И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вычитая из второго уравнения первое, получим д21(д с д ю.= О. Общее решение есть решение Даламбера: ( 11(с) +12(ю) =! 1(и с) +Р2 (и+ с), (3.?9) Решение для х получим, подставляя формулу (3.79) в систему (3.78). Заметим, что в последнем случае, когда у= — 1, уравнения движения в переменных Эйлера образуют приводимую квазилииейную систему, а в переменных Лагранжа — линейную систему. 116 2. у= — 1, и= — 1. Физически для политропного газа это так же невозможно, как и в первом случае. Предположение т= — 1 можно рассматривать, когда обратимая адиабата в плоскости (р, 8=1)р) приближенно заменяется линейной зависимостью Действительно, уравнения движения, когда хо — начальная лагдх — дхо д — д, ранжева координата и и(х,, !) — скорость, е= Хо о относительная деформация, будут иметь вид ди е де — — а — =О, д! дх„ (3.
80) де ди — — =О, д! дхо где Характеристическая система; Со . с(х/о//=а, С; о(х/о/!= — а, (3. 81) Гь. о/иЫе=а, Г:г(и/г/и= — а. Величина а=рс/ро есть скорость распространения слабых воз- мущений относительно лагранжевой системы координат в плос- кости (хм /). Иногда ее называют лаграижевой скоростью звука. В случае у= — 1, когда принимается зависимость р от р в виде (3.77), лагранжева скорость звука постоянна: а=Аз/р,=ае, а ско- рость звука с=Аз/р переменна. В общем случае, когда /'=д(и, р)/д(х, 1) ФО=:-д(г,ю )/д(х, !) ~0, первые два уравнения (3.64) после перехода от переменных а и р к ь н ю примут вид дх/дю = (и+с)д//дю, (3.82) дх/де = (и — с) д!/де. Третье и четвертое уравнения (3.64) дают и4 ю — ю, 1=с+в. Исключим функцию х. Для этого первое уравнение системы (3.82) продифференцируем по е, а второе по ю н вычтем.
В результате получим до! д! д (и+ с) д! д (и — с) 2с до дЬ,дЬ до дт дЬ Если это уравнение можно решить и получить !=2( г,ю ), то х= =,х( е,ю ) находится из системы (3.82). Рассмотрим случай политропного газа. Тогда и= е — ю, с= — 1= — (г+ю), 1 1 л л д(и ис) л.(- ! д(и — с) л+! дг л дЬ л 117 и уравнение (3.83) примет вид дм а+! ! (д! д('! дсдь 2 г+ь ! дг дь1 Риман нашел решение этого уравнения для любого п (7).
Решения получены через гипергеометрические функции Гаусса (9]. и+! т+! Для всех практически важных случаев, когда 2 2(7 — !) =А( — целое число, решение получается в элементарных функциях Приведем таблицу значений 7 и и для некоторых целых А(: 3 4 5)3 715 917 !!)9 — 3 ] — 5 5 7 В этих случаях решение можно найти методом полной математической индукции [4]. 1.
Ж=О. Тогда уравнение (3.84) примет вид дЧ/д гдь = О. Общее решение этого уравнения 1=1! (ь) +6(ь). 2. А!=1. Уравнение (3.84) примет вид а2! а! а! а (г + ь) — + — + — = — ](г+ ь) 1] = О. а,дь дх дь а дЬ Общее решение: 1= — + —. '1,(~) 1,(ь) .
+ ь + ь ' Эти случаи были уже рассмотрены выше. В общем случае решение имеет вид 1+ а ! ] 1 (» ]+ а ! ] Й(» ] (385), дтн ' ] (~+Ь)м ] два ' ( (г+ Ь)~ 1 118 а †'1 Для г((О вводим обозначения ~1дс= —, и т. д. Заметим,. что решения для отрицательных А! практически не используются. Формула Адамара (3.85) компактна, но применение ее ограниченно. Для большинства газодинамических задач практически невозможно определить 1! и 1, и, таким образом, получить решение. Оказывается, с помощью формулы Адамара можно найти те: решения, которые уже раньше получил Риман.
$ 3.7. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим особые решения, когда /=д( г,в)/д(х, 1) =-0 в области, Особое решение — решение простой волны — часто встречается в задачах газовой динамики. Так, согласно основной теореме решение в области, соседней с постоянным потоком, есть решение простой волны. Рассмотрим решение простой волны, когда и — 1= — 2в=сопз1 в области, т. е. все С -характеристики отображаются на одну и ту же характеристику Г ' в плоскости годографа (и, 1) (рис. 3.9).
Характеристики С+ отобра- 1 жаются в плоскости годографа в точки, лежащие на Г характеристике, поэтому вдоль С~ дх/д/= и+ с = сопз(. Интегрируя уравнение, получим общее решение простой волны для случая в =— сопз1 в области х= (и+с) 1+сопз1 (и+с) = =(и+ с)1+Р, [и+с) = (и+ с)1+В(и), Ркс, З.а Здесь Г, (и+с) заменена через г(и), так как для простой волны и, с зависимы, т. е. с=с(и). Вдоль Сь-характеристики г = (и+!)/2 постоянно. Для данной простой волны 1=1(и) и вдоль Сэ-характеристики постоянны все параметры и, 1, с, р, р.
