И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для траектории частицы: Со: — =1айг=и,=о, г. их Со: — =1дйг=-иг ( ио=о, ох нг Со. — = 1й ро =- и, ( и, ( и„= О, со и т. д. до хвоста волны. Для С=характеристик: С; — = 1й соо = ио — с, = — с, < О, г, ох со ох С: — = 1й а, =- и, — с ( — с, Ф 2. ох — — =био =ио — со< иг — с, < — с, и и т. д. до хвоста волны.
Поэтому С -характеристики с течением времени сходятся. Если имеем случай, когда бр<0 вдоль траектории частицы 122 Рис. 3.12 С+ . с(х[с(1=и+ с =сопз1, откуда получим Тогда х= (и+с)1+хо= (и+с)1+$, ~=х — (и+с)1. Условие, что скорость газа и и скорость звука с вдоль С„-характеристики постоянные, выражается так: и=Г(й) =г" [х — (и+с)1), (3. 87) с= 6Д) =6 [х — (и+с)1), Заметим, что зти соотношения не представляют решение в явном виде, так как оии не разрешены относительно неизвестных и и с. Исследуем, как со временем меняется крутизна фронта ди/с(х.
ди ди дх Так как — = — —, то дй дх дз ди ди д$ Р'(й) (3.88) дх дх 1 + 1Д' + 6')1 дй 123 при Н1>0, то такая волна называется простой волной разрежения. Для простой волны разрежения, обращенной как вперед, так и назад, аналогично можно показать, что прямолинейные характеристики, несущие постоянные значения параметров, с течением времени расходятся. Прямолинейные характеристи- и 1 сй с,' с,' ки простой волны несут с собой постоянные значения и и )т (нли с), вдоль каждой характеристики свое, и характеристики не параллельны.
Позтому в простой волне происходит искажение формы волны при д„)0, когда система ур Ы [3.61)» Ж. и на (рис. 3.12). Рассмотрим пример. Пусть при 1=0 задано: и=с(х), причем при 0<х<х, Е(х) возрастает от 0 до иь а при х,<х<хз Е(х) убывает от и| до О, и и=О при х(О, х~~хь Тогда, для того чтобы решение было решением простой волны, обращенной вперед, необходимо, чтобы и — 1= — 1,. В области,где 1 — заданная функция с, получим с=б(~).
Исходящие из точки х=-3 при 1=0 звуковые волны распространяются со скоростью и+с (прямолинейные характеристики несут постоянные значения всех параметров и=с($), с=б($)): Для участка волны разрежения от С>4-характеристики, исходящей из точки ~=хи до С>'-характеристики, исходящей из точки ~=0 (рис. 3.12), имеем Нр, ди, д(и+с) <О при с(с<0 вдоль траектории' частицы газа.. Поэтому вдоль траектории Е'Д) =ди/д~~О Е'(й)+б'(й) =д(и+с)/д~)0.
Знак равенства может быть только для характеристики С„' (при >ь=х;), Прн возрастании 1 вдоль С!-характеристики числитель (3.88) постоянен для данного ~, а знаменатель увеличивается из-за наличия й Значит, крутизна фронта для одного и того же ~ вдоль С!.-характеристики будет уменьшаться, волна будет сглаживаться (рнс. 3.12), Для участка волны сжатия от С+(~=х,) до С+($=х,) Нр, ди, д(и+с) больше нуля при де<0 вдоль траектории частицы газа.
Поэтому вдоль траектории Е'(~) (О; Е'(5)+6'($) <О кроме, может быть, точки 5=х!. Поэтому вдоль С>-характеристики при' постоянном ~ и увеличении / числитель (3.88) постоянен, а знаме. натель уменьшается, крутизна фронта увеличивается и при 1+ (Е'+б')(>=О знаменатель равен нулю. Итак, ди/дх-> — оо при — )О, ! Е'($) + 0'($) Для каждого значения ~ будет свое время 1". При наименьшем времени ( м =1'" наступает градиентная катастрофа (в точке ((**, х*') имеет место разрыв второго рода первых производных). Формалю!о можно построить решение и для но теорема единственности не будет иметь места.
При />1* ' т>т (/ йэ>г л х !) йы л х !) 05л х х Рис. 3.13 будет существовать область, где каждой точке физической плоскости соответствуют три решения (рис, 3.13 — 3.15). Рассмотрим несколько примеров простых волн, обращенных вперед для политропного газа. 1. Пусть и=ЕЯ) =з(п$, + ~ з(пз 0($<п=х,; л и=О, с=О при $~ [О, хэ). Для участка волны сжатия л/2<й<и 1 л Е + 6 (л + 1 ) е>5 ь 124 и — при 5 =я.
и+1 Градиентная катастрофа возникает на характеристике С4., исходящей из точки х=з=я (при 1=0) (рис. З,И), при х"" =(и,+с )1*'+и= — с,+ и. л+1 При 1)!"" имеем три решения (точки О, 1 и 2 на рис. 3.13). 2. Пусть и=~, , + ! х при О(~~(1=х,; с=с, и и =(2 — $), (2 ~) х, = 1 ~( $ ~( 2 = ха., и=О, с=О при $~(0, ха) Для участка волны сжатия получим 1' = — =1*, х" = си+2 л л и+1 л+1 Так как 1* не зависит от й и равно 1*", то одновременно все С!.-характеристики простой волны сжатия сходятся в точке (1а х..) (рис 3 14) 1= С 1ал т>т"" с ха гс а !с дс о йс Рис.
