И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В теории одномерных движений получено большое количество решений (аналитических н численных). Многие выявленные в рамках одномерного приближения особенности движения оказываются качественно присущими и более сложным течениям (дву- мерным и трехмерным). Поэтому теория одномерных неустановившихся течений является очень полезной.
Запишем дифференциальные уравнения нестацнонарного одномерного движения идеального газа, когда пренебрегается вязкостью, теплопроводностью и диффузией и химические реакции отсутствуют. Уравнение импульса; дриА дри'А др — + — = — А —. дг дх дх (3.30) Уравнение сохранения массы: дрА дриА — + — = О. дг дх (3.31) Уравнение энергии: дрА(е+ — ) дриА (е+ — + — ) + О. (3.32) д! дх Пло надь поперечного сечения А в общем случае зависит от х и р(х, г): А =- А (х, р (х, !) ).
Будем предполагать, что площадь поперечного сечения известна и зависит только от х: А=А(х), тогда уравнения (3.30) н (3.31» примут вид ди ди др р — + ри — = — —, д! дх дх (3. ЗЗ) — + и — + р — =- — ри — — =- — ри —. (3.34) др др ди ! дА и!пА д! дх дх А дх Ых т "' = "' +р ' ( ' ), Подставляя в него уравнение внутренней энергии (3 35), получим: (3. 36) Ш дГ дх Используя уравнение (3.36) для простой среды (р=р(р, з)), по- лучим !оо Уравнение (3.33) получено с использованием уравнения (3.31).
Уравнение энергии (3.32) с учетом уравнения импульса (3.33) и уравнения сохранения массы (3.34) примет вид (3.35) ре Энтропия определяется из основного термодинамического соотно- шения Правая часть в уравнении сохранения массы (3.34) в случае плоской симметрии: д1п А А=сопз1, ри — =0; дх в случае цилиндрической симметрии: А=А,х, ри — = —; д1п А рп дх х в случае сферической симметрии: А=А х, ри — = —. дх х (3.38) да да — + и — =О.
д! дх Найдем собственные значения Ла. Вековое уравнение имеет вид 1 Р и — Л 0 = 0 ~ (и — Л) ((и — Л) а — са) = О, с'р 0 Л1=и с Л2 и, Лз=и+с. Характеристики задаются соотношениями Са ' дх/а/1 = и, Са.. а(х/с/1 = и+ с, С: а(х/а(1= и — с. (3.39) (3,40) (3.41) Легко видеть, что Получим соотношения вдоль характеристик собственные векторы есть 101 Для этих трех случаев можно записать правую часть уравнения т — ! сохранения массы (3.34) в виде — Ри~ причем для плоской х симметрии т=1, для цилиндрической а=2, для сферической т=3. В случае т=2 и т=3 координата х может меняться лишь в интервале (О, пп).
Итак, уравнения движения запишем с использованием формулы (3.37) в следующем виде: ди ди 1 др — +и — + — — =О, д! дх р дх др ди др х д1п А — + с'р — + и — = — рис' д! дх дх дх Р ~1, — —, О), Е'(О, О, 1), Е' (1, —, 0). Тогда будем иметь дс дс вдоль С,: — +и — =О, д! дх (3.42) ди ди 1 Г др ар 1 вдоль С+ . — + (и + с) — + — — + и (и + с)— дЕ дх рс ~ дс дх ~ сЕ!пА = — си дх (3.43) ди ди 1 Гдр др ! и!пА вдоль С: — + (и — с) — — — ~ — + (и — с) — = си ае дх рс 1 д! дх ~ дх (3.44) Более компактно эти условия записываются с помощью операторов дифференпирования вдоль характеристик: д д д а а а Р = — + и —; Р+ — — — + (и+ с) —; Р = — + (и — с) —, д! дх дС дх дС дх а именно: (3.45) Ру = О, или Р, (р) = схР, (р), 1 и!пА Р и+ — Рср= — си рс дх 1 д!пА Р и — — Р р=си рс дх (с,) (с+) (3.46) (с ) (3.47) 102 Система (3.42) — (3.44) представляет собой характеристическую форму исходнои системы уравнений (3.38) н эквивалентна ей.
Теорема существования и единственности, доказанная для решения, принадлежащего классу С„допускает различные обобщения. Одно из них заключается в том, что теорема остается справедливой и для решений, в которых и, р и з предполагаются лишь удовлетворяющими условию Липшица, что дает возможность применять теорему единственности и для движений, содержащих слабые разрывы (2, 51.
Рассмотрим некоторое направление, задаваемое вектором бесконечно малого смещения в точке М; (с(х, с(Е). Направление называется временноподобным, если оно разделяет направления касательных к характеристикам С.!.(М) и С (М), выходящим нз точки М в сторону сЕЕ>0.
