А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если f – число степеней свободымолекул (или атомов), образующих газ, то в рамках классическойтермодинамики γ = (f +2)/f.Глава 1.2. Уравнения движения идеального газав интегральной формеПусть t – время, x k – декартовы координаты (k = 1, 2, 3), i k –орты их осей, Ω(t) – произвольный замкнутый объём, дΩ(t) – ограничивающая его поверхность, а n – внешняя нормаль к элементу dσ этой поверхности (рис. 1.1). Если элементы dσ поверхности10дΩ(t) движутся, и D – проекция их скорости на нормаль n, то длялюбой функции A = A(t, x 1 , x 2 , x 3 ) = A(t,r) справедливо равенство(рис. 1.1)ddAd Ω = ∫ Ad Ω + ∫ ADd σ .∫dt Ω ( t )dt Ω∂ΩЗдесь Ω – тот же, но фиксированный (независящий от времени)объём, а дΩ – ограничивающая его поверхность.
В частности, дляжидкого объёма Ω(t), состоящего из фиксированных частиц(жидких частиц) D = Vn, где V – вектор скорости газа, последнееравенство примет видddAd Ω = ∫ Ad Ω + ∫ AVnd σ .∫dt Ω ( t )dt Ω∂Ω(1)x3i3i1x1i2nx2– рndσΩ(t), дΩ(t)Ω, дΩРис. 1.1Воспользовавшись равенством (1), законы сохранения массыколичества движения и энергии запишем в форме:1) закон сохранения массы:dρd Ω = − ∫ ρVnd σ ,dt Ω∫∂Ω2) закон сохранения количества движения:dρVd Ω = − ∫ {ρV ( Vn) + pn}d σ ,dt Ω∫∂Ω3) закон сохранения энергии:11dρ(2e + V 2 )d Ω = − ∫ ρVn(2h + V 2 )d σ.dt Ω∫∂ΩТ а б л и ц а 1.1.Функции в законах сохраненияЗакон сохраненияABмассыколичества движения(k = 1, 2, 3)энергииρρVρV kρVk V + pi kρ( 2e + V 2 )ρV( 2h + V 2 )Таким образом, для идеального газа законы сохранения в интегральной форме имеют видdAd Ω = − ∫ Bnd σ .(2)dt Ω∫∂ΩЗдесь А(t, r) – скалярная, В(t, r) – векторная функции, а r означаетсовокупность переменных x 1 , x 2 , x 3 .
В общем случае А и В могутпретерпевать разрывы на поверхностях Ω D , разделяющих объёмΩ на подобласти непрерывности параметров. Выражения для А иВ через параметры потока, включая проекции V k вектора скорости газа V на оси х k , приведены в табл. 1.1.Глава 1.3. Соотношения на разрывахи их классификацияСокращение: ПР – поверхность разрыва.Перейдём в инерциальную декартову систему координат,движущуюся по нормали n к рассматриваемой точке о поверхности разрыва (ПР) с постоянной скоростью D – «нормальной» скоростью ПР в этой точке (рис. 1.2). В такой системе координат врассматриваемый момент времени в точке о ПР покоится. Началокоординат поместим в точку о, а ось x 1 направим по n.
В законахсохранения (1.2.2) в качестве объёма Ω возьмем прямоугольныйпараллелепипед: ⎪x 1 ⎪ ≤ ε, ⎪x 2 ⎪ ≤ Δ, ⎪x 3 ⎪ ≤ Δ, где ε и Δ малы по12сравнению с масштабами, характеризующими неоднородностьтечения в окрестности точки о. Благодаря этому ПР, близкая впределах такого параллелепипеда к плоскости x 2 x 3 , делит егопрактически пополам, а максимальное значение скорости ПР(равной нулю в точке о) – величина порядка (дD/дх 2 + дD/дх 2 )Δ.На боковых гранях параллелепипеда компонента В 2 вектора В сразных сторон от ПР отличается на величину порядка (дВ 2 /дх 2 )Δ.Аналогично для верхней и нижней граней – на величину порядка(дВ 3 /дх 3 )Δ. С учётом этого и того, что внешние нормали на противоположных гранях параллелепипеда направлены в противоположные стороны, для разных составляющих левой и правойчастей равенства (1.2.2)dAd Ω = − ∫ Bnd σdt Ω∫∂Ωполучим оценки⎪⎧⎛ ∂A ∂A ⎞ ⎛ ∂D ∂D ⎞ 3 ⎪⎫O ⎨Δ 2ε ⎜ − + + ⎟ + ⎜+⎟ Δ [ A]⎬ =∂t ⎠ ⎝ ∂x2 ∂x3 ⎠⎝ ∂t⎪⎩⎪⎭⎧⎪⎫⎪⎛ ∂B ∂B ⎞= −O ⎨εΔ 2 ⎜ 2 + 3 ⎟ + Δ 2 [ Bn ]⎬ .⎝ ∂x2 ∂x3 ⎠⎩⎪⎭⎪(1)Здесь [ϕ] = ϕ + – ϕ – , индексы «–» и «+» метят параметры с разныхсторон от ПР, а В n ≡ В 1 – проекция вектора В на нормаль к ней.Слагаемые левой части равенства (1) и первые два слагаемыхего правой части – величины более высокого порядка малости,чем последнее слагаемое справа.
