А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 36
Текст из файла (страница 36)
3.4.Равенства I–° = 0 и I+° = 0 и условие (12) дают u° на профиле.Подставив найденные u° в выражение (17) c β, определённымформулой (18), получим коэффициент подъемной силы с у . Коэффициент волнового сопротивления с х получается аналогично иимеет вид11τ 2 coxα⎤⎧ o−⎡ −ocx ≡ −pdy,c′==⎨u ( x ) ⎢Yx ( x ) − ⎥ −x2 С∫∫2ρ0V0τ⎦⎣Μ0 − 10⎩α ⎤⎫⎡(19)−u o+ ( x ) ⎢Yx+ ( x ) − ⎥ ⎬ dx .τ ⎦⎭⎣Сформулированный закон носит название закона подобия Аккерета (J.
Ackeret).При выводе закона подобия для околозвуковых течений(рис. 3.52) обтекаемый профиль по-прежнему тонкий. Однако еготолщина, угол атаки и число Маха М 0 таковы, что коэффициентперед дu/дх в уравнении (5) из-за его малости изменяется сильно,и его нельзя заменить константой, как делалось выше. Более того,при М 0 < 1 возможны местных сверхзвуковые зоны (рис.
3.52, а),а при М 0 > 1 – дозвуковые зон (рис. 3.52, б), когда этот коэффициент меняет знак. При анализе околозвуковых течений в качестве масштабов скорости и плотности возьмём их критические ве229личины а ∗ и ρ ∗ , а масштаба давления – произведение ρ ∗ а ∗ 2.
Далеезапишем, что u = 1 + u′, а так как в околозвуковых течениях V 0близко к 1, то почти всюду |u′| << 1. В силу этого граничные условия (2′) и (3′) заменятся наv ′( x,0 ) = τYx± ( x) − α, 0 ≤ x ≤ 1;(2′′)2222u ′( x + y → ∞) → V0 − 1, v ′ ( x + y → ∞) → 0 .(3′′)Другое следствие сделанного предположения – небольшиечисла Маха в местных сверхзвуковых зонах и малая интенсивность возникающих в них УВ. При близких к единице сверхзвуковых М 0 интенсивность УВ также невелика.
Поэтому, пренебрегая изменениями энтропии, будем, как и ранее, использоватьуравнение отсутствия вихря (4′).М0 < 1 yV0αi0а)yМ<1М0 > 1М>1УВб)М<1М>1f1xV0 α01УВxРис. 3.52Для знакопеременного коэффициента уравнения (5) справедливо разложение (см. формулы (3.3.12) и (3.3.13) и (3.12.13)):⎛ ∂M ⎞= ω pp∗ . (20)1 − u 2 / a 2 ≡ 1 − M u2 ≈ 1 − M 2 ≈ −σ2u′, σ2 = −2 ⎜⎟⎝ ∂p ⎠ s , H ∗Для совершенного газа ω рр = γ + 1. Согласно разложению (2)уравнение (5) с сохранением главных членов примет вид∂u′ ∂v ′− σ 2 u′+= 0.(5′′)∂x ∂yВ получившейся нелинейной задаче наряду с коэффициентомσ2 в уравнении (5′′) есть правая часть (V 0 – 1) в одном из условий(3′′).
