постоянного сечения, а затем в диффузор. Назначение диффузора – уменьшениетребуемого для работы трубы перепада давления. Из-за УВ, возникающих при обтекании модели, и других потерь энтропия потока на входе в диффузор выше, чем на срезе сопла.
Кроме того,в диффузоре М m > 1. Поэтому F m диффузора должна превышатьF m сопла. ЭТ аэродинамической трубы получается объединениемЭТ сопла и диффузора (кривую 4 рис. 3.5. а продолжает одна изкривых 5′ или 5′′ рис. 3.5, б).Даже теперь, в эпоху компьютеров и численных методов, ЭТнаходит широкое применение в инженерной практике и даётблизкие к точным результаты (по крайней мере, для течений безскачков), причём не только для плавных, но и для неплавных каналов. В последнем случае точность ЭТ объясняется тем, что лежащие в её основе уравнения (7) конечные, а не дифференциальные. Для определения интересующих инженеров и исследователей характеристик (например, расхода и тяги сопла) они применяются к сечениям (минимальное, срез сопла), которые обычноусловиям плавности удовлетворяют.Глава 3.4.
Характеристики плоских и осесимметричныхсверхзвуковых теченийСокращения: ЛТ – линия тока, УВ – ударная волна, УС – условия совместности.141В декартовых (xyz) или цилиндрических (xyφ) координатахпараметры плоских и осесимметричных течений не зависят оттретьей переменной. Как показано ниже, тип уравнений, описывающих такие течения, определяется величиной уже вводившейся ранее меридиональной скорости.
По этой причине и ввиду еёчастого присутствия в разных соотношениях ниже в отличие отГл. 3.1 полный вектор скорости обозначим буквой U, а его меридиональную проекцию – V. После введения функции тока ψ =ψ(х,у) дифференциальным равенством (3.1.9)d ψ = ky ν−1ρ(udy − v dx )(1)дифференциальные уравненияd (2h + U 2 )dsd ( y ν−1w)d∂∂, (2)= 0,= 0,= 0, = V∇1 ≡ u + v∂x∂ydtdtdtdtвыполняющиеся вдоль линий тока – ЛТ (равенства (3.1.11)v dx = udy , d ψ = 0 ,(3)интегрируются. В интегралах (3.1.12) и (3.1.13)2h + U 2 = 2 H (ψ ), s = S (ψ ), y ν−1w = Γ(ψ)(4)функции H(ψ) и Γ(ψ) определяются по параметрам набегающегопотока, а S(ψ) – по параметрам набегающего потока и по приращениям энтропии на УВ, ψ, H(ψ) и Γ(ψ) на УВ не изменяются.В дополнение к уравнениям и интегралам (1) – (4) и уравнениям состояния (согласно им все термодинамические параметры– известные функции двух из них, например, р и s) для описаниярассматриваемых течений необходимо привлечь уравнение неразрывности (3.1.14)ρv∂∂∇1 (ρV ) + ( ν −1)= 0, V = iu + jv , ∇1 = i + j(5)y∂x∂yи одну из проекций векторного (двумерного) уравнения движения (3.1.15)ρw2(6)ρ( V∇1 ) V + ∇1 p − j( ν − 1)=0.yВ уравнениях (2), (5) и (6) i и j – орты осей х и у (при ν = 2 ось хсовпадает с осью вращения), а оператор ∇ 1 при ν = 2 допускаеттакие же сдвиги и вращения в плоскости ху, как при ν = 1.142В силу сохранения энтропии вдоль ЛТ1V∇1ρ = 2 V∇1 p ,(7)aи уравнение неразрывности (5) принимает вид:1v(8)V∇1 p + ∇1V + ( ν −1) = 0 .2yρaДифференциальные уравнения (2) и (7), содержащие производные только вдоль ЛТ, имеют характеристическую форму, независимо от величины скорости U или её проекции V.
В соответствии с этим ЛТ, как и траектории частиц в нестационарных течениях назовём С0-характеристиками. В согласии с дифференциальными равенствами (2), (3) и (7) на нихdy v= = tgθ, d ψ = 0, d (2h + U 2 ) = 0, ds = 0,(9)dx u2ν−1dp = a d ρ =ρdh = −ρUdU , d ( y w) = 0.Здесь θ – угол наклона вектора V к оси х, а цепочка выраженийдля dp – следствия третьего и четвёртого уравнений. Как и следовало ожидать, все уравнения (9), за исключением второго и последнего, совпадают или являются следствиями уравнений Гл.3.2, которые выполняются на ЛТ в любых стационарных течениях.Уравнение неразрывности (8) и проекция уравнения движения (6), например, на нормаль к вектору V, содержат производные по разным направлениям, т.е.
не являются характеристическими. Выясним, нельзя ли составить такие их линейные комбинации, которые будут характеристическими, т.е. будут содержатьпроизводные в одном направлении. Как будет показано ниже,характеристическую форму имеет проекция уравнения (6) на направление вектора V. Однако получающееся при этом уравнениеесть следствие выполняющихся на ЛТ уравнений (9).
Последнееестественно, ибо (см. Гл. 3.1) из двух уравнений (6) одно – следствие второго и уравнения сохранения на ЛТ полной энтальпии.Для упрощения анализа воспользуемся локальной прямоугольной системой координат х′у′ с началом в произвольной точке o и с осью oх′, направленной по вектору V в o, т.е. по каса143тельной к проходящей через эту точку ЛТ (рис. 3.6, а).
