И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом граничное условие во внешнем потоке можно перенести на бесконечность. Результаты решения показывают, что заметные изменения параметров основного потока, вызванные горением капли, происходят в непосредственной близости от поверхности капли в иии„. тонком пограничном слое. и/ееф» с~~ .э Будем предполагать, что зона Р' б реакции, окружающая каплю, имеет сферическую форму. Для простоты примем, что температура внутри капли постоянна (кап- аем 10 аее ля прогрета равномерно) Тео- /Риууии/е/ ретическая модель горения капли проиллюстрирована на рис. 2.1.
! Прн решении задачи будем / / использовать метод, разработан- / ный в Э 1.5 гл. 1. Предположение о стационарностн протекания процесса означает: во-первых, что период нестационарного горе- †--- Ъ ння после воспламенения мал по сравнению со временем горения капли; и во-вторых, что имеет место квазистационарное состояние процесса,т.е, размеры капли Рис. 2Н с течением времени медленно уменьшаются и скорость выгорания (секундный расход массы /и) определяется в каждый момент времени из стационарных законов сохранения.
При этом скорость выгорания капли (уменьшение радиуса /,) может быть определена из уравне- ния сохранения потока массы нго (2.1) где р~=сопз1 — плотность жидкого горючего. В случае горения капли при нормальных условкях эти предположения позволяют получить простое решение, хорошо согласующееся с опытом.
Период воспламенения капли, как отмечается в (6), составляет не более 30% от времени ее сгорания, Прн этом относительная ошибка при применении в последующий период времени квазистационарного приближения для определения скорости выгорания капли (2.1) оказывается меньше или порядка отношения плотностей газообразной и жидкой фаз (р/рг). Такое рассогласование становится заметным, только когда состояние системы приближается к критической точке. При этом явление требует совершенно другого, нестационарного описания. Система уравнений (1.144) для сферически симметричной задачи о горении капли приобретает вид — (г'ро) = О, (2.2) — (гэрсф,) =- — (гэ1)0 — '), 1=2, ..., Л', Т. (2.3) Граничные условия на поверхности капли, где осуществляется фазовый Переход и отсутствуют гетерогенные реакции, определя- ются по формулам, полученным в 3 1.3.
При этом будем пред- полагать, что горючее однокомпонентно, фазовый переход осу- ществляется равновесно (см. 5 1.4), удельная теплота фазового перехода йь постоянна. Тогда кривая фазового перехода в плос- кости (р, Т) задается уравнением (1.1!4): р Ьь'пэ / ! ! — = ехр — ~ — — — ), (2.4~ л ~ т, где рмя — парциальное давление паров горючего у поверхности капли, Ттг — температура поверхности.
Индекс 1=0 относится к горючему, 1=1 — к окислителю, 1=2, Ф вЂ” 1 — к продуктам реакции и инертным компонентам, индекс )р' — к параметрам на поверхности раздела фаз (при г=г,), Условие сохранения потока массы горючего определяется из (1.89): (рп)ж(Уэя -- 1) — (р0) я (дУэ/йг) тг=О (2 5~ Для остальных компонентов из (1.88) имеем соотношение (рп) я Уои — (р7)) „; (г(У /й ) „-= О, 1=1,...
М вЂ” 1, (2 6) причем для 1=1 соотношение (2.6) выполняется автоматически, так как ввиду диффузионного режима горения У~=О цри г,(г(г.. (2.7~ 54 2 4 О (2.11) Проинтегрируем уравнение (2.2) с учетом (2.11): г рэ=- —. и 4п (2.12) Уравнение (2.3), учитывая (2.12), преобразуем к виду нй д )' Р)) нй 1 и /4 *по 4~ 1 (2.13) Нг дг 1 рг Нг / Нх ~ и иг ) Вводя новую переменную 5 =т) (4пг'рО) ' Нг, приведем (2.13) к виду дяя.
4) й%= — — '. ,.$2 (2.14) Решение уравнения (2.14) имеет вид 11; =А;+ В;е-х, (2.15) где коэффициенты А; и В; определяются из граничных условий. Из граничного условия (2.9) для функции 8г имеем 4т~ Л„ дй ),, пои,р (т~ — тэ) (2.16) а 2, а~и, (э; — т;) г КН = '=', „удельная теплота сгорания горюгде иэ (~л э э) чего при абсолютном нуле.
