И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Максимальная скорость поршня по модулю !ивв~ =1о неполная волна разрежения. В этом случае Сов: Йх)И=ив= — лсо, С.ов . Нх1с(1= ив = — лсм т. е. Ств-характеристика совпадет с траекторией газа С," и)траекторией поршня. Полная волна разрежения заканчивается на поршне. 3, В случае, когда максимальная скорость поршня по модулю (ив)>1о, скорость газа не может быть по модулю больше 1м газ не успевает следовать за поршнем н отрывается от поршня. В этом случае при ива= — 1о получим полную волну разрежения. 0 Характеристика Сев совпадает с траекторией газа Сов, которая Рис.
338 есть касательная к пути порш- ня в точке Б: дх)с)1=ив= — 1о. За Со" находится область, куда газ не попадает, — область вакуума ( рис. 3. ! 8) . При конечной скорости поршня ивв, большей по модулю 1о, несущественно, какое имеет значение скорость поршня ив после точки Б. От величины ирв зависит лишь размер зоны вакуума. Поэтому можно положить ирв= — со и предположить, что поршень после точки Б убран, газ после точки Б истекает в пустоту. Особый интерес представляет случай, когда ускорение поршня из состояния покоя до некоторой постоянной скорости ира(0 происходит за очень малый промежуток времени — практически мгновенно.
В этом случае участок линии поршня ОВ стремится к нулю (к точке 0), Тогда предыдущее решение приводит к следующей схеме: Сз-характеристнки для простой волны, обращенной вперед (прямолинейные характеристики, несущие постоянные значения параметров), вырождаются в пучок прямых линий, выходящих нз точки О. Решение простой волны вырождается в центрированную волну разрежения, обращенную вперед (газ в нее втекает справа, и скорость газа уменьшается от 0 до отрицательного значения и=гпах(ираирв)) (рис. 3.19, а). Начальные условия в точке даяния ра ня Рис. 3.19 О имеют разрыв первого рода самих функций и и р, но этот разрыв немедленно сглаживается и решение непрерывно и однозначно во всей области между осью хъО и линией движения поршня.
Это одна из важных особенностей гиперболической системы нелиней. ных уравнений. Если систему (3.67) лннеаризовать: ди 1 др — + — — =О, д1 рв дх (3.90) др ди — +с'р,— =О, д1 а дх то центрированная волна для лннеаризованной системы (3.90) не существует. Начальный сильный разрыв (волна разрежения, несущая разрыв первого рода самих функций) распространяется по характеристике Сев (рис. 3.19, б). 5 Зверев рс Н., Сиириев Н Н 129 для центрнрованной волны разрежения, обращенной вперед, имеем С+.
с(х/с(/.=и + с = сопя(; х=(и+с) /; х// =- и + с. Итак, и+с зависит только от отношения х// и в силу уравнений (3.89) с, р, р, и также зависят только от отношения х//, так как в простой волне имеется только один независимый параметр. Такое течение называется автомодельным (самоподобным). Отметим, что центрированная волна может быть: а) неполной (когда ( — иии) (/и); б) полной (когда ( — и„,) =/и); в) полной волной разрежения с образованием области вакуума (когда иив>/о).
Максимальная скорость истечения в пустоту по модулю равна (и „/ =пси — — 2си/(у — 1), где со — скорость звука в покоящемся газе. Рассмотрим теперь задачу, когда поршень вдвигается в первоР начально покоящийся газ с воз- С„' растающей скоростью (~/иг)0 ь% с ростом /) (рнс. 3.20). Ъ Математическая задача .сводится к следующей: на пространствепноподобной оси х:и 0 зада- ФЮ ны две величины и=О, с= й =со(р=ри); на временноподобной линии движения поршня задана одна величина и=и,. Надо на(сти решение между двумя зтнмн лнниями. Область, граничащая с и=с, с=си покоем, есть решение простой волны. Газ в волну втекает справа (волна, обращенная вперед), Рнс.
3.20 и так как с/и,)0, то с/и, с/р и с/(и+с))0 прн с(/)О, т. е. имеем простую волну сжатия, обращенную вперед. Характеристики Се, несущие постоянные значения параметров, сходятся. Влияние движения поршня распространяется в газе в виде звуковых волн со скоростью и+с относительно лабораторной системы координат. Большей скоростн поршня соответствует ббльшая скорость распространения возмущений.
Более позднее возмущение догоняет н перегоняет более раннее возмущение, В точке, где впервые сходятся С-,-характеристики, наступает градиентная катастрофа — разрыв второго рода первых производных (ди/дх — ~ — со). За атой точкой решение, если его формально продолжить, становится неоднозначным. Возникает огибающая С .-характеристик — предельная линия. Предельная линия образует угол, триады покрываемый С~-характеристиками, т.
е. в нем нет однозначности. Неоднозначность объясняется тем, что на предельной линии терпят разрыв второго рода первые производные и теорема единственности не имеет места. Непрерывное однозначное решение существует для 1<1".* (рис. 3.20). Если поршень начинает вдвигаться в газ прн 1=0 сразу с постоянной скоростью иг>0, то из точки О выходят две характеристики: Сьз, х=сзГ, которая несет значения и=0, с=ем и С ':х=(и,+с,)1, которая несет значения и,=иг и и,+с,>с~.
