И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 16
Текст из файла (страница 16)
рис. 3.1). Заметим, что если система однородна, то п(М) зависит только от начальных данных ца(о) на отрезке АВ. Термин «область зависимости точки М» понимается в том смысле, что значение п(М) определяется только начальными данными и' на отрезке АВ и не зависит от начальных данных вне этого отрезка (для решения в. классе С~). Соответственно определяется область влияния множества точек на отрезке АВ как область, точки которой (М) имеют области зависимости, содержащие точки множества отрезка АВ (см..
рис. 3.2). Значения функции и в точках, лежащих левее самой левой характеристики Аа, проходящей через точку А, и и точках, лежащих правее самой правой характеристики, выходящей из точки В, не зависят от изменения начальных данных на отрезке АВ. Рассмотрим один из методов построения решения задачи Коши для системы уравнений. Предположим, что начальные данные заданы на оси х плоскости (х, /): п~~=-р=па(х). Надо найти решение п(х, /) в любой момент времени, т. е. в любой точке (к, /).
Рассмотрим точку (х, Л1), причем Л/ будем считать достаточно малым, чтобы и, мало отличались от их значений прн /=О. Проведем характеристики через точку (х, Л/): бх/г(1 =Х». На малом отрезке каждой характеристики за время от 0 до б/ величины Х» будем считать постоянными и равными их значениям при 1=0, где и,=и,с(х) известны. Характеристики на этом участке являют- ся отрезками прямых с известными наклонами. Рассмотрим при- ращение функции и; вдоль этих отрезков характеристик: Рис. 3.2 Рис. 33 — + )с, — = Ли! -= и; (М, х) — и, (О, х,), ди! дои о д! дх (3.18) где хсс=х †).сб1 — точка пересечения й-й характеристики с осью .х.
Умножая уравнение (3.3) на ЛС получим 1сп(бг, х) = 1ьн(0, х',) ~[си, (3.19) Считая 1' известными и равными их значениям при 1=0, имеем линейную алгебраическую систему для и;(М, х). Определитель системы отличен от нуля, так как собственные векторы 1' линейно независимы и решение н(М, х) можно найти. Таким образом, можно построить решение для всех х при 1=И, затем аналогично можно построить решение прн 1=2М и т.
д. (см. рис. 3.3.). На этом основано построение решения методом характеристик, который можно использовать при численных расчетах. Решение в точке М(х, 1) зависит лишь от начальных данных на отрезке [хз, хв) и не зависит от начальных данных вне отрезка хз, хз1. а м е ч а н и е. При построении решения предполагалось, что решение принадлежит к классу функций С!.
Но для квазилинейной системы уравнений может оказаться, как увидим далыпе, что при гладких начальных данных решение через некоторое время может испортиться, в нем могут возникнуть разрывы первых производных:второго рода, В этом случае возникает градиентная катастрофа. Принадлежность решения к классу С! может быть гарантирована в некоторых случаях только в течение конечного промежутка времени, зависящего от начальных данных. ф 3.3 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ И ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ) Если область, где ищется решение, ограничена, то для построения решения необходимы еше условия на границе области.
Рассмотрим случай, когда граница неподвижна и задана. Пусть х=-0 — граница области. Начальные условия при 1=0:и= 4 ис(х) для х)0 заданы. Возникает вопрос; сколько нужно задать значений и,(0, 1) на границе для определения решения п(х,1) в любой точке х иО методом характеристик? К точкам границы приходит некоторое число характеристик, для которых 1,4<0.
Направление характеристик выбирается из условия, чтобы с(1 было больше О. На каждой из них вьпюлняется соотношение 1сс(ы = 1ис(Е (3.20) Следовательно, для величин Гм(0, 1) в точке на границе имеем столько соотношений, сколько характеристик приходит в эту точку. Для определения всех л величин и,(0, т) нужно п соотношений.. Рис. 3.4 Рис. 3.3 Рис. 3.5 Поэтому, если все и характеристик приходят из области начальных данных, т.
е. все Ас<0, то на границе и везде в области х' иО решение известно и на границе ничего задавать нельзя. Если на границу (х=О) из п характеристик приходит только их часть гт<п, то остальные н=-и — т с Хи>0, й=-т+1, ..., и, уходят, т.
е. идут от границы в ту область, где решение еще неизвестно (см. рис. 3.4). Характеристики, приходящие к границе, задают т соотношений между величинами го(0, 1) на границе. Для того чтобы найти все п величин ья(0, 1) на границе, необходимо задать еще н соотношений. Эти н соотношений Еи(1 н) =0 1= 1 (3.21) представляют собой условия, которые должны быть заданы на границе для построения решений в области (х)0, 1)0). Задачи такого типа относятся к смешанным задачам. Соотношения (3,2!) и соотношения на приходящих характеристиках (3.20) должны быть независимы. Таким образом, на неподвижной известной границе (х=б) должно быть задано столько независимых граничных условий, скрлько имеется уходящих от границы характеристик, Рассмотрим теперь условия на подвижной границе. Пусть задано уравнение движения границы х=-хг(() (3.22) я требуется найти решение в области х.- хг(О.