Поэтому следствие этого равенства – непрерывность нормальной к ПР компоненты вектора В,т.е. [В n ] = 0. Отсюда, в согласии с табл. 1.1, в движущейся с ПРсистеме координат на ПР выполняются законы сохранения:1) массы[ρVn ] = 0,(2)2) количества движения в проекции на нормаль к разрыву[ρVn2 + p ] = 0,(3)3, 4) количества движения в проекциях, «касательных» к разрыву:[ρVnV2,3 ] = 0,13или, если V τ – двумерная проекция вектора V на ПР, то[ρVn Vτ ] = 0,5) энергии[ρVn (2h + V 2 )] = 0.(4)(5)x3x2оnx1ΩРис. 1.2В исходной (неподвижной – лабораторной) системе координат произвольная точка ПР движется по нормали к себе со скоростью D, а соответствующим проекциям скорости газа приписаниндекс «0». В ней в силу равенствVn = Vn0 − D, Vτ = Vτ0полученные законы сохранения на ПР примут вид[ρ(Vn0 − D )] = 0 ,(20)[ρ(Vn0 − D ) 2 + p ] = 0 ,(30)[ρ(Vn0 − D ) Vτ0 ] = 0 ,(40)⎡ρ(Vn0 − D ) {2h + (Vn0 − D )2 + (Vτ0 )2 }⎤ = 0 .(50)⎣⎦Введём непрерывный в силу (1.3.2) поток массы через разрыв j = ρ 1 V n1 = ρ 2 V n2 .
Здесь и далее индексы «1» и «2» заменяютиндексы «–» и «+».14Есть две возможностиа) j = 0 – нет потока вещества через разрыв, т.е.Vn1 = Vn2 = 0(6)илиVn10 = Vn20 = D .(60)Из (3) и (4) имеем[ p] = 0 .(7)Законы сохранения (4) и (5) в случае j = 0 выполняются автоматически, допуская[ Vτ ] ≠ 0, [2h + V 2 ] ≠ 0 ,Такие разрывы называются контактными (обычно, если [V τ ] == 0) или тангенциальными (обычно, если [V τ ] ≠ 0).б) j ≠ 0.В этом случае законы сохранения массы (2) и (20) и нормальной компоненты количества движения (3) и (30) остаются неизменными, т.е.[ρVn ] = [ρ(Vn0 − D )] = 0 ,(8)[ρVn2 + p ] = [ρ(Vn0 − D ) 2 + p ] = 0 ,(9)закон сохранения касательной компоненты количества движения(4) и (40) после сокращения на j ≠ 0 примет вид[ Vτ ] = [ Vτ0 ] = 0 ,(10)0а закон сохранения энергии (5) и (5 ) также после сокращения на j≠ 0 с учётом (4) станет[2h + Vn2 ] = [2h + (Vn0 − D ) 2 ] = 0 .(11)Поверхности разрыва, на которых j ≠ 0, называются ударнымиволнами (УВ).Глава 1.4.
Ударные волныСокращения: ПР – поверхность разрыва, ПРМ – прямая РэлеяМихельсона, УА – ударная адиабата, УВ – ударная волна.Для ударных волн (УВ) закон сохранения энергии (1.3.11),как и законы сохранения массы (1.3.8) и нормальной компоненты15количества движения (1.3.9) – для любых поверхностей разрыва,не содержит непрерывной на УВ касательной компоненты скорости V τ . Поэтому при анализе соотношений на УВ о существовании этой компоненты можно забыть, что эквивалентно переходув систему координат, которая движется по касательной к ПР соскоростью V τ . С учётом этого перепишем нужные для дальнейшего законы сохранения, опустив у нормальной компоненты индекс «n»:[ρV ] = 0,(1)[ρV 2 + p ] = 0,(2)[2h + V ] = 0.(3)Вспомнив определения удельного объёма ω = 1/ρ и потокамассы j = ρ k V k = ρ k (V k 0 – D), выразим через них V k .
