И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3.24). Обратимые адиабаты изэнтропы — в плоскости (р, д) дают кривые — неравнобочные гиперболы, аснмптотами которых являются оси коо инат: р/р; оь Т~Т~-эсо, Однако для одноатомных газов до достижения предельного значения Р„ бе 1 1 /Р~ —" -~ со, —" -э. — = — ~ —" -з. 4) Р. 90 ~+1 произойдет возбуждение электронов с последующей ионизацней, и предположение о полнтропности газа нарушится.
Для двухатомных газов предположение о политропности нарушится еще раньше, при меньшем давлении (меньшей температуре) за счет возбуждения сначала колебательных степеней свободы, затем диссоциации газа, электронного возбуждения и ионизацни. Поэтому при большой интенсивности ударной волны газ нельзя считать политропным. Необходимо кроме вязкости и теплопроводностн внутри зоны ударной волны учитывать другие эффекты. В общем случае характеристическая функция — внутренняя энергия — кроме удельного обьема д, удельной энтропии з зависит еще от совокупности других параметров д; (состава газа У„ температур внутреннего вида движения Т,„); е=е(6, з, су,), 1=1, ..., /г.
В этом случае изменение параметров д; во времени определяется уравнением химической кинетики или релаксации с)у,)И=~,(д, з, д,), 1, 1=1, ..., А. В случае равновесных состояний все д; являются функциями б и я: Я;(61 з, д,) =О. Возможны также процессы, при которых часть параметров и; меняется раг1новесно, а другая часть — неравновесно. Обычно размер зоны протекания неравновесных процессов значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого течения физически достоверной является модель предельно тонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зонами релаксации. Если же толщина зоны релаксации мала по сравнению с характерным параметром Ь, то ее можно включить в ударную волну.
В этом случае вне ударной волны имеем равновесное течение, когда е=е(б, з). В настоя1цей главе будет рассматриваться этот случай. Вне зоны ударной волны, которую принимаем за поверхность разрыва, имеем уравнение состояния для простой среды: р=г(р, з)=а(О, ) Для простой среды термодинамика дает: 2) с,=Т(" ) )с,=Т(" ) >О. 139 Кроме того, для газа р ) О. Введем еще ограничения: 1) И'вв ) О, и) д,)О, счт 1П) д,< —. бач ' Такой газ назовем нормальным (в узком смысле). Отметим, что основные свойства ударной волны и экзотермических разрывов исследовались при более слабых ограничениях (3!.
Условие П заменялось условием П слабым: й,> — 2Т)О или П сильным: д,> — рб/с', а условие П! заменялось условием П1 слабым: ц,<2с'Т|(6'р) или П1 сильным: д,<с'Т)(0'р). Показано, что выполнение трех условий — условия 1, слабого условия П и слабого условия П1 — достаточно для того, чтобы энтропия для ударных волн вдоль всей кривой Гюгонио была монотонной.
Если рассматривать ветвь, которая соответствует сжатию, то достаточно выполнения двух условий — условия 1 и слабого условия П1 — для того, чтобы показать, что все скачки сжатия соответствуют возрастанию энтропии. При выполнении условия 1 и слабого условия П все скачки расширения соответствуют уменьшению энтропии и противоречат второму закону термодинамики. Отметим, что все перечисленные условия не являются необходимыми. Для того чтобы скачки расширения могли существовать, необходимо, чтобы л„~О; точно так же, для того чтобы скачки сжатия оказались невозможными, необходимо дч,<О.
Слабое условие 1П обеспечивает монотонное изменение р вдоль всей ударной кривой, и если давление р за волной задано, то решение един. отвеина. Сильное условие П1 достаточно для того, чтобы ю — чл,= =и — иь и е менялись монотонно; если при этом задано и — иь, то решение единственно. Таким образом, сильное условие П! вместе с условием 1 обеспечивают единственность ударных волн сжатия. Часто вместо сильного условия П! ставят условие: давление вдоль кривой Гюгонио меняется от нуля до бесконечности [4).
Для простоты докажем основные свойства ударного перехода. когда выполнячотся условия 1, П и 1П (для нормального газа). Теорема 1, Возрастание энтропии в ударном переходе явля- етс „еличиной третьего порядка малости по сравнению с силой рпзрь, „Лр (или Лр, или ЛО, или Лич). д „, а тельство. Уравнение состояния р=д(6, з) при аз то р — монотонно возрастающая функция от з, подает, этому м ' чзрешить его относительно з =5(р, О) и получигь му можно р.
е=е(б, з) =е(О, р). <.лучай, когда я,=О, особый, он был рассмотрен ранее. Введем функцию Гюгонио Н(р О р Оо) =е(р, О) — е(р, Оо)+ — (р-<-ро) (Π— Оо) (3.100) ! В начальной точке О будем иметь Лоо — =.О, или <(з(г<о<=0. ЛО 1„ Дифференцируя вдоль ударной адиабаты третий раз по О, получим еоо г «<<' ~г В начальной точке будем иметь или ! о'о<< ! <(з!г<о>= — — — ! . <(О 1г<оь 2Т «О< !г<о< (3.112) Функция Гюгонио определена во всей области, где определены р н е в плоскости (р, О).
