И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. система линейна относительно производных ди,/дх„ ди,/д1 и самих функций иь то она называется линейной. Если Ац и В„зависят только от х и 1, а чи зависит от х, 1 и иь причем от и; нелинейно, то система называется полулинейной. Если все пи=О, то система называется однородной. Можно нетколько упростить запись системы, если ввести в рассмотрение векторы ди ~ ди, ди„ д~ ~ д~ дС и матрицы А„...
А,л '1л1 '1лл Вл, ... Влл А= и В= В матричной форме система примет вид ди ди А — + — = р. д~ дх (3.1) Л1, А| Л, ~Л~ !А~ )А~ А '= А Ли ~А! !А~ ~А~ 86 Будем предполагать, что матрица А неособая, т. е. определитель. матрицы не равен нулю с1е1А=~А ~ФО. В этом случае существует и единственна обратная матрица: где А'„— алгебраические дополнения элемента А„матрицы. Для обратной матрицы имеем Е=А-'А, где 10...0 ОО ... 1 Е= единичная матрица. Умножая слева исходную систему (3,1) на обратную матрицу, получим А — 'А — +А — ' — =А '<р. ди ди дГ дх Вводя С=А-'В и и=А-'<р, получим Š— +С вЂ” =д.
ди ди д~ дх (3,2) В этом выражении часто Е не пишут. Система (3.2) называется гиперболической, если ее можно привести к виду (~~да 1 ~Ъ'1 (и ~д1 дх/ или, в компонентах, а(ди; ди; 1, ( — +˄— ) =1,й;=~,, д~ дх ) (3.3) вдоль некоторого направления, характеризуемого в плоскости к, т величиной Хм Эти направления называются характеристическими. Линии в плоскости х, 1, определяемые уравнениями — =).„(и, к, г), (ЗАа) Ш называются характеристиками. Каждое из уравнений системы (3.3) называют соотношением вдоль соответствующей характеристики.
Сама же запись системы (3,3) называется характеристической формой системы. 87 где по Й суммирование не проводится. Здесь 1'(х, 1, и) — левый собственный вектор и Хг. — собственное значение матрицы С, причем все собственные значения Х вещественны. Будем считать, что собственные значения занумерованы в порядке возрастания: 1~<Хз<...<Х~; знак равенства допускается ввиду возможности кратных корней. Каждый корень Х„повторяется здесь столько раз, какова его кратность. Собственные векторы !" должны быть такими, чтобы определитель матрицы 81,и~! был отличен от нуля. Отметим, что в каждое уравнение входят производные от и: ди; ди~ дгл — = — +Х,— ' и д~ дх Чтобы привести систему (3.2) к характеристической форме, необходимо обеспечить выполнение условия 1»С=),»!», /г=!,..., и.
(3.4б) Система (3.46) — это система алгебраических линейных однородных уравнений относительно ! . Чтобы она имела нетривиальное решение, необходимо равенство нулю определителя (С вЂ ).Е) =О,, т. е. собственные значения должны быть корнями векового уравнения матрицы С. Итак, условия гнпер~боличности таковы; 1) все собственные значения матрицы С должны быть действительными; 2) у матрицы С должны существовать п линейно независимых собственных векторов 1'. Прн наличии совпадающих г,» каждую характеристику надо считать столько раз, какова кратность соответствующего собственного значения Х».
Таким образом, всегда будем иметь для гиперболической системы п характеристик, однако некоторые из них могут совпадать. Обратим внимание на то, что в каждом уравнении характеристической')системы (3.3) функции и;(х, !) дифференцируются в одном направлении. В некоторых случаях возможно дальнейшее упрощение характеристической системы: заменой переменных можно добиться, чтобы в каждом из уравнений системы (3.3) дифференцировалась лишь одна функция переменных х, 1, и. В случае квазилинейной системы собственные векторы 1' зависят от х, (, ц. Рассмотрим дифференциальные формы 1» (х, 1, ц) г(п = 1; (х, 1, и) г(иь Если при фиксированных значениях переменных (х, !) существует интегрирующий множитель )»»=)»»(х, 1, и) для любого и, то имеем р»1 г(п = р»1;г(и; ' ' г(и; дг» (х, Д н) дн; (3.5У (индекс Й фиксирован).
