И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(',—.';) ] Х р,и $са г=а Х ~ т (2.108.1) р (й) (р„— р, ) + р, при $($., т. е. ниже .поверхдости пламени, и — = р(~) 1~),'('; — )() ($) — ь(Р У! — '1х Рай 41 ач г=а ~=2 Рг(ь)+ ('л (ь) ~~ х иг Ф ич (з) лср при $ $., т. е.' выше поверхности пламени. й= — '~(о); ь*= — ". И РЯ Полученная система трех уравнений (2.100), (2.103), (2.105) содержит четыре неизвестные функции: 15), ~р5), р(з), ф(з). Для замыкания системы воспользуемся еще одним уравнением, которое в нашем случае выродйлось в условие гомобаричности (2.87), откуда с помощью уравнения состояния для многокомпонентной смеси Из первых интегралов системы уравнений в газе (2.98) и граничных условий (2.95) — (2.97) получим соотношения для определения .концентраций и потоков тепла на поверхности раздела фаз: (о! (9) (р))) () (о) (2. 107) р,((о) Яе -!- („)9) !3 (о) т (,.
— о ) Ре! (О) 1+ (рп) () (о) )тТо!Р (0)=1.еср!г(р7))к,р (О) т. ла ром ()„— (), р,( (о) а„ )!тж (.ее,(р)р), !)'(0) р,!(О) Вводя безразмерный параметр массообмена (о "о) (ро) „(о) (2. 109) и пользуясь определением (1!, получим из (2.!07) — (2.109) соот- ношения ;,— Е;Ум . 2 л, 1  — Э„У„ 1+В, ' ' "'' ' " 1+В, ' (2.1!0) )ЧТоф (О) = (р0)!г()' (О) )гр (Т Тм)+ УьО (Тм) ВоЬД (2 !11) где Яр(Т!о) = То7)Ср+ФмЬН; 1.е=!. Определим парциальное давление паров горючего у поверхности фазового перехода по формуле л о!, 1 о-) 1'! р =-Улчгр,—, где — = о — ' ,. =л',ы .„' !=! (2.112) (2.113) 79 Параметр массообмена Вв определим, как это делается в работе !15), подставляя соотношения (2.!10) в уравнение (2.112) и воспользовавшись модифицированным условием равновесного испарения Клапейрона — Клаузнуса (!.! 15): Я вЂ” ! ВО ! 1ефл+ ~Л~~ ~Роо 1 1Р!) Х о!! х](~) — '" с) ' '* "' ( — — — ')] — с) Уравнения (2.100), (2503), (2305), (2306) с граничными условиями и соотношения (2.111), (2.113), (2.114) составляют замкнутую систему трех дифференциальных и четырех алгебраических уравнений для определения неизвестных функций ~р(с), 1Ц), (1(5), ф($) и неизвестных параметров Вш Ти, ср(0).
Решение уравнения (2.105) с граничными условиями ф(0) =Т,!Т,; ф(-) =1 ,имеет вид [18) Т.— Т, "!' Ь) 2 Ф(1)=1+ " ег!с ! =! ~ Ьу'2! (2.115) где ег1с (г) = 1 — = ~ е-2'Ы. ' 2 с Из (2.115) получаем Т~р Тсс И2 2В Г Г А 2 1 — ! Ф' (О) =- — — =. е [ег1с ~ ) ], (2.116) Тсс ЬКЯ ] Ь)с2)] Уравнение (2.103) в левой части содержит полный дифференциал "~ — ')'=к() — ю (2.117) сг Заметим, что из уравнения (2.!00) следует (( — 1 р)'=(' — Ьр' — ф= — ф, (2.118) что позволяет переписать (2.117) в виде а2 ~ — ) = — — Ц вЂ” $ф) (~ — Ьр), (2.119.1) Чс ф или Йз = — зуус 2 с (2.119.2) 80 Из соотношений (2.106) при 5=0 получим дополнительное граничное условие рст Чс (О) Т Г тч ' = — ~ ~1',— (1;,— 0Ум)+ В,~, (2.114) рьян !+во т, с=2 Интегрируя (2.119), получим 1и»а1> >— 1ч из> р'(К) =С>р($)е (2.120) или ()' ($) = С~р ($) е Из условия (2.118) получим г(у/Н~= — >р и, подставляя в уравнение (2.120), проинтегрируем его: р= — С) е ~'ду, (2.121): >>о> Учитывая, что ~ е ' >(у = и ~ ег1 ~ — ~ ) — ег1 ~ †.