Граничные условия на поверхности капли (г=гз) и на бесконечности (г- со) позволяют записать соотношения Условие сохранения полного потока энергии (1.92) с учетом (2.5) и (2.6) принимает вид Чп~ — Чи=- (Ро) иА.. (2.8) При этом поток тепла внутри капли отсутствует (4„~=0) в силу предположения Т(г) =сонэ( при г(гз. Поток тепла за счет теплопроводности от газовой фазы г)„= — МТ(г(г. Тогда условие (2.8) можно переписать в виде ) аТ)г)г= (рп) и.)ть. (2.9) Граничные условия во внешнем потоке (г- +со) имеют вид Т=Те 11=)м~ )же=О; Ум=О, 1=3, ...„Л', )м+)и=1, (2.!О) где 1=2 соответствует всем присутствующим инертным компонентам. Обозначим поток массы (ро)тг.' с„т, ум рте — ° - — °, — Ат+ Вт ЛНтл(т, — т~) е,(т~ — т~) ()та= ', „=Ат+Вте ' Лил (т ~, — тн) откуда получим в,=- ' +в, -ь, сро7е с в тат+ ) ыптЛН ЛНт ~ (т,, — т~) (2.17) ел(т, — т, ) где Фн = — стехиометрическое отношение, 011 (т1 — 71 ) $ =т ~(4пт'рР) ' й'.
Г, Последний член в формуле (2.1?) определяется условия (2.16) подстановкой решения (2.15): Ь„ В г = ЛНтм (т,~ — тн) из граничного (2. 18у Соотношенйя (2.!7) и (2.18) позволяют определить Вт и $, так: Ю $, = и ( ' =!п ! ! + — (с„Т,— с гТ„, + УНФ„ЛО)1, (2.19) 4лр0ы ~ а (2.21)ю зб В некоторых случаях можно предположить, что р1)=сова( (6). Тогда из (2.19) определим массовую скорость горения т: т= ~ " !и ! 1-Р— „(с,Т,— с, Тк +)т„Ф„ЛО)~.
(2.20~ ср При этом температура Тн в формуле (2.20) неизвестна и должна определяться из решения и граничных условий„например,. для равновесного испарения (2.4). Одним из существуюших приближений является предположение, что температура поверхности равна равновесной температуре кипения Т„прн давлении р,, Это предположение тем точнее, чем ближе парциальное давление паров горючего у поверхности рии к полному давлению, ипымн словами, чем ближе концентрация Уиж к единице.
Определим УН1т из решения (2.14) для функции ()л, используя ту же процедуру, что и при определении функции ()т Граничное условие (2.5) примет вид '~~Н ~ с$ ~, „м,(ту — т~) Решение для функции йн записывается следующим образом: (2.22) Выписывая (2.22) на границе гс ро и учитывая, что У!!с=О, получим "ь(! +1 Фл) аь + срс7е с ж7м + УтФлаН р%' %' Из формулы (2.23) видно, что даже прн У!н — — 0 концентрация горючего на поверхности капли Уи„, всегда меньше единицы, т.
е. вблизи поверхности присутствуют н продукты реакции. Концентрация Ун!т приближается к единице при приближении к критической точке (Ьь- 0) или при увеличении теплотворпой способности горючего ЛО. Концентрация Уин определяет парциальное давление паров горючего ран: (2.24) Соотношения (2.23), (2.24) и (2.4) составляют замкнутую систему для определения рнн, Ун„; Тн. Поверхность диффузионного пламени г=г, определяется из условия, что при г>г.
отсутствует горючее (Ум=О), а при ге» (г~г. — окислитель (У! =0). Для определения г. рассмотрим поведение функции (2.25) Из (2.25) видно, что на поверхности пламени ()и меняет знак (йи(Р*) =0). Тогда из (2.22) получим ез =(+У„Ф . (2.26) Соотношение (2.26) и решение для рт позволяют определить координату г. и температуру Т. поверхности пламени: 1п 1 + ( срс7е — срж7 + 11еФнаН)1 (2.27) сре7е+У1 Ф (АН+ с 7 а ) ср„(1+ УмФь) В соотношение (2,28) входит значение средней теплоемкости на поверхности пламени с ..
Эта величина может быть найдена как непосредственно из определения (1.125), так и из интеграла системы (2.2), (2.3). Для этого введем аналогичное уравнение для функции р, Уравнения изменения массы для компонентов (1.136) домножим па величину ср!тс(т!р — и! ) и просуммируем по всем компонентам (1=1,...,Л): Рд (ср) =е!~" ср,!и! (т! — т',). (2.29) е=! Разделим (2.29) на величину ~ ср!лг!(т! — т;) и вычтем из пое= 1 лученного уравнения уравнение (1.!36) для с= 1. Получим (2.30) Р,(бе) =О, где ср ЬСррсг(с! т! ) м! (~! ~с) де "е„' срееие (С! — с;) ЛС = '=' ре! (т! — те) Применительно к рассматриваемой задаче для функции р, получим решение уравнения (2.30) с граничными условиями р,=А,+В,е — 4, 1 А, = „, ~с,„,— (с„— ср!р— м,(ч! — т!) Ьср ) ~ Д С ) ср Те с Т + Ъ ееФ аН ре е р!с 1 сре с ) !ссср В,— Х еае(ч! с )ЬС ~ с Те с Т + ТееФ ЬН рм и (2.31) и соотношения (2.31) Величина ср определяется из решения (2.26): В» ср.=си!(т — т;)ЛСр (Ае+ 1, Т Ф ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