В этом случае градиентная катастрофа возникает сразу же в момент времени 1=0 в точке О и предельная линия образует угол из Сг"- и С '-характеристик, выходящих нз точки О (рис. 3.21, а). Если скоРость поРшна иг>см то в области х>сзГ Решение задачи Коши дает и=0, с=см т. е. покой, а в этой области уже на- Ряс. Заи ходится поршень (рис. 3.21„ б), и, следовательно, предположение о том, что движение описывается непрерывным решением системы (3.67), не имеет места. Итак, для волны сжатия возникает градиентная катастрофа либо а какой-то момент времени 1'">О, либо сразу при 1=0. Градиентная катастрофа может произойти не только в простой волне, но и в случае общего решения (5).
Для выяснения этого вопроса надо рассмотреть транспортные уравнения. Таким образом, еще одна особенность квазилинейной системы гиперболических уравнений состоит в том, что в первоначально непрерывном движении со временем может возникнуть градиентная катастрофа, после которой однозначное непрерывное решение невозможно, При выводе дифференциальных уравнений движения газа предполагалось, что течение управляется только снламн давления, т. е. не учитывается вязкость. Рассмотрим для простоты одномерное неустановившееся течение с учетом вязкости и теплопроводностн.
Основные уравнения имеют вид — + — =о, др дри дг дх (3. 91) рТ( — +и — )=- — (р,— )+р( — ), 4 где !х= — р+е ь!х и ~ — первый и второй коэффициенты, вязкости, 3 ь — коэффициент теплопроводности н Х вЂ” плотность массовых сил. Введем такие безразмерные параметры, чтобы все производные от безразмерных величин имели один и тот же порядок; Р=р,р', и==Еги', х=Ех', Р =Рар Х= ЯХ, 5 = — срез, Т= 707', )" = ~а)" ср —— ср,с, )ха 9 У У ау Уравнения (3.91) примут вид др' др'и' х — + — =-О, д1' дх' ди', ди' 1, 1 ! др' 1 1 д !, ди' х — + и' — =.— Х' ди дх' Гг таМа р' дх' не р' дх' ~ дх' (3.92) ! , ! ди' + — (у — 1) М')х' ( — ), Ке (, дх' ) где н=Е/(Иа) — приведенная частота, Гг= ЕГ/(дЕ) — число Фруда, я=Ег/с — число Маха, Ке=раЕГЕ/ра — число Рейнольдса, Ре = раЕ(/сра/).а = Бе Рг — число Пекле, Рг = !хасра/ьа — число Прандтля.
В общем случае движения граничными условиями являются условия обращения в нуль относительной скорости газа на поверхности тела (стенки) — условия прилипания — и условия,. накладываемые на температуру границы или тепловой поток. Обычно в газовой динамике принимают, что: 1) приведенная частота к=1, если нет частотных явлений; в этом случае параметр /а=Е/(I; 2) число Гг велико и массовыми силами можно пренебречь (электромагнитные силы не учитываются); 3) в случае, когда характерный размер Е такой, что числа йе 132 и Ре велики по сравнению с другими коэффициентами уравнений (3.92), членами, содержащими вязкость и теплопроводность, можно пренебречь.
Тогда уравнения (3.91) принимают вид уравнений идеального газа: др ди ди 1 др дз — +р — =О, — ' = О. Ш дх Ые р дх дс Граничные условия изменяются: условие прилипания и условия, накладываемые на температуру или теплопоток, заменяются на условие скольжения. Заметим, что для однокомпонентного газа число Прандтля Рг=1сс,/Л=4у/(9у — 5) и слабо изменяется при изменении температуры (10]. Для одноатомных газов у=5/3; Рг=2/3, для двухатомных газов у=1.4; Рг=14/19=0.74. Поэтому числа Рейнольдса Гге и Пекле Ре=йе Рг одного порядка для газов. Молекулярно-кинетическая теория газов дает, что 1с=1с=р1с 110), где 1 — средняя длина свободного пробега молекул, а с— средняя скорость теплового движения молекул, которая имеет порядок скорости звука (с=с).
Поэтому рИ. и и рс с 7 1 Для безразмерных уравнений (3.92) учитывать вязкость и теплопроводность необходимо, когда число Ке имеет порядок 1. Поэтому для течений с числом Маха М-1 число Рейнольдса Яе-1, когда /.=1. При нормальных давлении и температуре 1~1.0 10-' м. Итак, зона в свободном потоке, где нужно учитывать вязкость и теплопроводность при М- 1, должна быть порядка средней длины свободного пробе~а молекул /, и ее можно принять за поверхность разрыва, если характерные размеры потока газа, например диаметр трубы, в которой течет газ, много больше 1. Для малых скоростей потока М((1 и ширина зоны 1., где надо учитывать вязкость и теплопроводность, больше длины свободного пробега (Ь»1). Для сильных волн (М»1) размер зоны Е также увеличивается за счет неравновесных процессов: химических превращений, диссоциации, электронных возбуждений, ионизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
