А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Уравнение Эйлера интегрируется и даёт интегралyν – 1ϕ x′ = const, 0 ≤ y ≤ 1.(5)В плоском случае из интеграла (5) найдём, что x′ = const = l,т.е. оптимальный контур – прямая: х = lу, 0 ≤ y ≤ 1. Правда, воз241никает вопрос: при любых ли x′ = l будет выполняться условиеЛежандра: ϕ х′х′ | x′ = l ≥ 0 и что делать, если оно нарушится? Кстати,для ФН (1) Φ(α) = α2, в согласии с формулами (2)1−2 x ′3 x ′2 − 1′′ϕ( x ′) =,ϕ(x)=,ϕ(x)=2,(6)′′′xxx1 + x ′2(1 + x ′2 ) 2(1 + x ′2 )3и условие Лежандра – неравенство (4) и в плоском, и в осесимметричном случаях выполняется лишь приx′ ≥ 1/ 3 ≈ 0.57735 .(7)1/2Для плоской головной части x′ = l, и при l < 1/3 условие Лежандра нарушается, и найденное решение непригодно.Ещё хуже ситуация с осесимметричными головными частями,для которых в силу интеграла (5): yϕ x′ = const = (yϕ x′ ) i = 0⋅(ϕ x′ ) i .Отсюда в общем случае ϕ x′ = 0, т.е.
x′ – постоянная, но теперьвполне определённая, и отвечающей ей прямой соединить точки iи f при произвольном удлинении l невозможно. Так, для ФН всилу формулы (6) ϕ x′ = 0 при x′ = 0 и x′ = ∞. Первое значение даётторцы х ≡ const, второе – цилиндрические участки у ≡ const. При0 < l < ∞ они не позволяют построить требуемое решение.Выход из создавшейся ситуации подсказал простой мысленный эксперимент (А.Н. Крайко, 1963). Выше как само собой разумеющееся полагалось, что образующая if из точки i идёт сразувправо.
А если не так? Составим её из двух участков (рис. 4.1, б):идущего влево отрезка ii° оси х и наклонного участка i°f. Для такой образующей в рамках ФН и без вариационного исчисленияс х → 0 при х i° → – ∞. Но – тут же спохватился экспериментатор– мы ведь задавали длину головной части, и потому нельзя вылезать за ось у! Правильно! Значит, оптимальный контур может содержать передний торец id (рис. 4.1, в), появляющийся из-за ограничения на длину как участок краевого экстремума (УКЭ).На нём допустимые вариации δх ≥ 0, и потому в отличие от участков двустороннего экстремума (УДЭ) с допустимыми δх любого знака уравнение Эйлера не обязано выполняться.Как установлено выше, для ФН вертикальные и горизонтальные УКЭ удовлетворяют уравнению Эйлера, хотя на первых изних условие Лежандра нарушается. Однако для ЗН это совпаде242ние несущественно.
Важно другое: в рамках ФН с х уменьшаютвыемки на любом участке образующей (рис. 4.1, в), и чем ихбольше, тем меньше с х . Для ежа с бесконечным числом выемок ивыступов с х = 0. Лежандр, обратив внимание на данное обстоятельство, подверг сомнению правильность решения Ньютона.Однако, несмотря на это, решение Ньютона с передним торцомверно, поскольку он – УКЭ не только из-за ограничения на длинуголовной части, но и как граница применимости ФН. Для головной части она справедлива, если 0 ≤ θ ≤ π/2, и передний торец –УКЭ одновременно и по х, и по θ. Итак, согласно сказанномувыше при решении ЗН или её обобщений в рамках ФН х, у и θ наискомом оптимальном контуре удовлетворяют ограничениям0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π / 2 .(8)Любое равенство в них может приводить к появлению УКЭ.Решение задач современной теории оптимального управления начинается с формулировки ограничений типа неравенств(8), и УКЭ в ней столь же обычны, как и УДЭ.
В классическомвариационном исчислении об УКЭ вспоминали лишь в исключительных случаях, современная теория оптимального управления всередине ХХ века только начала своё развитие и для аэродинамиков того времени подобные формулировки, а вместе с ними УКЭбыли незнакомы. Однако, УКЭ столь же естественны, как значения функции на границах конечной области изменения независимых переменных при поиске её максимальной или минимальнойвеличины. Ньютон, наверняка, понимал это столь отчётливо, чтов первой задаче вариационного исчисления не счел нужным объяснять, почему оптимальный контур имеет передний торец.Вооруженные знанием структуры искомого оптимальногоконтура и ограничениями (8) вернёмся к решению ЗН. Если оптимальный контур содержит передний торец id – и пологий участок d + f, то при варьировании наряду с вариациями δх′и δх на id –и d + f появятся (рис. 4.1, г) приращения координат точки их стыковки Δу d и Δx d .