)), но> константу С определим из условий на бесконечности С= Р(о) 1 .;.=('1+,и —.~~ а>>з ~ Тогда из (2.121) получим еще один первый интеграл системы (2.86) — (2.89): (2. 122)- Подставим полученное решение (2.122) в соотношение (2.106) и выразим функцию а>: 4>=а Ы. (2.123) Тогда из (2.118) и (2.123) получим обыкновенное дифференциальное уравнение Фlг(к= — а(й; р(0) =г(0) (2.124). которое можно проинтегрировать численно, если известно начальное условие Г(0).
Определив таким образом функцию уД), из (2.122), (2.123), (2.119.2) получим функции р($), >р($) и Я), что завершает решение втой задачи. Таким образом, для замкнутого решения задачи необходимо начальное условие 1(0) или параметр массообмена Во. Из соотношений (2.116), (2.122) определим >р'(О) и р'(О) и подставим в граничное условие (2.111).
Учитывая (2.114), по- лучим о 1 м У, +У„Ея Во()+У,Р ) (2.127) Рассмотрим одно из возможных приближений [61, а именно: будем предполагать, что Тэ=Тмч где Те, — равновесная температура кипения при давлении р,. В этом случае из (2.113) видно, что Ум 1 1еФ~'=0 для 1= 1, ..., Л 1 ' Уям= 1. Соотношение (2.125) в этом случае упрощается, и из него мож.но определить параметр массообмена: В и ав' еР~ (ге Ты) Ь Ь Е 1(О) (Гь )р) (1+ ег( 2 а' р~ье, р) ЬУ21 Подставляя (2.128) в уравнение (2.!26), получим трансцендент- ~ср,(Т,— Тм) + УЩр, — В ЬД.
(2.125) Из уравнений (2.120) и (2.114) получим (* .о) тг2 е (р0) В >((.-)- В ) р т., р,) (О)— атгп ~(+ег( =) ~ ~" (Уп У1еПЧ)+Во~ РВТ (2. 126) Соотношения (2.125), (2.126), (2.113) представляют собой замкну- тую систему уравнений для определения неизвестных 1(0), Тм и Ва.
Расположение поверхности диффузионного пламени при извест- ном решении рД) определяется из условия, что выше повсрхно сти отсутствуют пары горн)чего (Ух=О), а ниже — окислитель (У~=О). Тогда для функции Вн имеем такое же, как и в [4, 15, 20), условие би(2,) =О, откуда, используя первые интегралы (2.98) и условия на межфаз- ной границе (2.110), получим соотношение для определения коор- динаты поверхности пламени В.: нсе уравнение для определения неизвестного граничного условия )(О): 1 — ег1 (2,129): При решении многих практических задач основной интерес представляет не распределение параметров над поверхностью горючего, а массовая скорость выгорания топлива.
При известном значении 1(0), определенном, например, из решения системы (2.125), (2.126), (2.113) или приближенно из решения (2.129), массовая скорость выгорания топлива задается соотношением (Ри) ч = р,((0) /~/21. (2.130) Таким образом, предложенный метод определения скорости выгорания поверхности позволяет проинтегрировать систему дифференциальных уравнений и свести решение задачи к решению алгебраических и трансцендентных уравнений. В системе координат, связанной с жидким топливом, изменение уровня поверхности по мере выгорання топлива может быть описано формулой, полученной при интегрировании соотношения (2.130): Хк,(1) = ) ия Я й = Р' 1(0) ~гй .