Направление (с(х, сЕЕ) в точке М называется пространственноподобным, если оно оставляет по одну сторону направления касательных к характеристикам С„(М) и С (М), выходящим из точки М в сторону сЕЕ>0. Кривая Е называется временноподобной (или пространственноподобной), если во всех ее точках направления касательной к 1 являются временноподобными (или пространственноподобными)"! (рис. 3.6). Рассмотрим слабые разрывы в одномерном неустановившемся течении. Характеристика С является линией слабого разрыва, если решение всюду непрерывно и по каждую сторону С непрерывно дифференцируемо, но на С некоторые первые производные от и, р и а терпят разрыв первого рода (при переходе через С с)( с, т' прпспрансп Ппиипппдпдипи Рвс. 3,6 [ь! и! — — [сй р[= О, рс так как коэффициенты непрерывны, т.
е. (3.50) *' Отметим, что любая прямая 1=сопа1 является пространственноподобной, а любая контактная характеристика С„не являюшаяся линией вакуума,— временноподобпая кривая. !Оз меняются скачком). В этом случае, как было показано ранее, производные по касательному направлению к С меняются непре- рывно. Поэтому разрывными первые производные могут быть только по направлениям, образующим с касательной к С ненуле- вой угол (трансверсальным к С).
За трансверсальное направле- ние можно взять направление по оси х, так как характеристики не имеют направления по оси х. Тогда слабый разрыв будет полностью описываться величинами разрыва значений производ- ных ди/дх, дрых, ди/дх. Более наглядно взять равносильный этому набору производных набор их комбинаций [5[: ди 1 др ди 1 др дп те = — + — —, й =- — — — —, й4= —. дх рс дх дх рс дх дх Применение операции скачка к характеристическим уравнениям (3.45) — (3.47) для каждой из характеристик дает следующие ус- ловия на слабых разрывах: [ аз[=0, Р+ [+ — 'Р+р[=о, рс [и) = ]р) = [з] =,[р] = [с] =-О. Предположим, что слабый разрыв распространяется вдоль Сз-характеристики.
Кинематические условия (3.25) вдоль Са дают [0ои] = [0ор) =О. Используя эти кинематические условия и соотношения между дифференциальными операторами 0 ~ =0с+сд/дх, (3.5! ) 0 =0з — сд/дх, получим, что уравнение (3.49) примет вид с ~ ~ — ~+ — Я~ =с[/т] =-О) [/т') =0; уравнение (3.50) примет вид с ~~ и ~ ' [ р ~~ с[ц О ~[ц О и только ' [дз/дх) =- [М] МО.
Предположим теперь, что слабый разрыв распространяется вдоль характеристики С+. Тогда кннематические условия (3.25) вдоль характеристики С~ таковы: [О+и] = [О+р) = [0~р) =0~ [а] =О. Используя эти кинематические условия и первое соотношение (3.51), из уравнения (3.48) получим [0,з] = [0+з) — с [дз/дх] = О, откуда [дз/дх] = [М] =О. Уравнение (3.50) с использованием кинематических условий на характеристике С+ и второго из соотношений (3.51) примет вид ,р] ~ ~ ([ .р] ~ Ц = — 2с ~ ~ — ~ — — ~ — ~1~ =- — 2с[Ц =0=)~[Е] =0 и только [/т) чьО. Лналогично, если вдоль характеристики С распространяется слабый разрыв, то [М] =О, [/с) =0 и только [ЦФО. Итак, при распространении слабого разрыва мы имеем; вдоль Сз, .[/с) ==О, [Е! =О, [М]ФО; вдоль С+ .
Я ФО, [Е] =О, [М) =0; (3.52) вдоль С: [Р) =О, [Е]ФО, ]М) =О. 104 Следовательно, на слабом разрыве для каждого типа характеристик две из комбинаций трансверсальных производных )с, Е и М меняются непрерывно. Для той комбинации производных, которая имеет ненулевой скачок, можно получить уравнение, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию этой величины вдоль соответствующей характеристики. Для М=д4дх продифференцируем первое характеристическое уравнение (3.45) по х: ды дар ди дх +и — + — — =О=у дСдх дхс дх дх д дх д дс ди дх — — + и — =- — — — ==,'> дс дх дх дх дх дх =а> Р М = — — иМ. дх Учитывая, что ди ди 1 др ди 1 др рс дх + дх дх рс дх дх получим РаМ = Я+ ~) М. 2 (3.53) Для получения транспортного уравнения величины Я вдоль характеристики С+ продифференцируем уравнение (3.46) по х.
Получим д Р+(т = — — (и + с) Я вЂ” — — .Р+ р + — Р+ — + дх дх 1 рс,[ дх ~ рс ) + — ~си — ) д / д1пА (3,54) дх ~ дх В этом выражении величины р и с будем рассматривать как функ- ции термодинамических параметров р и з. Если уравнение состо- яния для давления взять в виде р=((р, з), то сс=, ( — [ =-(р=~с=1с гр., 1 др,[, 105 Это транспортное уравнение для величины М вдоль характерис- 1 тики Са.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