Так как для гиперболической системы определитель матрицы !!(:»(! отличен от нуля, то 88 д(г,, ...,ги) д (и„..., и„) и величины г»(х, (, и) могут быть взяты в качестве новых неизвестных функций. Так как дг»(Д х, н) дг» ди; (' дг» ') ( дгг,'! дх ш диГ Ш ) дГ)и )дх/н Ш а г(хгг((=г.» вдоль характеристики, то система уравнений (З.З)) после умножения на )»»(х, 1, и) примет вид Пользуясь независимостью функций г»(х, », н), выразим через пих переменные н, после чего получим систему квазилинейных уравнений дт» д㻠— + )»» — =- 1» (х, 1, г), д1 дх (3.
6) Величины г» называются инвариантами Римана, а система (3.6)— системой в инвариантах. Если исходная система однородна и ее коэффициенты не зависят от х, 1, то уравнения (3.6) также однородны; — "+Х»(г) — »=-О, й= 1, ..., и, (З,Т) д~ дх т. е. функции г»(х, 1) постоянны вдоль соответствующих характеристик Зх(»((=Х»(г(х, () ).
Заметим, что в случае п=2 интегрирующий множитель 1»» существует всегда, в случае же п)2 интегрирующий множитель может существовать, а может и не существовать. й Ззь ЗАДАЧА КОШИ. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа А — + — = »р ди да (3. 8) д1 дх рассматривают следующую задачу. В некоторой окрестности кривой Т х=х(о), 1=1(а), амо~б, (3.9) найти решение н(х, 1) системы (3.8), принимающее на Т заданные значения: н(х(а), 1(о)) =н'(о), а~о~б.
Условия (3.10) называются начальными. Задача нахождения решения исходной системы в некоторой окрестности кривой Т по заданным на Т начальным данным называется задачей Коши. Задача Коши для исходной системы геометрически интерпретируется как задача построения в (п+2)-мерном пространстве переменных (х, 1, н) двумерной интегральной поверхности н=н(х, (), проходящей через заданную кривую х=х(о), 1=1(о), н=н'(о). Для постановки задачи Коши надо указать гладкость матриц А, В и вектора <р (либо !', Х», (»), начальной кривой и вектор- функции н'(а).
Будем искать решение в(х, г) исходной системы (3.8), когда 89 — й+ — ах=див дис дш дС дх (ЗА1) где с(1, дх и ди; известны. В матричной форме исходная система (3.8) и ураьцения (331) имеют вид а~ ' ь Ж Е вЂ” + с(х Š— = ды. ди да ш дх Искомые производные могут быть определены, если п/Е г(хЕ (3А2) вдоль кривой 1. Напишем для примера это соотношение в случае а=2 Аы А„Вм В,з А, А„„„ й 0 с(х О 0 й 0 с(х Рассмотрим сначала кривые 1, вдоль которых йЕ г(хЕ (3. 13) Так как мы предположили, что исходная система (3.8) имеет решение в рассматриваемой области, принимающее на 1 заданные значения, то ранг расширенной матрицы системы должен быть равен рангу вырожденной матрицы коэффициентов при дп/д1„ да/дх, т.
е. 90 оно непрерывно дифференцируемо (пенС~). Если п(х, 1) обладает меньшей гладкостью, но в каком-то смысле удовлетворяет системе (3.8), то функция п(х, 1) называется обобщенным решением системы (3.8). Пусть система (3.8) имеет гладкое решение в некоторой области.
Проведем в этой области кривую 1. Возьмем на ней точку (х, 1). Вектор бесконечно малого смещения вдоль кривой 1 в точке (х, 1) обозначим через (Ах, Ж). Предположим, что известны значения ы вдоль линии 1 и требуется найти по ним и по уравнениям системы решение и в окрестности кривой 1, т. е. ставим задачу Коши, Будем искать все производные дп/д1 и дн/дх в точках кривой 1; так как вдоль кривой 1 все и; известны, то вдоль кривой будем иметь Если матрица А невырожденная, или неособая, т. е. )А!МО, тогда вдоль оси х определитель (3.12) не ра~вен нулю.