Индексы «–» и «+» метят параметры до и послесоответствующей точки при движении по if от точки i. Кроме того, наряду с малыми (слабыми) вариациями δх′ введём в окрестности произвольной внутренней точки k участка d + f вертикаль243ную ступеньку (рис. 4.1, д) с х′ = 0 и высотами Δу k– ≤ 0 и Δу k+ ≥ 0.Исходя из определения приращения Δс х и учтя, что координатыточек i и f фиксированы, в произвольной точке излома (см. рис.4.1, г и д) δх = Δx – х′Δу, а Δх k = 0, последовательно найдёмyk +Δyk −1⎛ yd +Δyd⎞ ν−1 ⎡ϕ⎤Δcx = ⎜ ∫+ ∫+ ∫⎟ y ⎢ϕ( x′) + ϕ x′δx′ + x′x′ ( δx′) 2 ⎥ dy +⎜ 0⎟2⎣⎦yd +Δydyk +Δyk + ⎠⎝1⎛ yd+ y ϕ(0)( Δyk + − Δyk − ) − ⎜ ∫ + ∫⎜0yd⎝ν−1k+yν−1k++⎞d−⎟ y ν−1ϕ( x ′)dy = ϕ( x ′) d + ydν−1Δyd +⎟⎠yk −1⎛ yd′[ϕ(0) − ϕ( xk )]( Δyk + − Δyk − ) + ⎜ ∫ + ∫ + ∫⎜0ydyk +⎝⎞ ν−1⎟ y [ ϕ x′δx ′ +⎟⎠ϕ x′x′d−⎤( δx ′) 2 ⎥ dy = (ϕΔy + ϕ x′δx ) d + ydν−1 + ykν−1[ϕ(0) − ϕ( xk′ )]( Δyk + −2⎦k−−Δyk − ) + δx k +1⎛ ydy ϕ xk′ − ⎜ ∫ + ∫⎜0yd⎝ν−1k⎞ ⎡ d ( y ν−1ϕ ′ )⎤ϕxδx − y ν−1 x′x′ ( δx ′) 2 ⎥ dy =⎟⎟ ⎢⎣dy2⎦⎠d−= [(ϕ − x ′ϕ x′ ) Δy + ϕ x′Δx ] d + ydν−1 + ykν−1[ϕ(0) − (ϕ − x′ϕ x′ ) k ] ×1 ⎞⎛ yd⎡ d ( y ν−1ϕ x′ )⎤ϕ× ( Δyk + − Δyk − ) − ⎜ ∫ + ∫ ⎟ ⎢δx − y ν−1 x′x′ ( δx′) 2 ⎥ dy.⎜0⎟dy2⎦yd ⎠ ⎣⎝2На торце х′ = 0, ϕ х′ (0) ≡ 0, а слагаемое с (δх′) << Δx d .
Поэтому врамках ФН с учётом формул (6) окончательно получим22x ′( x ′2 − 1) Δy + 2 Δxν−1 x ′ ( x ′ − 1)Δcx = y ν−1 x ′y( Δy+ − Δy− ) ++2 2′+(1 + x ′2 )2(1x)d+k(9)12⎧⎪ ⎡ d y ν−1 x′ ⎤⎫ν−1 3 x ′ − 12⎪( δx′) ⎬ dy.+ ∫ ⎨2 ⎢δx + y2 2⎥2 3′′++dy(1x)(1x)⎪⎪⎭⎣⎦yd ⎩В точке d допустимы приращения Δу d любого знака. Поэтомудля оптимального контурах′ d+ = 1.(10)Положительность коэффициента при Δх d показывает, что с х придопустимых Δх d ≥ 0 растёт, и передний торец – УКЭ. Согласно244принятому способу сильного варьирования (рис.
4.1, д) в точке kдопустимы Δу k– ≤ 0, а Δу k+ ≥ 0. Значит, на пологом участке оптимального контура должно выполняться условие(11)x′ ≥ 1 ,более сильное, чем условие Лежандра (7). Разумеется, как и прианализе выражения (3), условие Лежандра следует из рассмотрения второго слагаемого под знаком интеграла формулы (9). Впримечаниях А.Н.
Крылова к «Математическим началам …» показано, что условие (11) вытекает из результатов Ньютона попервой и второй темам. В отличие от А.Н. Крылова Лежандр,специально занимавшийся ЗН и получивший для неё более слабое условие (7), не понял этого. Долго не понимали этого практически все аэродинамики, занимавшиеся ЗН и её обобщениями.Цитируя Ньютона, они использовали условие Лежандра, а не более сильное условие Крылова (11).Уравнение Эйлера, получающееся из рассмотрения первогослагаемого под знаком интеграла формулы (9), не отличается отполученного ранее.
