А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Можно показать, что сформулированное правило (теорема Цемплена) справедливо для УВ произвольной интенсивности. В нормальном газеизэнтропа – вогнутая (как на рис. 1.4), а в ненормальном – выпуклая кривая. Для совершенного газа в силу равенства (1.1.5)18ω = χ1/ γ ( s ) p −1/ γ , ω p = −χ1/ γ p − ( γ+1) / γ / γ, ω pp = ( γ + 1)ω /( γ 2 p 2 ) > 0 . (8)При коэффициенте теплопроводности λ тепловой поток q == – λ∇Т или, если ось n направить по ∇Т, то∂T(9)q = −λ .∂nНа УВ ⎪дT/дn⎪ = ∞, и тепловой поток по нормали к поверхностиразрыва при сколь угодно малом, но отличном от нуля λ был быбесконечным. По указанной причине малые вязкость и теплопроводность приводят к тому, что в действительности вместо разрывов в газе имеют место узкие зоны с большими, но конечнымиизменениями Т и других параметров.
Покажем, как только из-затеплопроводности при прохождении таких зон будет расти энтропия (вязкость вносит дополнительный вклад).б)а)T2TTδq < 0T1δq < 0δq > 0δq > 0T1T2nnРис. 1.5При прохождении размазанного из-за вязкости и теплопроводности скачка уплотнения в согласии с формулой (9) количество тепла, получаемого газовой частицей – движущимся слоемгаза фиксированной массы ρΔn,∂ 2Tδq = q( n ) − q( n + Δn ) = k 2 Δn .∂nПоэтому при движении в направлении роста температуры (дляскачка уплотнения на рис. 1.5 слева направо) до точки перегибаδq > 0, а после неё δq < 0, т.е. частица газа сначала получает, азатем отдаёт тепло.
Изменение энтропии [s] равно интегралу отδq/Т, т.е.19δqδq,+ ∫TTn<0n >0где n отсчитывается от точки перегиба кривой Т = Т(n).Поскольку извне ввиду пренебрежимо малых вне размазанного разрыва производных дT/дn притока тепла нет, то суммарноеколичество полученного и отданного тепла равно нулю, т.е.∫ δq + ∫ δq = 0 .[ s ] ≡ s2 − s1 =n<0∫n >0В случае скачка уплотнения температура Т – монотонно растущая функция координаты n. Поэтому отсюда и из предыдущегоравенства следует, что из-за теплопроводности[ s ] ≡ s2 − s1 > 0 .(10)Отличие скачка разрежения (рис. 1.5, б) от скачка уплотнениятолько в том, что газовый слой отдаёт тепло сначала (при n < 0,но по-прежнему при более высокой температуре), а получает потом (при n > 0, но по-прежнему при более низкой температуре).Поэтому и для скачка разрежения (если они реализуются, как вненормальном газе) справедливо неравенство (10).В малой окрестности точки 1 для изэнтропы имеемω = ω( p ) = ω( p, s1 ) = ω1 + ω p1 ( p − p1 ) +(11)ωω+ pp1 ( p − p1 ) 2 + ppp1 ( p − p1 )3 + ...
.26В той же окрестности точки 1 для УА с учётом равенства (7)справедливо разложениеωω = ω( p ) = ω( p, s > s1 ) = ω1 + ω p1 ( p − p1 ) + pp1 ( p − p1 )2 +2(12)ω ppp1ω pp133( p − p1 ) + ωs1( p − p1 ) + ... .+612T1Сравнение равенств (11) и (12) показывает, что в начальнойточке УА пересекается с изэнтропой, имея одинаковые наклоны икривизны, т.е. со вторым порядком касания.При постоянном давлении с подводом тепла (с ростом энтропии) газы обычно расширяются, т.е. ωs > 0. Следовательно, согласно (12), для нормальных газов, у которых ωрр > 0, в окрестно20сти начальной точки взаимное расположение УА и изэнтропытакое, как показано на рис. 1.6, а.
