И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ша (ша — ша) — — (с — ш ). о о' Отсюда ш + — (и — п2)аз — са — — О. и+1 а а п са „'(3. 128) Аналогич,рэ~в силу симметрии индексов получим М т л+1 иа — и, 1 М вЂ” 1=0. и са 1 (3.129) Формулы (3.124) — (3.129), являющиеся следствием законов сохранения, позволяют наиболее просто определить ударный переход, если дано состояние по одну сторону и еще какая-то величина по другую сторону или скорость ударной волны У. Можно показать, что, несмотря на алгебраическую нелинейность уравнений, задача решается однозначно, Следует отметить, что для ударной волны в рассматриваемой системе координат всегда выполняется условие Ивлева) Иаврааа Рассмотрим опять пример, когда поршень в момент времени 1=О начинает вдвигаться с постоянной скоростью ир в первоначально покоящийся газ. В рамках непрерывного решения сразу в момент времени 1=0 возникает градиентная катастрофа и 149 Так как ш,— ша=и,— иа, то, поделив последнее выражение на са', получим С+,х=сг1 и С~; — =с,+иг — — сг+ между характеристиками + — и ) с, существует область неоднозначного решении и+ 1 л (рнс.
3.27, а, г). Предположим области покоя и Как было показано, такое решение невозможно. теперь, что решение состоит из двух областей: области постоянного течения (примыкающей к 0 хд х, 0 хг хю хг хг а 0 0 ар г 0 хя хс х. х, х 0 Рис, З.27 находим корни М-= ~ -~/ —" — ' —, +1. .+1 ., -Г( +1)' "' 2л с„$7 4аг Так как фронт волны обращен вперед, то Мс=шг/со= — (7(сг~О и надо выбрать перед корнем знак минус.
Поэтому скорость ударной волны равна 150 поршню), разделенных между собой ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью У. Скорость ударной волны при заданном состоянии покоящегося газа определяется из условия, что за ней в области 2 постоянного течения скорость газа равна скорости поршня: иг= и . Из уравнения (3.128) (7 = — ир+ ~/ + и'+ со +! Г( Ц 2и ' 4и22 Р 0 н, следовательно ир+ с~ ) (7) со, т. е.
ударная волна проходит внутри области неоднозначности непрерывного решения (см. рис. 3.27, а, б, в). Давление за волной находится по формуле (3.12б) Г и+2 о 1 ро = ро ~ — Мор — — ~. н+1 н+1 Относительная скорость 1ео=ир — (7. Из выражения иго+ иго' = оеоо + и со! = (и + 1) с„о находим сР и по формуле я+2 ро с н ро находим рь Ударная адиабата (3.107) может служить проверкой расчета. Легко показать (рис. 3.27, б, в, г), что и,+с, ) — и,+с,)(7)со и -1- 1 л и р, ) р,.
Итак, построено течение, которое удовлетворяет граничным условиям на пространственноподобной кривой (оси к~О) и на временноподобной кривой (траектории движения поршня), дифференциальным уравнениям (в областях непрерывности) и условиям на ударной волне. Существует теорема (1, 4, 15). Если на пространственноподобной кривой заданы две величины, а на временноподобной кривой — одна величина, то решение в области существует и един'- ственно, если дриускаются как часть его ударные волны, Поэтому так подобранное течение есть единственное решение. В общем случае течений, содержащих ударные волны, состояния газа по обе стороны ударной волны — не постоянн!яе течения. Они описываются непостоянными решениями уравнений идеального газа (3.38). Ударная волна распространяется по среде с переменными параметрами, возмущения за ударным фронтом догоняют его.
Таким образо)м, интенсивность ударной волны с течением времени может увеличиваться или уменьшаться. При изменении интенсивности ударного фронта даже в том случае, когда перед фронтом течение одноэнтропическое (например, покой), на ударном фронте энтропия изменяется на величину, зависящую от интенсивности ударного фронта, и за ударной 1о! волной течение не одноэнтропическое. Поэтому к уравнениям массы и импульса добавляется еще уравнение постоянства энтропии для частицы (см.
