И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Коэффициент — — (ст+ 1-) вдоль характеристики Са меняется непрерывно. Транспортное уравнение для слабого разрыва вдоль характериствки С, есть др(р, з) ~рр др [р ' = — — "" +1р,=- Ь( — '), Гр и), з], дифференцируя по и (р и доз(р, з) ар рр дсз(р, з) „др(р, з] так как из выражения р=[[р(р, ю независимы), имеем () ) др(Р з) дз =]" ар(Р з) Гз дз Далее, — =с ' +р ' = ' [Я, +р — ~+ д(рс) др(р, з) дс(р, з) др(р, з) à — д )гго дз дз дз дз др а У[о Г, ру., р [2 рас ~ дз т' Гр Гр )» Гр 2 $г Гр 2 ! рз[р / р' Подставляя в уравнение (3,54), получим после некоторых преобразований транспортное уравнение вдоль характеристики С». для величины Лз): О+Я= — — Рз+ — ((т — 2) 1.— (2п + и ) сМ— л»+2 з ! 4 4 1 — (2с — ти) ! Я,' — — !(пзсМЕ+ 2 (и, + и,) сиМ + д1пА! ° 1 д!пА + (2с — ти) — 1,+ 4си — ~ =а,Яа+ ссзК+се„ д !ПА дз !пА ! дх дхз (3.55) где Аналогично выводится транспортное уравнение для величины [..
Формально оно может быть получено из (3.55) просто заменой с на — с и 1. на Р и гг на т'.: О 5 = — — Еа + — ( (т — 2) Я вЂ” (2п, + и,) сМ— т+2 а 1 4 4 д!пА ! 1 ( д!пА — (2с — ти) — ~ à — — ! и сЬЯ+2(п +а ) сиМ вЂ” '+ 1 3 дх + (2с — ти) †" Я + 4си — ~ = [),1.а + рзЕ + рз. (3.55) дх »(хз Рассмотрим, например, транспортное уравнение для величины Л 106 *> Траиспортиое уравиеиие для слабого разрыва вдоль характеристики С». есть Ре [Р] =а» [КР+(аз-1-2Р3[Р[+аз так как РзКз — К,Р,=КзРз — К,К,+К,К,— К»К;=-»тз[Р[+К»[К[=-[Р[(Кз — Рт+Рт+ +Р ) = — [Р[ +2Р»[Р[.
(3.55). Коэффициенты при степенях )г в правой части при переходе через характеристику С+ меняются непрерывно. Поэтому если вдоль характеристики С~ распространяется слабый разрыв, то эволюция вдоль характеристики С+ комбинации производных )х с каждой стороны С~ описывается одним и тем же уравнением (3.55), но с разными начальными данными.
В частности, если в некоторой точке слабый разрыв отсутствует, то его не будет и вдоль всей характеристики С+, т. е. он не может ни возникнуть, ни исчезнуть, если только решение и его первые производные остаются ограниченными. Другая важная особенность уравнения (3.55) состоит в том, что оно нелинейно, является уравнением Риккати. Из теории уравнения Риккати известно, что его решение может обращаться в бесконечность на конечном интервале изменения независимого переменного. Эффект образования неограниченных производных (разрыв производных второго рода) при ограниченности решения системы квазилинейных уравнений называют градиентной катастрофой. Итак, в первоначально непрерывном сколь угодно гладком движении газа со временем может возникнуть градиентная катастрофа, и для рассматриваемой системы квазилинейных уравнений однозначное и непрерывное решение становится невозможным.
Этот факт имеет очень большое значение для решения уравнений газовой динамики. й З.б. ОДНОЭНТРОПИЧЕСКОЕ ПЛОСКОЕ ОДНОМЕРНОЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА Рассмотрим случай одноэнтропического одномерного течения газа, когда энтропия газа постоянна и одна и та же для всей рассматриваемой области. В этом случае уравнение (3.35) дс дс — +и — =О дс дх тождественно удовлетворяется, а плотность и скорость звука есть функции только давления: р=р(р, з=сопз1) =р(р); с=с(р, зем сопз1) =с(р). Поэтому для движения газа имеем два уравнения относительно двух неизвестных функций и и р: Р+и+ — Ос (р) = — си 1 д!пА(х) рс дх 0 и — 0 р=си 1 д1п А(х) рс дх Для выяснения некоторых свойств этой системы вернемся к обще- му случаю системы (3.1) для п=2: 107 дх (3.57) ди, диг ди диг А„— +А„+„— +В„= р,. дг дг дх дх В общем случае Ац, ..., грг зависит от х, й иь иг.
В некоторых задачах вместо независимой переменной 1 вводят независимую переменную у. Рассмотрим случай, довольно широко встречающийся в задачах газовой динамики, теории пластичности и других, когда 1р1 —— =грг=О, а А11, ..., Вгг зависят только от и, и и, (такая система называется приводимой): дг дг дх дх (3.58) диг диг ди, диг Ьг = Агг — + Агг — + Вм + вгг = О. дг ' дг дх дх диг д(иг, иг) д(и„иг) д(х, 1) д(и„иг) д(К, х) .
дг дх д(х, иг) д(х,иг) д(х, У) д(х, У) д(и„ х) диг аналогично диг д(и,, и,) д(х, 1) . дг дх д(х, иг) д(х, 1) ди1 диг д(иг, и,) д(х, 1) . дх д1 д(Д иг) д(х, 1) ди диг д(иг, и1) д(х, г) . дх дг д(1, и,) д(х, 1) ди, Поэтому система уравнений (3.58) после деления на 1~0 примет вид дх дх С.'= — А — +А, — + 11. диг 1' ди1 диг ди, (3.59)  — — „— О. д1 д( диг ди, 2 21 диг 2' диг 106 Покажем, что если решение таково, что якобиан )=д(и1, иг)/д(х, 1) ФО, то путем замены зависимых и независимых переменных можно из квазилинейной системы уравнений Е1=0, 2.2=0 получить эквивалентную ей линейную систему уравнений.