На нём сплошная кривая Г –УА (адиабата Гюгонио), штрих-пунктирная кривая – изэнтропа, аштриховая прямая – общая касательная к ним в точке 1. Кстати,⎛ ∂ω ⎞ ⎛ ∂1/ ρ ⎞⎛ ∂p ⎞1 ⎛ ∂ρ ⎞−1ωp ≡ ⎜ ⎟ = ⎜= − 2 ⎜ ⎟ = 2 2 , a2 = ⎜ ⎟ ,⎟ρ ⎝ ∂p ⎠ s ρ a⎝ ∂p ⎠ s ⎝ ∂p ⎠ s⎝ ∂ρ ⎠ sгде а – скорость звука. С учётом этого уравнение УА (12) станетω = ω( p ) = ω1 −(13)ω ω ⎞⎛ωp − p1 ω pp1+( p − p1 ) 2 + ⎜ ppp1 + s1 pp1 ⎟ ( p − p1 )3 + ... .2 2ρ1 a1212T1 ⎠⎝ 6Для УВ малой интенсивности, подставив (13) в уравнениеПРМ (4), найдём−−1[ p][ p] ⎞⎛2 2j =ρV =ρV =−≈ ρ12a12 ⎜ 1 − ρ 2a 2 ω pp⎟ ≥ ρ1 a1 .
(14)[ω]2 ⎠1⎝В силу сказанного ранее, и в нормальном, и в ненормальном газах ω рр (р 2 – р 1 ) ≥ 0. Следовательно, для УВ малой интенсивностиV12 ≥ a12 .(15)Это означает, что в системе координат, в которой поток перед УВпокоится, нормальная к фронту скорость её распространения(16)D ≥ а1.Равенства в (15) и (16) имеют место лишь в предельном случае(р 2 – р 1 ) → 0, что, естественно, согласуется с определением скорости звука а.Можно показать, что в плоскости ωр УА аналогично изэнтропе в нормальном газе вогнутая (как на рис. 1.6, а), а в ненормальном – выпуклая кривая. Воспользовавшись этим, покажем,что неравенства (15) и (16) справедливы для УВ любой конечнойинтенсивности.
Действительно, согласно (13) модуль тангенсаугла наклона касательной к УА в точке 1 (штриховая прямая нарис. 1.6, б) равен (ρ 1 а 1 )2. Для штрих-пунктирной секущей, соединяющей точки 1 и 2 вогнутой УА (сплошной кривой нарис. 1.6, б) аналогичная величина равна j2 = (ρ 1 V 1 )2. Из соотношения наклонов секущей и касательной вытекает справедливостьнеравенства (15) и его следствия – (16). Для ненормального газа22 21 12 22 221УА вогнутая, однако точка 2 лежит в четвёртом квадранте(рис. 1.3). Поэтому получается тот же результат.pа)Γб)p211s = s100ωωРис.
1.6Аналогично доказывается, что скачок разрежения конечнойинтенсивности в нормальном газе и скачок уплотнения также конечной интенсивности в ненормальном газе распространялись быс дозвуковой скоростью. Так как в подобных ситуациях слабыескачки тех же знаков распространялись бы с большей (почти звуковой) скоростью, то физически очевидно, что указанные разрывы должны мгновенно разрушаться. Ниже возможность такогоразрушения рассмотрена при анализе эволюционности разрывов.Для установления связи между V 2 и a 2 перепишем уравнениеУА (5) в формеω + ω2h ( p2 , ω2 ) − h( p1 , ω1 ) − 1( p2 − p1 ) = 0(5 1 )2и воспользуемся его симметрией относительно индексов 1 и 2.Если на УА Г с начальной точкой 1 точка 2 отвечают скачку, тона УА Г′ с начальной точкой 1′, совпадающей с точкой 2 (рис.1.7), точка 2′ отвечает скачку разрежения. В силу отмеченнойвыше симметрии уравнения УА, кривые Г и Г′ пересекаются и вточке 1, и в точке 2.