ш о (2.131) (2.132) 83 Анализ данных опытов, проведенных В. И. Блиновым н Г. Н. Худяковым 121), показал, что изменение Х» с течением времени удовлетворительно может быть описано соотношением Ктп где показатель степени п колеблется (для различных опытов) в пределах от 0,55 до 0,75, Таким образом, формула (2.131) удовлетворительно согласуется с опытными данными. Экспериментальные исследования горения дизельных топлив 121) показали, что.
с течением времени скорость выгорання поверхности о~ (2.130) уменьшается и прн достижении критической величины п~* горение прекрашается, т. е. происходит самотушение пламени (для дизельных топлив о~"=0.4! .10-' м/с). Зависимость скорости выгорания от изменения уровня поверхности горючего Хв нетрудно определить из формул (2.130), (2.131); Таблица 2.1 Значения некоторых параметров при диффузионном горении поверхности бензина параметр 'Численное значение 300 ~ 0.30 1.25 300 0.89 0.19 740 На рис.
2.6 представлен гра, фнк зависимости скорости выгорания бензина от уровня поверхнцрти, построенный на основании формулы (2.132) и данных табл. 1 (сплошная кривая) Для сравнения приведены результаты экспериментальных исследований по данным работы (2Ц (пунктирная кривая). Таким образом, полученное решение позволяет рассчитать основные параметры нестационарного горения плоской поверхности топлива, контактирующей с газообразной средой, содержагцей окислитель.
15 20 х10ам Рнс 26 Результаты расчета параметров задачи о нестационарном дифкрузионном горении поверхности бензина, контактирующей с воз,духом, приведены в табл. 2.1. При этом основные теплофизические параметры реагентов определяются по данным (231. ГЛАВА ГН НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА Большой интерес для практических приложений представляет горение гомогенных предварительно перемешанных газовых смесей. При рассмотрении многих задач горения газов зона химической реакции, где происходит основное энерговыделение и существенно сказываются вязкость, теплопроводность, диффузия, имеет относительно малый размер, а вне этой зоны газ можно считать идеальным. Саму же зону реакции при этом можно считать поверхностью разрыва. При горении и взрывах в газах могут возникать различные возмущения.
Причем начальный разрыв основных параметров (скорости, давления) может привести к непрерывному течению, и, наоборот, непрерывное начальное течение может перейти в разрывное течение с образованием ударных волн. Поэтому изучение неустановившегося течения гомогенной газовой среды в областях, разделенных фронтами реакций и поверхностями сального разрыва, имеет большое значение в теории горения.
Модель одномерного неустановившегося движения является одной из наиболее полно изученных газодянамических моделей, так как наиболее полно разработан математический аппарат для исследования систем уравнений с двумя независимыми переменными. Предположение об одномерном характере движения получило широкое распространение по целому ряду причин. Во-первых, оно приближенно оправдывается для многих случаев реального течения газа; даже если течение в целом неодномерно, отдельные его области могут быть описаны в рамках одномерного течения.
Во-вторых, многие выявленные в рамках одномерного приближения особенности оказываются качественно присущими и более сложным течениям. В-третьих, уравнения с двумя независимыми переменными являются сравнительно доступными для качественного анализа, численного расчета и геометрической интерпретации на плоскости. И в- ~етвертых, в теории одномерных течений имеется много до конца решенных конкретных задач. В данной главе излагаются основные свойства и методы исследования непрерывных одномерных неустановившихся течений газа и течений, содержащих поверхности разрыва. фзп. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Рассмотрим систему п уравнений в частных производных первого порядка для л функций иь зависящих от двух независимых переменных х и ~: Аы — +В,! — =%, 1, 1=-1, 2, ..., п.
ди~ диу д1 дх Здесь Ац, В„, ф; — известные функции х, 1 и иь Такая система, линейная относительно частных производных, называется квази- линейной системой [11 Будем считать, что все коэффициенты Ац, Вп, пч — достаточно гладкие функции своих переменных, причем нигде в области определения функций Ац, Вц не выполнено условие Ап Лм Л;л Вп В;л ~аь Ааи Аал Аа| Вал для аФЕ Если Аи и Вц зависят только от х и 1, а йв линейны относительно иь т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