Пусть в формулах (7) k v = τ. Тогда условие (2′′) заменится наv o ( x,0) = Yx± ( x ) − α / τ, 0 ≤ x ≤ 1,(12 ∗ )230а уравнения (4′) и (5′′) запишутся в форме2o∂u o τk y ∂v o∂v o2 k y kuo ∂u= 0.0,−=−σu+∂y o ku ∂xτ∂x ∂y oВходящие в них комбинации τ, σ, k y и k u равны единице при(21)k y = 1/ (σ2 τ)1/ 3 , ku = ( τ / σ)2 / 3 .Для таких k y и k u эти уравнения и условия (3′′) заменятся наu o ( x 2 + y o2 → ∞ ) → K , v o ( x 2 + y o2 → ∞) → 0,(13 ∗ )o∂u o ∂v o∂v oo ∂u(14 ∗ ), (15 ∗ )−=0,−u+= 0.∂y o ∂x∂x ∂y oКонстанта K в первом условии (13 ∗ ) равнаV −1M −1(22)K = σ2 / 3 02 / 3 = 2 20 2 / 3 .τ( σ τ)Здесь при переходе от V 0 к М 0 использованы формулы (20).Для коэффициента давления с р = (р – р 0 )/(ρ 0 V 0 2) имеемp − p∗ p∗ − p0p′p −p+=+ c p∗ ≈ p ′ + c p∗ , c p∗ = ∗ 2 0 ,cp =222ρ0V0ρ0V0ρ0V0ρ0V0а с учётом формул (7) и (21) и аналога формулы (6)c p ≈ − u ′ + c p∗ = − ( τ / σ ) 2 / 3 u o + c p∗ .(23)Подставив это выражение в интегралы (19) и (17), определяющиес х и с у профиля, получим (интегралы от с р∗ равны нулю)τ5 / 3 o ⎛ α ⎞τ2 / 3 o ⎛ α ⎞cx = − Сcdy=−c,K,c=cdx=−c y ⎜ , K ⎟ , (24)pxyp⎜⎟С∫∫σ2 / 3 ⎝ τ ⎠σ2 / 3 ⎝ τ ⎠где выражения для cox и coy – те же, что в (19) и (17).Закон подобия для околозвукового обтекания профиля, который включает уравнения и граничные условия (12 ∗ ) – (15 ∗ ) с параметрами подобия α/τ и K, определяемым формулами (22), формулы (7) с коэффициентами (21) и k v = τ и выражения (23) и (24)для с р , с х и с у , установлен C.В.
Фальковичем (1947). Закон подобия для пространственных околозвуковых течений сформулировали Карман (Th. Karman) и Цянь Сюэ-сэнь (Тзян – TsienH.S.).231Применим закон подобия C.В. Фальковича к сверхзвуковомуобтеканию тонких клиньев с присоединенной УВ при М 0 , близких к единице.
Подставив τ = σ(V 0 – 1)3/2/K3/2 из формулы (22) ввыражения для возмущений компонент скорости, получимu ′ = u − 1 = ku u o ( K ) = δu o ( K ) / K , δ = V0 − 1,v ′ = kv v o ( K ) = τv o ( K ) = σδ3/ 2v o ( K ) / K 3/2 .Именно такое найденное из рассмотрения уравнения ударной поляры (УП) нормирование этих компонент в Гл. 3.8 привело к еёуниверсальной форме, изображённой на рис. 3.23, а.Для околозвуковых течений обращение к УП явилось всеголишь иллюстрацией работы закона подобия C.В. Фальковича.
Впротивоположность этому, при получении закона подобия длягиперзвукового обтекания тонких заостренных спереди телсвойства УП и С±-характеристик в плоскости годографа (для совершенного газа – эпициклоид) играют ключевую роль. Согласнорис. 3.5, а Гл. 3.5 при малых θ вблизи окружности V = VМ, т.е. приМ 0 >> 1 наклон указанных характеристик к оси u близок к π/2.Следовательно, в волнах разрежения, возникающих при гиперзвуковом обтекании тонких тел, при повороте на малые углы θизменение модуля скорости V и её x-компоненты u = Vcosθ ≈ V 0много меньше изменения y-компоненты v = Vsinθ ≈ V 0 θ.
Приэтом давление, плотность, скорость звука и прочие термодинамические параметры могут измениться на многие порядки.Согласно рис. 3.23, б Гл. 3.8 при V = VM УП – окружность сцентром на оси u. В правой её точке касательная вертикальна, апри V, слегка меньших VM, близка к вертикали. Таким образом,для скачков слабого семейства, в которых поток с V 0 , близкой кVM, поворачивается на малые углы θ, реализуется та же ситуация,что и для волн разрежения. Ещё с большей точностью она реализуется при обтекании конуса, ибо наклон яблоковидной кривой вокрестности точки u = V 0 оси u не меньше наклона УП в той жеокрестности. Итак, при гиперзвуковом обтекании тонких заостренных тел под малыми углами атаки изменениями проекциивектора скорости на направление набегающего потока можнопринебречь (u ≈ V 0 ).