(3.38)): дз/д1 = дз/д1+ идам дх = О. Отметим, что если ударная волна небольшой интенсивности (Ло!р 2.5), то можно пренебречь изменением энтропии от части- цы к частице. Тогда течение за Р ударной волной переменной интенсивности приближенно можно считать одноэнтропическим. Рассмотрим задачу, когда поршень вдвигается в первоначально покоящийся газ, так что ди )О, т. е, с возрастающей скоростью, причем закон движения поршня такой, что образуется только одна ударная волна в> (рис.
3.28). В точке А возникает ударная волна (в точке, где впервые возникает градиентная катастрофа)'. Область К (рнс. 3.28), на решение в которой влияет как движение поршня, так и ударная волРнс. 3.28 на, ограничена линией ударной волны АР, линией поршня ВР и отрезком С -характеристики АВ.
Если бы была известна линия разрыва АВ (граница области В), т. е. У(х, г), тогда все величины и, р, р непосредственно за. ударной волной были бы известньь Эти начальные значения на АВ дали бы возможность найти решение в области Я н получить для точки В траекторию газа, которая в общем случае не совпала бы с траекторией поршня. Поэтому в обратной задаче, когда задается движение ударной волны, подбирается такая линия АВ,, чтобы траектория точки В как можно ближе совпадала с движением поршня.
Прямая же задача: по движению поршня найти решение в области Я н ударную волну А — задача с неизвестной до решения границей — не имеет общего решения. Решение для каждого случая может быть найдено численным методом, например методом характеристик. Этот прямой метод сложен, поэтому вводят упрощения, например вводят фиктивную вязкость, которая: размазывает ударную полну на несколько шагов, и получают всюду непрерывное решение или используют такую схему численного расчета, что схемная вязкость размазывает ударную волну, и опять получа1от всюду непрерывное решение.
В общем случае возможен такой закон движения поршня, что прн Лир)~0 в потоке перед поршнем одновременно может существовать несколько ударных волн. 1о2 й З.в. АНАЛИТИЧЕСКИН МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕНСТВИЯ ВОЛН Как отмечалось, не существует общего решения даже для одномерного плоского непрерывного течения, содержащего разрывы.
Но если начальное движение сравнительно простое: состоит из областей постоянного потока, разделенных между собой ударными волнами постоянной интенсивности, контактными поверхностями и простыми ~волнами разрежения, то можно провести анализ последующего течения, рассматривая взаимодействия волн расширения и ударных волн постоянной интенсивности друг с другом и с контактными поверхностями. Волны могут встречаться или догонять друг друга, и в результате их взаимодействия возникает новая волновая картина д~вижения.
В отличие от течений, описываемых линейной системой уравнений (линейных задач), принцип суперпознцин здесь не имеет места. Возможны случаи, когда две волны, обращенные в одну и ту же сторону, встречаются и взаимодействуют друг с другом. Рассмотрим четыре возможных случая. П Ударный фронт 5, движется позади ударного фронта 5ь обращенного в ту же сторону. Ударный фронт 5, относительно состояния между фронтами 5, и 5з движется с дозвуковой скоростью, а ударный фронт 5з относительно этого же состояния движется со сверхзвуковой скоростью.
Поэтому ударный фронт 5з догонит ударный фронт 5ь 2. Волна разрежения к, движется позади ударного фронта 5ь обращенного в ту же сторону. Ударный фронт 5, относительно состояния между 5, и к, движется с дозвуковой скоростью, а голова волны разрежения Й~ относительно этого же состояния движется со звуковой скоростью. Поэтому волна разрежения к1 догонит ударную волну 5ь 3. Ударный фронт 51 движется позади волны разрежения Яь обращенной в ту же сторону.