Для Г′ точка 1′ (она же 2) является начальной. Поэтому в ней Г′ касается изэнтропы s = s 2 . В силу этого модуль тангенса угла наклона касательной – штриховой прямой врамке на рис. 1.7 равен (ρ 2 а 2 )2. Аналогичная величина для штрих22пунктирной секущей, соединяющей точки 1 и 2, равна j2 =(ρ 2 V 2 )2. Из соотношения наклонов секущей и касательной следует справедливость неравенстваV22 ≤ a22 ,(17)где равенство имеет место только при с р 2 = р 1 . Для ненормального газа неравенство (17) выполняется для скачков разрежения.pΓ2 = 1′2 = 1′Γ′Γ′Γ1 = 2′ω0Рис. 1.7Итак, для скачков уплотнения в нормальном и скачков разрежения в ненормальном газе в системе координат, в которой УВпокоится, нормальная компонента вектора скорости потока передней сверхзвуковая, а за ней – дозвуковая.
На примере сверхзвукового стационарного обтекания заостренного тела сказанное демонстрирует рис. 1.8. На нём индексы у касательной компонентыV τ опущены ввиду её непрерывности.В задачах стационарного обтекания для дальнейшего важнознать взаимное расположение УВ конечной интенсивности иприходящих на неё спереди и сзади слабых скачков (в пределе«бесконечно слабых»). Для последних V n ≈ а. Так как нормальнаякомпонента V перед УВ сверхзвуковая, а за ней – дозвуковая, тодля выполнения равенства V n = а линию слабого скачка перед УВнужно повернуть относительно V по часовой стрелке (этоуменьшает V n ), а за УВ – против часовой стрелки.
На рис. 1.8 дваслабых скачка даны штрих-пунктиром.23Vn1 > a1Vn2 < a2VτVτV2V1Рис. 1.8Найденные выше соотношения дают связи между приращениями термодинамическими параметров на слабых скачках.Связь с [p] приращения нормальной компоненты вектора скорости: [V n ] = [V n 0], получается из закона сохранения нормальнойкомпоненты количества движения. С использованием формулы(14) для слабых скачков она принимает вид[ p][ p] ⎛[ p] ⎞[ p]2 2.(18)≈±[Vn ] = [Vn0 ] = −⎜ 1 − ρ1 a1 ω pp1⎟≈±ρ1a1 ⎝ρ1a1j4 ⎠Знак «+» («–») отвечает УВ, движущейся по газу вправо (влево).Получим выражение для скорости D слабых УВ. Согласно(14) при k = 1 и 2−1[ p] ⎞[ p] ⎞⎛2 2⎛2 2ρk2 (Vk0 − D ) 2 ≈ ρ12a12 ⎜ 1 − ρ 2 a 2ω pp⎟ ≈ ρ1 a1 ⎜ 1 + ρ a ω pp⎟ .22 ⎠1⎝⎠1⎝Отсюда для слабой УВ, распространяющейся по газу вправо,[ p] ⎞[ p ] ⎞ ω2⎛⎛02 3.(19)V10 − D ≈ − ⎜ a + ρ 2 a 3ω pp⎟ , V2 − D ≈ − ⎜ a + ρ a ω pp⎟4 ⎠14 ⎠1 ω1⎝⎝После подстановки ω 2 ≈ ω1 + ω p1 [p] = ω 1 – [p]/(ρa) 1 2 второе равенство примет вид⎛[ p][ p] ⎞,(20)+ ρ 2a 3ω ppV20 − D ≈ − ⎜ a −ρa4 ⎟⎠1⎝а так как а–2 = ρ р = – ω р /ω2, то2[ p]− ρ12 ω pp1[ p ] ,( a −2 ) p = 4 − ρ2 ω pp , a2−2 ≈ a1−2 + 2ρaρ1a1424и[ p][ p]+ ρ12 a13ω pp1.(21)ρ1a12Из равенств (19) – (21) найдём, что[ p][ p]V10 − D + a1 ≈ −ρ12 a13ω pp1, V20 − D + a2 ≈ ρ12 a13ω pp1.44ОткудаD = (V10 + a1 + V20 + a2 ) / 2 .(22)Итак, скорость слабой УВ равна полусумме скоростей звуковыхволн до и после неё, движущихся по газу в том же направлении.При выводе формулы (22) учитывались члены до [p] включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