Ударная адиабата есть Н(р, О, ро, Оо) =О. (3.110) Разрешая это уравнение, получим кривую Гюгонно р=Г(О, Оо,ро). Дифференцируя функцию Гюгонио и считая при этом начальную точку «0» (ро, Оо) фиксированной, получим <1Н = г(е+ 1(2 (р — ро) <10+ 1,'2 (Π— Оо) <(р. Подставляя йе=Т<(з — р<(О, будем иметь е 2г(Н=2Т<(з+ (Π— О,) <(р — (р — р,) Я, (3.111) Вдоль ударной адиабаты имеем 2 — ~ =-2Т вЂ” ~ +(Π— О,) — ~ — (р — р,) =0 ен< ь <, лр г «О г од г В начальной точке 0 при р=ро, О=О, получим «о — — -О, нли е(з)!'<о<=0. «О <'г<о! Дифференцируя вдоль ударной адиабаты второй раз по О, полу- чим Получим, что изменение энтропии на ударном фронте есть величина третьего порядка малости по сравнению с силой разрыва дб~гсл в окрестности начальной точки.
Теорема П, Ударная адиабата р = 1" (О, бы рь) и обратимая адиабата (изэнтропа р=Й(0, эь)) имеют в начальной точке 0 касание второго порядка, т, е, касательные и кривизны в точке «0» совпадают. Доказательство. Для ударной адиабаты р=г(О; бы рь) и з=з(О; Оы рь), поэтому можно записать Р=Й(О, (б; О. рь)).
Дифференцируя вдоль ударной адиабаты, получим йь + Й5 В начальной точке 0 (3.113) Дифференцируя второй раз вдоль ударной аднабаты, получим — = — Йса+2дь — ~ +Й„( — ) ~ +Й,—, В начальной точке 0 (3. 114) =Исаево а1>' >г>ь> ~Рз Дифференцируя в третий раз и учитывая, что В>> '>Ге> Лбе ~Г>Ь> =О, получим в начальной точке 0 формулу — =Й +Й,—,', ~ второй член в правой части которой в силу условий (3.112) и д.>0 отличен от нуля. Итак, обратимая адиабата (изэнтропа) и ударная адиабата в начальной точке 0 имеют общую касательную и общую кривизну.
Различие между ударным переходом и непрерывным изэнтропическим имеет место только в членах третьего порядка малости относительно силы разрыва и становится заметным только для достаточно сильных разрывов. Следствие. В начальной точке 0 вдоль ударной адиабатьс имеем 142 откуда, используя (3.112) и (3.114), получим >во ! >>оп 2Т вЂ” ~ = — — ~ = — й'оо!о < 0 або 1г>о> аао !г>о> Поэтому энтропия вблизи начальной точки 0 вдоль ударной адиабаты монотонно возрастает с уменьшением удельного объема (уве>'ар ~ личением плотности) и увеличением давления( 1 =во)о< 0).
(, аа ! г>о> Для нормального газа энтропию можно выразить через функцию от 0 и р: э=5(О, р). Л ем ма 1. Во всей области определения функции 5 для нормального газа имеет место неравенство 5эо5',— 25, 5о5 +5 5оо < О. (3.116) Доказательство. Напишем тождество =5(0, к(0, э)1. (3.116) В этом тождестве з и 0 — независимые переменные. Продиффе- ренцируем тождество (3.116) по з: аз(б р) 5, .
ар откуда, учитывая, что д,>0, получим 5„=1!й.,>О. (3.1П) Продифференцируем тождество (3.116) по 0: 0=5 +5 до, откуда, учитывая, что 5р>0 и д,<0, получим 5о 5ряо > 0 или яо 5о>5р Продифференцируем тождество (3,116) второй раз по О, получим 5оь+ 25ораь+ 5рряе, 5ряоь =О. Умножая это выражение на 5 ' и подставляя и,= — 5,/5», получим 5оо5' — 25 в5о5 + 5Щ= — 5одоо< О, так как 5р>0 и йоо > О.
Проведем прямую„соединявшую начальную точку 0 с любой конечной точкой 1 (рь О>) на ударной адиабате в плоскости (р, О). Эта прямая называется лучом Рэлея или прямой Микельсона. Уравнение прямой в нормальной форме имеет вид р — ро=(р1 — ро) а=па 0 — О„=(0,— О,) а=ба. !43 Предполагаем, что 6, чь-до. Лемма 11, Энтропия и функция Гюгонио вдоль луча Рэлея имеют только один максимум, причем — )О, — ! <О, — 1 )О, — ~ (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