Для такой задачи характеристики, для которых ).,(г/хг~Ю, будут приходящими к границе, а характеристики, для которых ).4)йхг/й, — уходящими от границы. Рассмотрим случай, когда граница х=хг(/) не совпадает тождественно с характеристикой: Г: — =хг =с Хы дх Ж (3.23) 'Тогда помимо уравнения самой границы (323) или условий, поз- воляющих определить это уравнение, необходимо еше задать н мезависимых соотношений на границе, где не и — (т Рз). Границы, на которых число выставляемых граничных условий равно числу уходящих характеристик, плюс условия, определяющие положение самой границы, называются эволюционными, так как граничные условия на них приспособлены для решения смешанных задач, т. е.
задач об эволюции решения. Понятие эволюционностн решения важно для многих задач, особенно при изучении поверхностей разрыва. й 3.4. СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ Рассмотрнм класс обобщенных решений п(х, /) системы квази- линейных уравнений. Вектор-функции п(х, /), принадлежащие этому классу, непрерывны и обладают непрерывными первыми производными всюду, кроме некоторых кусочно-дифференцируемых линий, на которых первые производные дц/д/ н дц/дх терпят разрыв первого рода, Допустим, что вне этих линий разрыва про- — .есдо 3хоаацЬах хаРаатеРцстца. .В случае, когда подвижная граница тоясдественпо совпадает с характеристикой з-й кратности: Г: дх/Ж=Х„ (3.24) имеем з характеристических условий на границе.
Пусть приходящих характеристик имеется также т штук Тогда на границе (3.24) добавляется еще т условий. Поэтому на такой границе дополнительно к уравнению самой границы (3.24) необходимо задать еще н независимых соотноц|ений по числу уходящих характеристик: Исключая из (3.26) [дкч/д1) с помощью кннематических условий (3.25), получим где Если Их/Ж=~ФХ~ при всех А=!, ..., п, то (Уа)з=(Р~)ь Ввиду линейной независимости собственных векторов в этом случае (ди;/дх)з= (ди,/дх)~ при всех !=1, ..., п, т. е, разрыв производных отсутствует. Поэтому г/х/г/(=у.=Х;(х(/), п(х(!), г)). Это уравнение означает, что линия слабого разрыва Ы: х=х(/) является одной из характеристик системы. Этот вывод, конечно, согласуется с определением характеристики как линии, через которую решение системы продолжается неоднозначно [1[. Значения [У~[, характеризующие величину слабого разрыва, удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые называются транспортными уравнениями для слабого разрыва [2[.
(Для случая одномерного неустановивщегося течен. я идеального газа система будет получена ниже). Из теории систем обыкновенных уравнений следует вывод: слабый разрыв решения квазилннейиых уравнений гиперболического типа, распространяясь вдоль характеристики, не может ни возникнуть, ни исчезнуть, если только решение и его первые производные остаются ограниченными. Следовательно, слабый разрыв решения задачи Коши возможен лишь в случае, когда начальные функции обладают разрывом первых производных первого рода.
Произвольный разрыв первого рода производных распадается на слабые разрывы, которые распространяются, вообще говоря, по всем характеристикам, выходящим из точки разрыва производных начальных функций. Этот эффект иногда называют распадом произвольного слабого разрыва. Пусть имеют место разрывы производных выше первого порядка, например второго порядка, а первые производные непрерывны. Соотношения на таком разрыве получаются аналогично случаю слабого разрыва первых производных. Дифференцируя справа и слева вдоль линии разрыва вторых производных 2' непрерывные первые производные, получаем кинематические условия (3. 27) Для получения динамических условий систему уравнений справа и слева от разрыва продифференцируем по х: ь(двп двп1 1; ~ — +Ах — '1+(члены, не зависящие от вторых (3,28) '! дгдх дх 1 производных) =О, Р, Х„1х и их первые производные непрерывны.
Записывая (3.28) справа и слева от 2' и производя вычитание, получим 1',[~" ~+А, ~ '"'1=О. Так как члены, не содержащие вторых производных, непрерывны, то при вычитании они сократятся. Исключая с помощью кине- матических условий (3.27) (дзи;)д1дх), получим Р.,— Е) 1~ [ ~"' 1= О. дх~ ) Таким образом, разрыв производных второго порядка может иметь место только на характеристиках дх/д1=хх(п, х, 1), причем Хх зависят не только от х и 1, но и от решения и, и сами характеристики определяются в процессе решения задачи. Анало- гично доказывается, что разрывы первого рода производных выс- ших порядков также могут иметь место только на характерис- тиках.
5 3.5. ОснОВные УРАВнениЯ ОДнОмеРКОГО НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Одномерными называются движения, в которых все параметры зависят от одной пространственной координаты х, а также от времени 1, если движение нестационарно. Одномерные движения бывают трех типов: 1) плоское одномерное движение; 2) цилиндрическое одномерное движение; 3) сферическое одномерное движение. Кроме этих строго одномерных движений можно рассматривать движения, приближенно являющиеся одномерными (так называемые квазиодномерные течения), например, течение в трубах переменного сечения, где с некоторой степенью точности можно считать, что все параметры в ка адом сечении постоянны и зависят, следовательно, только от координаты вдоль оси трубы и време. ни 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