Однако теперь его интеграл при ν = 2 в согласии с тем, что у d > 0, и с равенством (10) принимает форму(1 + q 2 ) 2y = yd, q = x′ .(12)4qС введением q уравнение оптимального контура записывается впараметрической форме, ибо наряду с формулой (12) имеемyqq⎡ d (1 + q 2 )2 ⎤dyx = ∫ x ′dy = ∫ q dq = yd ∫ q ⎢dq =dqdq 4q ⎥⎦011 ⎣(13)qyd ⎛ 31⎞3q 4 + 4 q 2 − 4ln q − 73q + 2 q − ⎟ dq = yd.=4 ∫1 ⎜⎝16q⎠Продифференцировав равенство (12) по у, найдёмdq4q 2.≡ q′ ≡ x ′′ =dyyd ( q 2 + 1)(3q 2 − 1)По условию (10) q d = 1 и q′ d > 0, т.е. q с ростом у растёт, а следовательно, будет расти и дальше, обеспечивая выполнение условияКрылова (11) и выпуклость участка d + f.245Так как у f = 1, а х f = l, то константа у d , входящая в уравнения(12) и (13), и значение q f > 1 в концевой точке оптимального контура находятся из двух равенствyd (1 + q 2f ) 2 = 4q f , yd (3q 4f + 4 q 2f − 4ln q f − 7) = 16l .Отсюда для l ≥ 4 с высокой точностьюqf ≈4q f4l2713, yd =≈, θ f = arctg≈2 223q f 4l(1 + q f )2(8l + 9)l.В свете полученных результатов оптимальные контуры плоских головных частей при l ≥ 1 – наклонные прямые, а при l < 1 –комбинация торца и отрезка прямой х′ = 1.
При l < 1 решение дают любые приходящие в точку х f = l, у f = 1 комбинации торцов итаких отрезков. В рамках ФН все они имеют одинаковый с х .В приближении ФН рассматривался ряд модификаций ЗН. Водной из них вместо длины L задаётся объём Ω или ω = Ω/(πY3).Первая попытка решения этой задачи – задачи Эггерса (A.J. Eggers и др., 1957 и 1965 [42]) оказалась неудачной. Причины неудачи – введение торца при отсутствии ограничения на длину ииспользование условия Лежандра при нарушении условия Крылова.
В результате был сделан вывод о том, что при 0.149 < ω <0.346 «решение, если и существует, то не может быть полученов данной постановке». Найденное для всех 0 ≤ ω ≤ ∞ решениезадачи Эггерса (А.Н. Крайко, 1991 [43], там же дан описанныйвыше вывод условия Крылова) показало, что и заостренная головная часть, построенная Эггерсом, оптимальна лишь при 0.433≤ ω. При 0 < ω < 0.433 в приближении ФН оптимальны головныечасти принципиально нового типа: остриё, выступающее из заднего торца – УКЭ, также появляющегося в силу ограничений (8)с тем отличием, что теперь начало координат лежит в основанииголовной части, и х ≤ 0.
В точке стыковки d острия и заднего торца аналогично ЗН х′ d– = 1, однако образующая острия id – вогнутая, что при 0 ≤ у < у d по-прежнему обеспечивает выполнениеусловия Крылова.В рамках ФН А. Миеле (A. Miele, 1965 [42]) в приближениитонкого тела строил головные части, оптимальные при заданныхL, Y и Ω, точнее, Y, l и с Ω = Ω/(πY2L). Решение А. Миеле оказа246лось неполным: полученные уравнения и условия позволяютстроить оптимальные головные части лишь при 0.25 ≤ с Ω ≤ 0.5 – вчетверти полного интервала его значений (0 ≤ с Ω ≤ 1). Результатыполного решения этой задачи без приближения тонкого тела(Н.Л.
Ефремов, А.Н. Крайко, К.С. Пьянков, 2005 [44]) представлены на рис. 4.2. При этом под заданием Y и l понималось задание габаритов. Так, при больших l и малых с Ω отнесённая к Yдлина головной части может быть меньше l. С другой стороны,при больших с Ω понимаемое в этом смысле ограничение (8) на уприводит к УКЭ нового типа – цилиндрическому отрезку: у = 1.1сxl = 0.50.5128040.5сΩ 1Рис.
4.2На рис. 4.2 сплошными кривыми даны рассчитанные по ФНзависимости с х = с х (с Ω , l) для оптимальных осесимметричныхголовных частей. Их крайние точки отвечают минимально и максимально возможным объёмам (с Ω = 0 и 1). Для них, согласноФН, с x = 1. Для каждого l кружок даёт величину с x головной части ЗН, которая для этого l минимальна. Между кружками и треугольниками оптимальные контуры имеют передний торец и выпуклый УДЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