В противоположность этому нормальные к232V 0 компоненты вектора скорости и их изменения – величины порядка θ, т.е. порядка относительной толщины тела τ.Ограничимся такими гиперзвуковыми течениями, для которых угол Маха μ 0 ≈ 1/М 0 << 1, определяющий наклон С±-характеристик или образующих конуса Маха к V 0 , порядка или меньшеτ. В таких течениях УВ слабого семейства столь интенсивны, чтоизменения в них энтропии и иных термодинамических параметров могут значительно превосходить их значения в набегающемпотоке. В условиях, когда предположения о малости возмущенийвсех параметров и о потенциальности потока неприменимы, малое изменение х-компоненты V существенно упрощает анализ.Главное упрощение состоит в том, что в уравнениях пространственного стационарного течения, определяющих у- и zкомпоненты V и термодинамические параметры, u заменяется наV 0 , а уравнение для u на данном этапе оказывается ненужным(при необходимости её можно найти из интеграла полной энтальпии: u2 = 2H 0 – 2h – v 2 – w2).
Как и ранее, ось х декартовых координат хуz с началом в носике тела направлена по вектору V 0 . Приu = V 0 в уравнении неразрывности исчезнет слагаемое дu/дх == дV 0 /дх, а входящий во все уравнения оператор uд/дх заменитсяна V 0 д/дх. Воспользовавшись этим, введём время t = x/V 0 , послечего уравнения (3.1.1) – (3.1.3), описывающие пространственныестационарные течения (без уравнений для u), сведутся к системе⎛ ∂v ∂w ⎞dρdv 1 ∂pdw 1 ∂p+ ρ⎜ += 0,+= 0,+= 0,⎟dtdt ρ ∂ydt ρ ∂z⎝ ∂y ∂z ⎠(25)dsd ∂∂∂= 0,= +v + w ,dtdt ∂t∂y∂zописывающей нестационарные плоские течений.В исходной стационарной задаче (рис.
3.53, а) обтекается тело, поверхность которого задана уравнениемF(x, у°, z°) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, у° = у/τ, z° = z/τ,(26)где, как и в (1), за линейный масштаб взята длина тела, а τ – егоотносительная толщина. Запись уравнения поверхности тела вформе (26) даёт континуум тел разной длины и толщины. Прифункции F, зависящей только от х и у°, обтекается плоское тело,233например, профиль под углом атаки с фиксированным отношением α/τ. При такой записи производные F х , F y° и F z° – независящиеот τ функции порядка единицы. Если тело, как на рис. 3.53, а, заканчивается торцом: х = 1, то на него действует близкое к постоянному донное давление p b . При гиперзвуковом обтекании p bможет превышать р 0 , однако всегда p b << p m– , где p m– – минимальное давление на задней кромке обтекаемой поверхности.а)V0zб)yУВywв)ЦВР0zУВxС–ЗЛ0bУВoaefсРис.
3.53В двумерной нестационарной задаче (рис. 3.53, б) в неподвижный при t < 0 и однородный газ с v = w = 0, ρ = ρ 0 , … из начала координат z = y = 0 начинает расширяться двумерный (эластичный) поршень. Его расширение, которое может сменитьсядвижением в обратном направлении, подчиняется закону:F(x, y/τ, z/τ) = F(V 0 t, у°, z°) = 0, 0 ≤ t ≤ 1/V 0 .(27)Движение поршня, на котором выполняется условие непротекания, приводит к образованию УВ. Движение УВ находится впроцессе решения двумерной нестационарной задачи с привлечением соотношений (1.3.8) – (1.3.11) в каждой точке УВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