Хвост волны разрежения й'1 относительно состояния между й,', и 5~ движется со звуковой скоростью, а ударный фронт 51 относительно этого же состояния движется со сверхзвуковой скоростью. Поэтому ударный фронт 51 догонит волну разрежения й'ь 4. Две волны разрежения, обращенные в одну и ту же сторону, никогда не встретятся. Хвост волны разрежения, идущей впереди, движется с той же скуостью, что и голова волны разрежения, идущей позади. Из этих положений следует вывод, что две ударные волны или ударная волна и волна разрежения, или волна разрежения и ударная волна, обращенные в одну и ту же сторону, не могут выйти из одной и той же точки в один и тот же момент времени.
Значит, из одной и той же точки в один и тот же момент времени в одну и ту же сторону выходит либо волна разрежения, либо ударная волна. Это верно только для нормального газа. Для сред, 155 у которых дее может менять знак, это утверждение не имеет места *>. Рассмотрим аналитический метод решения задач взаимодействия элементарных волн для случая политропного газа. Найдем уравнение ударной адиабаты в плоскости (Р, и). Извлекая квадратный корень нз выражения (3.125), получим + / (л+1)Рт+Ре 1/ (л+1)Ро+Ра Уравнение сохранения полного потока импульса (3.94) Ра — Ре Ра — Ро во — сот по — па дает и — и = Ръ Ро о — Ш откуда получим ударную адиабату в плоскости (р, и): лоо ит = ио ~ (Рт — Ро) ~/ = ио ~ Фо (Рт) (л+ НР, +Ро где Фо(Р) =(Р Ро) о (тс+1)Р+Ро Аналогично определяются функции Ф;(р).
Заметим, что функция Фо(р) обладает следующими свойствами: 1) сро (Р = Ро) = 0' и) Фо(Р=-О) = — )аиро()о' з) Ф,'(Р)~о; 4) Фо' (Р) (О; 5) Фо(Р-э-оо)-+-оо; б) Фо'(Р— а.со) е.о; 7) Фо(Р1) = — Ф1(Ро). Тах Кая дЛЯ ударНОГО ПЕРЕХода ивлева) исправа, то и=ис+Фс(Р) пРи Р)Ро дает все значениЯ паРаметРов за УдаРной волной, обРащенной впеРед, а и=ис — Ф,(Р) пРи Р >Ро дает все значениЯ параметров за ударной волной, обращенной назад. Для непрерывного одноэнтропического течения область, соседняя с постоянным потоком, есть решение простой волны (3.89):ь и1~-пс~=ис~лсс (зззо) Свойства ударных волн яля простых сред с произвольным уравнением состояния изучались в работе (141.
154 Знак минус — для волны, обращенной вперед, знак плюс — для волны, обращенной назад. Выразим скорость звука с как функцию р, используя уравнение нзэнтропы рд'=раб', у=(п+2)(п. Из уравнения изэнтропы получим «+2 «+2 Р = ар о Р «о(«+ 2) / па= рб =.У и (и + 2) О р и-~ а р Подставляя это выражение в формулу (3.130), получим и, = и, ~ к и (и+ 2) р, " 'О, (р1"+а — ра"+') = иа ~ фо (р,), (3.131) где « 1 «Ро(р) =' а п(п+ 2) баро + (Р ~ ра + ). Аналогично определяются функции оч(р). Функция аро(р) обладает свойствами, аналогичными свойствам фУнкции «Ра(р): 1) фо(р=ро) =0; 2) фо (Р = 0) = — )г п(п + 2) Робо ' 3) фа (р) ~0; 4) фа'(р) (О; 5) фа(Р— ««аа)- аа; б) фа'(р-а.аа)-а-О; у) фа(Р1)=ф1(ро) Если состояние перед волной разрежения (ра, Оа), то состояние за простой волной разрежения р(ра дается формулой (3.131).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