3.14 3. Пусть и=5, „, + ! а при 0~($<1=х,; с=с, п и=($ — 2)', с=с + — я — 2)а "Ри ха=1 ( в~2=ха! с=с, и=О, с=0 при ~~=(0, ха). Для учзстка волны сжатия получим л 1 л+1 2(2 — $) при $ =2 !' — ~ со; при к=-! 2(л+1) ' Градиентная катастрофа возникает на (рис. 3.15), исходящей из точки х!=$=!, при Со.о-характеристике 2 =() () ),() 2,а х и )о г,с х и )с ба х Рис. 3.15 (3.
89) 126 ; х"*=[и(1)+с(1)[!" +1= л с,+ — ' о(7+ ц 2(л+ )) В случае политропного газа для простой волны, обращенной вперед, и простой волны, обращенной назад, можно определить все параметры газа через один, например и — и;, с=-с, ~! ~ 2-~, р=р. ~! ~ ='~" '-." Г Для простой волны можно найти в явной форме путь частиц— траектории Со и криволинейные характеристики (С для волны, обращенной вперед, и Се для волны, обращенной назад) [4], Рассмотрим движение газа в трубе, вызываемое поршнем. Пусть в начальный момент газ при х)0 находится в покое, т. е. при )=О, х-зО: и=ио=О, с=со (р=ро) Поршень в момент вре- мени )=+О начинает выдвигаться со все возрастающей скоростью, пока не достигнет окончательной скорости пол<0 при )=!в, после чего продолжает движение с постоянной скоростью иг=иоо (рис.
3.16). Законы выдвижения поршня могут быть различными, но такими, чтобы о(ио(0 при 0()((в Математически задача сводится к следующей. На оси х -0 заданы две функции: и=и,=О и с= со (или р=-р,), ось х — пространственноподобная кривая. На поршне (кривая ОР) задана одна величина и=по(!) (прини- маем, что скорость газа равна скорости поршня). Кривая ОР временноподобна (траектория).
Надо найти непрерывное течение между этими кривыми. Проведем из точки 0 С~и-характеристику С.ии; с(х)й = ии+ с, = сс=ьх = сс1. Движение поршня не оказывает влияния на все точки, область зависимости которых есть х)О. Эти точки образуют область О (см, рис. 3.16), решение в которой есть покой (и=О, с=си). Область 0 вместе с характеристикой в плоскости годографа отображается в точку О (рис, 3.17).
Поэтому С1.- и С -характеристики в области 0 — прямые линии, причем каждое семейство состоит из параллельных прямых. С+'-характеристика является границей области покоя и движения, вызванного перемещением поршня. По основной теореме Рис. 3.16 Рис. 3.17 решение в области, соседней с постоянным потоком (покоем), есть решение простой волны. Газ втекает в волну справа, поэтому имеем простую волну, обращенную вперед.
Все С -характеристики, которые исходят из С+'-характеристики, отображаются иа одну и ту же характеоистнку Г с в плоскости годографа. С~-характеристики в плоскости годографа отображаются в точки на Г ', поэтому они являются непараллельными прямыми. С~и-характеристика, выходящая из точки В кривой ОР, будет последней характеристикой простой волны, обращенной вперед, т.
е. С+и-характеристнка — хвост простой волны. Область за С+и-характеристикой (область В) — область постоянного течения, так как все С~-характеристики в ней несут одно н то же значение и=иии и, следовательно, одно н то же В=Ив. Вся область В в плоскости годографа отображается в точку В. Вся область простой волны, обращенной вперед, отображается на отрезок ОВ линии Г Р (рис. 3.17). Для простой волны, обращенной вперед, и — 1= — 1,=М=и+1и. Для политропного газа 1 1=пс, поэтому с=со+ — „и Так как на участке ОВ траектории 127 поршня в плоскости (х, 1) скорость поршня монотонно уменьшается (с(ив<0), а скорость газа равна скорости поршня, то ди< 0 при увеличении 1, и, значит, для волны, обращенной вперед, с((и+с) <О, с(р<0, т.
е, имеем простую волну разрежения. С -характеристики расходятся. Решение определено во всей бесконечной области между осью х>0 и линией движения поршня ОР (рис. 3.16). Но это решение не всегда имеет место. Действительно, так как 1=1,+и, а для газа 1=~ — > 0 то решение теряет силу, когда олр Р о 4+ив<0, т.
е. ( — ив)>1о (для политропного газа ( — ив)>пс,), Рассмотрим случай, когда — ива=(о — — лсо=-2со/(у — 1). Тогда (=и — 1,=0 (с=1=р=р=Т=О). Если волна разрежения доходит до этой стадии — ив=1,, то она называется полной волной разрежения. В этом случае точка В в плоскости годографа доходит до оси и. Скорость истечения (считаем газ политропным вплоть до 1=0) !ив( =1о=лсо=2со/(т — !) есть максимальная скорость истечения. Итак, возможны три случая: 1. Максимальная скорость поршня по модулю !и,в~ <1о неполная волна разрежения. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