Действительно, ось х имеет дифференциалы смещения (дх, О), поэтому 1= (г(х)" ( — 1)" )А). ! А В 1 0 йхЕ1 (3.15) Так как /А /ФО, то и определитель (3.15) не равен нулю. Заметим, что если определитель ~А ~ =О, то поворотом системы координат можно сделать так, что для новых осей координат х', г' матрица А' будет иеособая. Итак, будем предполагать, что матрица А неособая. Тогда систему (3.8) можно записать в виде (3.2) — +С вЂ” =н. да ди д1 дх (3.1б) Условие (3.13) для такой системы имеет вид О С вЂ” — Е дх Ж 61Е ( Е ) ((1) ю Š— Е Ж Е вЂ” Е д~ =( — 1) Ой)".
~ С вЂ” — "' Е~=О, д! т. е. ) С вЂ” — '„" Е~=О, (3.17) Собственные значения матрицы С определяются из векового урав- нения ( С вЂ” ЛЕ ! = ) См — Х~бм ( =О, н, следовательно 91 дх/Ж=ХФ(х, 1, и) есть характеристические направления. Линии,,вдоль которых выполняется условие (3.13), называются характеристиками. Условие же (3.14) есть условие направления. Заметим, что если корни векового уравнения матрицы С вещественны и не являются кратными ни в одной точке рассматриваемой области (Х1<Хх<...(Х„), то система называется гиперболической в узком смысле. В определение гиперболичности добавляют еще требование гладкости собственных векторов 1» и собственных значений Хм В случае:гиперболической системы в узком смысле 1х и Хх обладают той же степенью гладкости, что и элементы матрицы С 12], П р и м е р.
Пусть количество уравнений системы (3.1б) — +С вЂ” +С,— =д, ди) ди) ди д) ) дх ) дх диа ди, диэ — +С,„— + ф— =д,. дг " дх дх Условие, нз которого определяются направления характеристик такой системы, имеет вид дх С„С вЂ”вЂ” ав Вычислим. собственные значения матрицы: откуда Х~ — ( Сы+ Сиз) Х+ Сы Стт — Сы Сап = О, с)х 1 „Сы+ См~ ~(С)) — См) + 4СыСа) Ф ),2 = ь)ив 2 Возможны три случая: 1. (Сы — Сат)~+4С)аса) (О, т. е. корни Х) и 1е комплексные. Тогда система называется эллип- тической. Действительных характеристик у нее нет. 2 (С)) — Сит)'+4СмСгн=О, т.
е. корни действительны н одинаковые: Х~ =)ьа. Тогда система называется параболической*>. У нее оба характеристических нап- равления совпадают. 3. (С)) — См) +4С)тсзз)0. В этом случае корни Х) и Хт действительные и различные. Тогда система является гиперболической. В дальнейшем будем рассматривать только гиперболические системы. Задача Коши — задача о начальных значениях — явля- ется основной,в теории гиперболических уравнений. Пусть задана в параметрической форме кривая ! в плоскости (х, 1) (3.9). Предположим, что х,(а) и 1,(а) кусочно-гладкие ч' Н этом случае нельзн считать систему гииерболическоа, так как не вынолниетси условие существования двух независимых собственных векторов )! и )3.
92 вдоль / и что х.з+/,'Ф0 и кривая / при заданных значениях и'(о) нигде не имеет характеристического направления. Тогда е помощью характеристической системы (3.3) и (3.4) задача Коши может быть изучена с той же полнотой; как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения могут быть построены с помощью итерационных методов, аналогичных тем,. которые применяются к обыкновенным дифференциальным уравнениям 11, 41. Задачу Коши можно рассматривать в различных функциональных классах, например в классе аналитических функций Сж в: классе функций конечной .гладкости С (т — порядок гладкости), в классе непрерывных функций, в классе обобщенных функций.
В классе аналитических функций С» применима теорема Коши — Ковалевской существования и единственности решения системы 171. В этом классе функций кривые / можно заменить любым множеством в плоскости (х, /). Требование аналитичности решения для гиперболической системы обременительно и не дает. всзможности решать практические задачи.
Для гиперболической системы доказаны существование и единственность решения в классе функций С~ в области 11, 2, 5). Решение ц(М) задачи Коши в точке М(х, 1) зависит только от. значений данных задачи Коши в конечной области зависимости /(АВ) точки М. Эта область зависимости состоит из множества точек, ограниченного крайними характеристиками, проходящими через точку М (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
