А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 43
Текст из файла (страница 43)
При малых варьированиях искомого контура bdf течение в пучке волн разрежения, а вместе сним и I ∗ не изменяются, а вариации р на bd связаны с изменениями формы этого участка условиями непротекания на нём и уравнениями Эйлера. Любой вариант МКК позволяет не привлекатьуравнения Эйлера. В рамках МНКК это делается наиболее просто. Тягу χ представим как сумму потока х-компоненты количества движения через пока неопределённый контур gd и силу, действующую на возможный торец.
Через интеграл по gd представим также фиксированный (определяемый формой сужающейсячасти) протекающий через сопло расход газа G. Если х = х(у) –уравнение кривой gd, а х′ = dx/dy, то с точностью до несущественных при решении вариационной задачи постоянных слагаемого и положительных множителей имеем272χ=yd∫y ν−1[ p + ρu(u − v x ′)]dy −y g =0ydν +p , G=νyd∫y ν−1ρ(u − v x ′)dy .y g =0Для получения необходимых условий максимума χ составимфункционал J = χ + λG с неопределённым постоянным множителем Лагранжа λ.
При любых допустимых варьированиях, сохраняющих расход, приращения χ и J совпадают. Вычисляя их, учтём, что вариации параметров на отрезке gh равны нулю, а напроходящей через точку h замыкающей С–-ха-рактеристике (ЗХ)пучка волн разрежения параметры непрерывны. Поэтому изменение ординаты у h точки пересечения ЗХ с кривой gd не вноситвклада в линейную часть приращения Δχ = ΔJ. Для изэнтропического и изоэнергетического течения δρ = а–2δр, а δр = – ρ(uδu ++ v δ v ). Ещё не определённая кривая gd, а следовательно, х и х′вдоль неё не варьируются. Поэтому при варьировании координатточки d нужно учесть потоки массы и х-компоненты количествадвижения через отрезок dd ° (рис.
4.11, б, d ° – проварьированнаяточка d). Эти потоки вычисляются по предельным непроварьированным параметрам потока слева от точки d. Выкладки, проведённые с учётом отмеченных обстоятельств, даютΔχ = ΔJ =yd∫yν−1ρ( Au δu + Av δv )dy +yh+ ydν−1[ p − p + + ρ(u + λ )u ]d Δyd − ydν−1[ρ(u + λ )v ]d Δxd ,2222(1)a − u + uv x ′(v − a ) x ′ − uv(u + λ ) − v x ′, Av =(u + λ ) − v.2aa2За счёт выбора кривой hd обратим в ноль коэффициент Аv, чтоприведёт к дифференциальному уравнению для её определенияa 2 + u(u + λ )x′ =v.(2)(u + λ )(v 2 − a 2 )Вариации, оставшиеся после этого в выражении (1), не являютсянезависимыми, так как при варьировании необходимо удовлетворять условию сохранения расхода, который определяется течением в сужающейся части и не изменяется при варьировании расAu =273ширяющейся части. Как и в Гл.
4.2, их независимость достигаетсявведением на hd компенсирующей точки с, в которой, пользуясьпроизволом в выборе множителя λ, обратим в ноль коэффициентАu. Подставив в него х′ из уравнением (2), найдём, что в точке с(3)λ = ±v / M 2 − 1 − u .Выполнение равенства (3) пока только в точке с позволяетпри варьировании u на hd или координат точки d за счёт одновременного варьирования u в малой окрестности точки с сохранять постоянным расход G. Благодаря выбору множителя λ согласно равенству (3) варьирование u в малой окрестности точки свносит в приращение Δχ вклад более высокого порядка, чем Δx d ,Δу d и δu в других точках hd, и перечисленные вариации и приращения можно считать независимыми. Следовательно, если распределения параметров на отрезке hd, где δu произвольны, реализуют максимум χ, то условие (3) должно выполняться во всех еготочках.
Подставив определяемое им λ в уравнение (2), найдём,что: х′ = ctg(θ m μ), где μ – угол Маха, т.е. для оптимальной образующей сопла hd – отрезок С–- или С+-характеристики. Чтобысоединить точку d с ЗХ, в качестве hd естественно взять отрезокС+-характеристики, чему отвечает нижний знак в равенстве (3),которое примет вид (Л.Е. Стернин, 1957; G.V.R. Rao, 1958)cos( θ − μ)= −λ .(4)Vcos μВместе с уравнением С+-характеристики: х′ = ctg(θ + μ) и выполняющимся на ней условием совместности (3.4.20+) равенство(4) для произвольной точки h позволяет построить отрезок hd С+характеристики. Константа в равенстве (4) вычисляется по параметрам в точке h. Для её выбора обратимся к оставшимся слагаемым выражения (1) для Δχ, которое после исключения (u + λ) спомощью равенства (3) со знаком минус примет видy1d−ν Δχ = ( p − p + − ρV 2 tgμ sin θ cos θ)d Δyd + (ρV 2 tgμ sin 2 θ)d Δxd .Положительный множитель перед Δх d – свидетельство того, чтоторец, если он есть, – УКЭ, ибо при допустимых Δх d < 0 тягауменьшается.
Возможно выполнение равенства θ d = 0. Как показано ниже, в таком случае θ ≡ 0 на всей начинающейся на оси х274С+-характеристике hd. Это отвечает такой длине Хm, при которойпоток на срезе сопла равномерный и параллельный оси х и дальнейшее увеличение длины не увеличивает тягу. В действительности из-за трения и весовых соображений задаваемые значения Хзначительно меньше, чем Хm.Если оптимальная ордината у d = у f = Y, то допустимые приращения Δу d ≤ 0, и должно выполняться неравенство( p − p + − ρV 2 tgμ sin θ cos θ)d ≥ 0 .(5)Если же для контура, в концевой точке которого у d = у f = Y, условие (5) не выполняется, то это значит, что оптимальное у d < Y, т.е.допустимы приращения Δу d любого знака, и условие, определяющее оптимальную ординату у d , имеет видΦ ≡ ( p − p + − ρV 2 tgμ sin θ cos θ)d = 0 .(6)+Согласно ему при у d < Y равенство р d = р выполняется толькодля уже обсуждавшегося сопла длины Хm с равномерным потоком на срезе.