Если u′ иv ′ – проекции V на оси х′ и у′, i′ и j′ – орты этих осей, θ′ – уголмежду V и осью х′ и θ o , … – значения θ, … в точке o, тоθ = θ′ + θo , u′ = V cos θ′, v ′ = V sin θ′, θ′o = 0,(10)uo′ = Vo , v o′ = 0, j = i′ sin θo + j′ cos θo .Наконец, согласно свойствам оператора ∇ 1 имеем∂p∂p∂p∂u ′ ∂v ′ ∂V∂θ′V∇1 p = u ′+ v′=Vo+=+ Vo, ∇1V =,∂x′∂y ′∂x′∂x′ ∂y ′ ∂x′∂y ′⎛ ∂u ′⎛ ∂v ′∂u ′ ⎞∂v ′ ⎞+ v′+ j′ ⎜ u ′+ v′(11)(V∇1 )V = i′ ⎜ u ′⎟⎟=∂y ′ ⎠∂y ′ ⎠⎝ ∂x′⎝ ∂x′∂V∂θ′∂p∂p= i′Vo+ j′Vo2+ j′ ., ∇1 p = i′∂x′∂x′∂x′∂y ′Вторые выражения записаны с учётом значений u′ и v ′ в точке o.yа)Vθ′С+С+θx′μy′ЛТx′μy′dx′jθooб)ydx+–μθ + μ dx–С–x–μθ–μС–xРис.
3.6Подстановка выражений (11) и формулы для j из (10) в уравнения (8) и (6) даст (индекс «o» опущен)∂θ′V ∂p ∂Vv++V+ ( ν −1) = 0,2ρa ∂x ′ ∂x ′∂y ′y∂V∂θ′∂p∂pρw 2i′ρV+ j′ρV 2+ i′+ j′− (i′ sin θ + j′ cos θ)( ν − 1)= 0.y∂x ′∂x ′∂x ′∂y ′144Согласно первому равенству (10) углы θ′ и θ отличаются на константу. С учётом этого полученные уравнения сведутся кV ∂p∂V∂θ ν −1(12)+ρ+ ρV+ρV sin θ = 0 ,2a ∂x ′∂x ′∂y ′y∂V ∂p ν − 1 2ρV+−ρw sin θ = 0 ,(13)y∂x ′ ∂x ′∂θ ∂p ν − 1 2ρV 2+−ρw cos θ = 0 .(14)y∂x ′ ∂y ′В дальнейшем вместо уравнения (12) используется не содержащая дV/дх′ комбинация уравнений (12) и (13):V2∂p∂θ ν −1 2(15)(M 2 − 1)+ ρV 2+ρU sin θ = 0, M 2 = 2 .∂x ′∂y ′yaЧисло Маха в этом и в последующих уравнениях определяется повеличине меридиональной компоненты V вектора скорости.Как и ожидалось, уравнение (13) – проекция уравнения (6) наось х′ – имеет характеристический вид.
Покажем, что это уравнение сводится к одному из справедливых на ЛТ уравнений (9). Последнее из них приводит к цепочке равенств⎛ ∂wd ( y ν−1w)∂( y ν−1w)∂( y ν−1w)∂w ν − 1 ⎞wv ⎟ ==u+v= y ν−1 ⎜ u+v+dtxy∂x∂y∂∂y⎝⎠⎛⎛ ∂w ν − 1⎞ν −1 ⎞wv ⎟ = y ν−1V ⎜w sin θ ⎟ = 0,= y ν−1 ⎜ V∇1w ++yy⎝⎠⎝ ∂x ′⎠последнее из которых записано в точке o. С учётом этого уравнение (13) сведётся к∂V ∂p∂w ρ ∂ (V 2 + w2 ) ∂p ρ ∂U 2 ∂pρV++ ρw=+=+=∂x ′ ∂x ′∂x ′ 2∂x ′∂x ′ 2 ∂x ′ ∂x ′∂U ∂p= ρU+= 0,∂x ′ ∂x ′т.е. – к одному из уравнений (9).Уравнения (14) и (15) содержат производные от θ и р по разным направлениям, т.е. не являются характеристическими. Поскольку характеристическими могут оказаться их линейные ком145бинации, умножим первое на пока неизвестный скаляр λ и сложим со вторым. После несложных преобразований получим⎛ ∂θ 1 ∂θ ⎞ M 2 − 1 ⎛ ∂pλ ∂p ⎞λ⎜+++ 2⎟⎟+2 ⎜′′′⎝ ∂x λ ∂y ⎠ ρV ⎝ ∂x M − 1 ∂y ′ ⎠ν −1 U 2 sin θ − λw2 cos θ=0.yV2Это уравнение будет характеристическим при одинаковых дифференциальных операторах, действующих на р и на θ, т.е.
при+λ = ± M 2 − 1 = ±ctgμ .При таких значениях λ предыдущее уравнение станет(16)d ± θ ctgμ d ± p ν −1 ±d±∂∂(17)±+F=0,=± tgμ,2dx ′ ρV dx ′ydx ′ ∂x ′∂y ′±V 2 sin θ sin μ − w2 cos( θ ± μ) ±, F (0,0, μ,V ) = 0.F ± ( θ, w, μ,V ) =V 2 cos μСогласно (16) угол Маха μ удобно ввести формулой(18)sinμ = 1/ M .В силу определений (16) и (18) μ = π/2 и 0 при М = 1 и ∞.Оба определения μ показывают, что нехарактеристическиеуравнения (14) и (15) можно заменить характеристическимиуравнениями (17) лишь тогда, когда число Маха, посчитанное померидиональной компоненте скорости, М = V/a ≥ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