Скорость распространения слабых возмущений дх/с(1 = 19 а = и+ с больше скорости частиц: дх/Ж=1й р=и(и+с (с>0), Газ втекает в простую волну справа (ось х направлена напра. во) и вытекает влево. Такая простая волна называется волной, обращенной вперед. Заметим, что возможен случай, когда относительно лабораторной системы координат С.ь-характеристики сносятся назад в сторону уменьшения х, т. е. дх/Й/=и+с=1па(0 при ( — и))с. Второй случай простой волны, когда и — 1=2г =сопз1 в области. В этом случае все С+-характеристики отображаются иа одну и ту же характеристику Г1.а (рис, 3.9) плоскости годографа.
Тогда С -характеристики отображаются в плоскости годографа в точки, лежащие на Г+'-характеристике, и, значит, С -характеристики— прямые линии: дх/с(1=(да=и — с=сонэ(. Вдоль С -характеристик все параметры постоянны. Интегрируя, получим общее решение простой волны для случая г =сонэ( в области 119 х= (и — с)1+ Г(и). В этом случае (и — с) =1да<1и()=и. Газ втекает в волну слева и вытекает направо. Такая простая волна называется волной, обра- щенной назад.
Опять заметим, что возможен случай, когда отно- сительно лабораторной системы координат С -характеристики сносятся вперед в сторону увеличения х, т. е. с(и,'И=и — с=1па>0. Когда газ втекает в простую волну, первая характеристинв (С>- для обращенной вперед волны и С. -характеристика для об- ращенной назад волны) называется «голова волны>, последняя, где газ вытекает, называется «хвост волны». Рассмотрим некоторые свойства простых волн, Так как с(1= =с(р(рс=сс(р(р, то с(1, с(р, с(р одного знака для любого непрерывно- го решения.
Так как в области, соседней с постоянным потоком„ решение есть простая волна, то границей области постоянного течения (и,, ро) и области простой волны служит характеристика. Тогда для простой волны, обращенной вперед, — 2в=и — (=сопз1= ио — !о. Дифференцируя, получим с(и=с(1, т. е. для простой волны, обра- щенной вперед, 1, р, р, и меняются в одном направлении (Й, с(р„ с(р, с(и одного знака). Для простой волны, обращенной назад, 2ь = и+1= сопз1 = ио+ (о. Дифференцируя, получим с(и= — с(1, т.
е. скорость меняется в нап- равлении, обратном направлению изменения р, р и 1. Исследуем теперь, как изменяется скорость распространения возмущений в простой волне, являющаяся для простых волн ско- ростью распространения постоянных значений р, 1, р, с, и. Ско- рость распространения слабых возмущений для простой волны. обращенной вперед, равна с)х(с(1 = и + с =1 — 1, + ио+ с.' Изменение этой скорости относительно скорости газа равно й (и + с) сн + йс с йр + р йс й ( ос) йи ш с с(р с с(р 1 д (р'с') Ыоо о (о'с') (3.86а» 2с'о ир 2сооо с(д 2с'ро При выводе (3.86) использованы соотношения с)р= — р'Ю; с'р'= = — д„где д(д, з) =р, Для простой волны, обращенной назад, (3. 86б» 120 й (и — с) — Ш вЂ” с(с Ш+ йс Аоо ии — Ж Ш 2сорз ' Из формул (3.86а, б) видно, что изменение скорости распространения слабых возмущений в зависимости от изменения скорости газа для простой волны зависит от знака второй, производной по удельному объему д„, т. е.
от выпуклости обратимой адиабаты Р =К (б, з = сопз() . В дальнейшем будем рассматривать такой газ, когда д„>0 и обратимая адиабата в плоскости (р, 6) выпукла вниз (нормальный газ) *1. Так как скорость звука с>0, плотность р>0, то для волны, обращенной вперед, параметры и, и+с, р, р меняются и одном и том же направлении. Для волны, обращенной назад, и, и — с меняются в направлении, противоположном направлению изменения р, р. Рассмотрим случай, когда др>0 вдоль траектории частицы при «а!>О.
В этом случае, когда частица газа движется от головы к хвосту волны, давление непрерывно повышается. Такая волна называется простой волной сжатия. Для простой волны сжатия, обращенной вперед, «(р, «ти, «1(и+с) вдоль траектории больше нуля, поэтому скорость и и скорость распространения постоянных значений параметров и+с увеличивается при «1!>О.
Прямолинейные характеристики Сх сходятся (рис. 3.10). Рвс. 3.1! Рнс. 3.10 Для определенности рассмотрим случай, когда у головной волны скорость газа ио=О. Для траектории частицы имеем Со: — = 1я Рг = и, = О, г, «!х «и ««Если Л«е(0, то газ называется исключительным. Вопрос о том, существуют ли газы, для которых есть области определения параметров, где доя<0, является в вастоящее время дискуссионным.
Заметим, что для дсформируемых твердых тел, когда рассматриваются такие процессы, при которых среда является простой, возмож««ы случаи как деь>0, так н пе«<0 и я«о=о (закон Гука). 121 и т. д. до хвоста волны. Для С+ характеристик имеем С+ =1Я о=ио+с =-с > О, г.
ох о о о=- о С+. — —— 1й сс, = и, + с, > с„ дх С,: — =био=и,+с >и,+с, »со, ох и т. д. до хвоста волны, т. е. характеристики С+ с течением времени сходятся. Для прос- той волны сжатия, обращенной назад, Ыр>0, а ди и д1и — с) меньше нуля. Прямолинейные характеристики С, несущие посто- янные значения параметров, сходятся при о)1>0. Для определен- ности опять предположим, что у головы волны (С " — характе- ристики) по=о 1рис. 3.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