В общем случае θ d > 0 и в силу условия (6) р d > р+.Это, в частности, имеет место при работе сопла в пустоте (при р+= 0).В задаче построения оптимальной расширяющейся части сопла для удовлетворения пары условий: у d = у f = Y или равенства(6) и х d = Х или θ d = 0 при Х > Хm есть два произвола: интенсивность пучка волн разрежения и положение точки h на его ЗХ. Прирасчёте пучка волн разрежения методом характеристик (МХ)сначала из каждой вновь рассчитанной точки оси х выпускаетсяпрямолинейная С+-характеристика, отвечающая соплу с равномерным потоком на срезе. Пока интенсивность пучка волн разрежения мала, невелика и длина таких сопел, т.е. х d < Х.
С момента, когда это неравенство нарушится, с ЗХ с использованиемусловия (4) выпускается несколько ЭХ и с использованием квадратичной интерполяции находится такая точка h ЗХ, что с требуемой точностью в точке d ЭХ выполняется равенство х d = Х.В точке d все параметры известны, и сначала у d < Y, а леваячасть условия (6) Ф положительна (сначала р d >> р+ при θ d << 1).С ростом интенсивности пучка разрежения у d растёт, Ф уменьшается, и при некоторой его интенсивности в точке d выполнитсялибо условие (6), либо равенство у d = Y.
Найденные отрезки bh275ЗХ и hd ЭХ формулируют задачу Гурса, решение которой (см. Гл.3.5) определит оптимальный контур bd расширяющейся части.При заданных сужающейся части, значениях Х, Y, р+, H, s и уравнениях состояния построенный контур реализует максимум тяги.Из технических соображений, в частности, связанных с тепловыми потоками в стенку сопла, может появиться запрет на изломы контура.
В описанном решении такой излом есть в точке b.Для его исключения в постановку задачи вводится ограничениена радиус кривизны контура r ≥ ε, где ε задано. В изменённой постановке излом заменится ещё одним УКЭ – окружностью радиуса ε, плавно примыкающей к контуру сужающейся части в точкеb, а пучок волн разрежения с фокусом в точке b – пучком волнразрежения, образующимся при обтекании участка окружностиbb°. В остальном структура оптимального решения и способ построения контура b°d останутся прежними.Для рассматриваемого однородного по H и s течения в плоском случае на отрезке hd С+-характеристики в дополнение к равенству (4) постоянен инвариант (см. Гл.
3.5)I + = θ + Φ ( p ) = θh , Φ ( p ) =p∫phctgμdp .ρVЭто – дополнительная, независящая от равенства (4) связь. Поэтому в таком случае параметры на отрезке hd постоянны, а самон прямолинеен. Треугольники bhd или b°hd покрывают С–-характеристики, которые, начинаясь на hd, несут постоянное значениеинварианта I– = θ – Ф(р) = θ h . Следовательно, в плоском случаеоднородное по H и s течение в треугольнике bhd – простая волнас прямолинейными С+-характеристиками, и все оптимальныеплоские сопла получаются укорочением однопараметрическогосемейства сопел с равномерным потоком на срезе. Контуры, получающиеся укорочением однопараметрического семейства аналогичных осесимметричных сопел, неоптимальны.
Однако согласно многочисленным расчётам по величине реализуемой тягиони уступают оптимальным лишь на десятые доли процента.Пусть форма сужающейся части не задана, но наряду с прочими заданными выше величинами фиксирован расход газа. Какой бы при такой постановке ни была сужающаяся часть (точнее,276дозвуковой контур), малые возмущения, связанные с варьированием сверхзвукового контура, не распространяются противсверхзвукового потока. Поэтому полученные выше условия, определяющие оптимальный сверхзвуковой контур, сохранят силу.Главный, возникающий при этом вопрос: каким будет оптимальный дозвуковой контур? В новой постановке задание длины всегосопла предполагает запрет на заглубление контура в его цилиндрическую часть (камеру сгорания), т.е. 0 ≤ х ≤ Х.
С учётом такогодобавления соображения качественного характера и расчёты(А.Н. Крайко, Н.И. Тилляева, С.А. Щербаков, 1986 [52]) показали, что претендент на оптимальный дозвуковой контур – внезапное сужение (рис. 4.11, в), возможно, ещё один тип УКЭ.а)б)Рис. 4.12При одинаковых общей длине и расходе такие сопла за счётбольшей длины сверхзвуковой части (сначала слегка сужающейся) имеют заметно большую тягу, чем сопла с плавным входом.При учёте вязкости в рамках осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса, замкнутых дифференциальной моделью277турбулентности, преимущество сопел с внезапным сужениемвозрастает (А.Н. Крайко, Е.В. Мышенков, К.С.
Пьянков, Н.И.Тилляева, 2002 [53]). Интересно, что при внезапном суженииувеличение тяги достигается не только при оптимальном профилировании сверхзвукового контура. Выигрыш получается дажетогда, когда используются построенные в предположении параллельного оси звукового потока в минимальном сечении укороченные контуры, дающие равномерный поток на срезе, причём,несмотря на сильнейшее перерасширение за точкой излома ивозникающий вблизи неё висячий скачок. Представление о полечисел Маха в таком сопле даёт рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