Подставив V k== jωk в (2) и разрешив получившееся равенство относительно j2,придём к уравнению[ p]p − p1j 2 ≡ ρ2kVk2 = ρ2k (Vk0 − D )2 = −≡− 2, k = 1, 2 .(4)[ω]ω2 − ω1Назовём его уравнением прямой Рэлея–Михельсона (ПРМ).2p21ω0Рис. 1.3Аналогично, подставив V 1,2 = jω1, 2 в уравнение (3) и исключив j2 с помощью равенства (4), придём к уравнению ударнойадиабаты (УА) (адиабаты Гюгонио или Ренкина–Гюгонио)16ω1 + ω2( p2 − p1 ) = 0 .(5)2Так как j2 неотрицательно, то в силу (4) точка 2 может оказаться во втором или четвёртом квадрантах (рис. 1.3). При этомросту давления отвечает уменьшение удельного объёма, а следовательно – рост плотности. Это – скачки уплотнения.
Напротив,уменьшению давления отвечает рост удельного объёма и уменьшение плотности. Такие УВ – скачки разрежения.h2 − h1 −pΔs > 0Δs = 0Δs < 0p10ω1ωРис. 1.4Уравнение изэнтропы в силу равенства (1.1.2) в дифференциальной форме имеет вид(6)dh − ωdp = 0 .Для совершенного газа получающееся отсюда уравнение адиабаты Пуассона (1.1.5) сводится к формулеpωγ = p1ω1γ exp( Δs o ), Δs o = ( s − s1 )/cv .Три таких изэнтропы для Δs < 0, Δs = 0 и Δs > 0 изображены нарис. 1.4.Уравнение УА (5) получается, если уравнение (6) проинтегрировать от состояния 1 до состояния 2, взяв среднее значениеудельного объёма.
Поэтому в плоскости ωр УА и изэнтропа в окрестности начальной точки 1 должны быть близки друг к другу.Везде далее газ через УВ течёт от состояния 1 к состоянию 2.17Записав уравнения состояния в форме h = h(p, s), ω = ω(p, s) иучтя, что согласно равенству (1.1.3) (дh/дp) s ≡ h p = ω, а (дh/дs) p ≡≡ h s = T, выпишем для h 2 и ω 2 разложения по [p] и [s] с тем, чтобы после их подстановки в уравнение УА (5) выразить [s] через[р]. В (5) ω2 умножено на [р].
Поэтому запишемωωh2 = h1 + T1[ s ] + ω1[ p ] + p1 [ p ]2 + pp1 [ p ]3 + ...,26ωω2 = ω1 + ω p1[ p ] + pp1 [ p ]2 + ... .2Подстановка этих представлений в уравнение (5) дастωωωωT1[ s ] + ω1[ p ] + p1 [ p ]2 + pp1 [ p ]3 − ω1[ p ] − p1 [ p ]2 − pp1 [ p ]3 + ... = 0.2624Отсюда после сокращений найдёмω(7)[ s ] = pp1 [ p ]3 + ... ,12T1что оправдывает пренебрежение [s][р] и [s] в разложениях h 2 иω2.Так как вне УВ в идеальном (нетеплопроводном) газе потокитепла отсутствуют, то при прохождении через УВ энтропия неможет уменьшаться.
Следовательно, для УВ малой интенсивности возможное направление изменения давления определяетсязнаком производной ωрр . По этой причине производную ωрр иногда называют фундаментальной производной.Законы термодинамики не определяют знака ω рр . Однако уобычно встречающихся газов ω рр > 0. По этой причине такие газы получили название нормальных. В противоположность этому,газы с ω рр < 0 назовём ненормальными. Согласно (7), в нормальном газе, в котором ωрр > 0, возможны слабые скачки уплотненияи невозможны слабые скачки разрежения. И наоборот: в ненормальном газе, в котором ω рр < 0, возможны слабые скачки разрежения и невозможны слабые скачки уплотнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