Перейдем от независимых переменных х, 1 к новым независимым переменным иь иг. Имеем Система (3.59) есть линейная система уравнений, так как Ап, ..., Вм зависят только от независимых переменных и~ и и,. Каждое решение приводимой квазилинейной системы (3.58) при /ФО есть решение преобразованной линейной системы (3.59). Обратно, каждое решение линейной системы (3.59), если якобиан у=д(х, 1)/д(иь ии)~0, дает решение исходной системы (3.58).
Такое преобразование носит название преобразования годографа. Может показаться, что метод годографа делает ненужным исследование квазилинейной системы (3.58), Метод годографа обладает существенным недостатком: при его применении оказывается во многих случаях трудно удовлетворить граничным условиям. Большинство физических граничных условий дается уравнениями, содержащими х и 1 (или х и у).
Поэтому в плоскости годографа надо найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на неизвестной до решения границе. Найти же общее решение линейной системы (3.59) в плоскости годографа (иь ии), преобразовать его в плоскость (х, 1) и затем найти частное решение, удовлетворяющее данным граничным условиям, не удается. Рассмотрим теперь случай, когда система уравнений (3.57) гиперболическая. В этом случае ее можно записать в форме (3.2) дих, ди1, дих — +С вЂ” +С вЂ” =яп д1 и дх 1 дх (3.60) Уравнения характеристик имеют вид (),1Ф) а) С: дх/Ж=Л,(х, 1, иь ии), (3.61) С; г(х/й =- йи (х, 1, и ь ии) . Когда в Х1 и хз подставлено решение, то уравнения характеристик являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, решение которых определяют два однопараметрических семейства кривых: для С: г,(х, 1) =-сопз(; для С~: г',(к, 1) =сонэ(.
Введем новые параметры а=а(х, 1), 5=()(х, 1) вместо х, 1, такие, что р постоянно вдоль С кривых и а постоянно вдоль С, Для этого возьмем любую кривую /, заданную уравнениями.к=х(а), 11— -1(о), нигде не имеющую характеристического направления. Через любые две точки а1=р, пи=а на / проведем характеристики С+ и С до точки М(х, 1), где они пересекаются (рис. 3.7). Такое пересечение существует, если )а — 5~ достаточно мало, так как характеристические направления ~, н ),и различны. 1огда координаты а, р точки (х, 1) будут новгямп независимыми переменными. Они называются характеристическими переменными. Двигаясь вдоль С+ из точки М(пи=а, о1=6) по'направлению к 1, будем иметь й=о,=сопя(, а а=а будет изменяться; двигаясь вдоль С из точки М(а, р), будем иметь а=а~=сопят, а Р будет изменяться.
Поэтому вдоль С, имеем дх лх = — йа, дм пг = — Йа, д~ дм и второе уравнение (3.61) в области, где введены характеристические параметры вдоль Се, примет вид —" — Х, — = О. (3.62а) ди да Аналогично вдоль С имеем Ж= — сф, д~ д(1 с(х = — ~ф, дх дб Рис. 3.7 Вдоль С+. ~Й~~ (з ОЬ~ 1 д 2 дГ Будем предполагать, что 1,'ФО и 1~'ФО. Этому условию всегда можно удовлетворить, введя, если необходимо„вместо и, и их новые функции.
Тогда система (3.60) примет вид — +От — =Я„вдоль С, дя2 й ' Ж (3. 63а) — +Π— =)т вдоль С+, дл„дар дГ 'И (3.63б) где ыо и первое уравнение примет вид —" — Х, — = О. (3.62б) дР дР Вместо переменных а и р можно ввести другие переменные: а,= =а1(а), 61=Р1(Р), где а1(а) и Р1(Р) — любые непрерывные монотонные функции. В переменных и, р линия 1 примет вид п=-р.
Запишем систему (3.60) в характеристической форме (3.3): д1 дх / , ди, дги Ии; Вдоль С: — -1- Х, — = —, поэтому д~ ' дх дГ' (' — '+ р — =), и ' и 11 з о= —, о= —,л= — д= —, й 1! т!'хз'!!~хз 1,' !!' !! 1, Если перейти к новым переменным а и р, получим вместе с уравнениями (3.62а) и (3.62б) систему дх д! — — )! — = О, д!х ды дх д! — — )! — =О, дй дб дид, ди! д! — '-(-б, — * — 7~,— =О, да д!х да (3.64) (3.65) Ге ° Нп!!г(и2= (12(!х! и2) и дают два семейства характеристик Г и Г!. независимо от вида решения и!(х, 1), из(х, 1), т.
е. интегрируются независимо от первых двух уравнений (3.64) и раз и навсегда для каждой системы могут быть построены в плоскости годографа (и!, и~). На практике часто встречаются такие задачи; в области (1) решение постоянно (покой или постоянное течение и! =сонэ(, и,=сонэ(). С этой областью граничит другая область (2), где и! и их непостоянны. Тогда эти области разделены обязательной характеристикой, так как разрыв первых нли высших производных может быть только вдоль характеристики. Покажем, что решение в области (2), граничной с областью постоянного течения (1), имеет особенно простой вид, если система (3.60) приводима. Для приводимой системы было показано, что если якобиан 1ФО, то система может быть преобразована ди!, ди! д! — '+ О, — ' — 1с,— =О. дй ' дй ' дй Система уравнений (3.64) имеет простой вид; каждое из уравнений содержит производные только по одной независимой переменной и коэффициенты не зависят от независимых переменных и и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
