И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Система (3.64) называется канонической гиперболической. Теорема существования н единственности в классе С, доказывается аналогично тому, как это делается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений [4). Заметим, что в случае, когда исходная система (3.57) линейна, Х! и )!х — известные функции х, й Уравнения (3.61) не связаны с уравнениями (3.63) н поэтому определяют два семейства характеристик С и С! независимо от решения и!, иь Если исходная система приводимая, то в уравнениях (3.63) 7!!!=Я!=О.
Характеристики Г в плоскости (иь и,) являются изображениями С-характеристик в плоскости (х, 1). Они определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями: Г: Аи!)Аи,= — С!(иь иэ), в эквивалентную ей линейную систему путем замены зависимых и независимых переменных. В этом случае физическая плоскость (х, 1) переходит в область в плоскости годографа (иь и,).
И обратно: если У=111=,~0, то плоскость годографа (иь и,) переходит в физическую плоскость (х, 1). Рассмотрим «потерянные» для преобразования годографа решения — особые решения, когда 1=0 в области. Возможны два случая. 1. Физическая область (х, 1) переходит в точку в плоскости годографа. Это случай постоянного течения; и,=-сопз1, и,=сопэ1 в области. Тогда характеристики С+ , г(х)г(1="д,(иь и,) =сопз1, (3,66) С: с(х/Ж вЂ” — 1о(иь ия) =сопз1 — прямые линии, параллельные для каждого семействаай 2. Область в физической плоскости (х, 1) переходит в плоскости годографа (иь ия) в линию.
Такое решение может быть получено для приводимой системы. Оно называется решением простой волны. Простая волна — такое решение, при котором все семейства характеристик одного направления, например С -характеристики области )с в физической плоскости (х, 1), отобра- Рис. 3.8 жаются в плоскости годографа (иь ия) на одну и ту же характеристику Г (рис. 3.8). В этом случае вся физическая область )с, через каждую точку которой проходит какая-то характеристика С , отображается в плоскости годографа в линию Г' . Так как изображение каждой характеристики Се в области простой волны )с лежит на харак- ю Обратное неверно.
Для лииейяой системы (З,ба) с постояннымн коаффкдиентами характеристики Сг и С вЂ” параллельные прямые для каждого семейства для любого непостоянного решения иь иь теристике Гл, а вся область ()г), включая точки этой характеристики С+ в области простой волны, отображаегся в Г ', то С~-характеристика отображается в точку пересечения Гл и Г ', т, е.
на Сл. иг и и, постоянны и, значит, характеристика С~ (йх)а1 = =лт(иь ит) =сопз1) прямая. Поэтому Сл-характеристики области простой волны — непараллельные прямые линии. Докажем лемму: Если решение таково, что в гризической плоскосги (х, 1) илгеется одна характеристика, наприлгер Сл, на которой и, и и, постоянны (такилг образолг, она прямая), то решение в области, заключающей Слг-характеристику, либо есть решение прас~ой волны, либо ггостоянно. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Характеристика Сэг в плоскости годографа отображается в точку (1) (рнс. 3.8). Рассмотрим область (Л), которая содержит С -характеристики, выходящие нз С -характеристики. Так как изображение Сл.г-характеристик в плоскости годографа есть точка 1, то изображения всех характеристик С области )х проходят через эти точки, т. е. все характеристики С отображаются на одну характеристику Г ', проходящую через точку 1, н решение в области )лг либо есть решение простой волны, либо постоянно, когда все С характеристики в плоскости годографа отображаются в одну точку 1.
Отсюда следует теорема: региение в области, соседней с постоянным потоком (и,=сопз1, ил —— =сопз1), есть решение простой волны, В самом деле, граница области постоянного потока и непостоянного есть характеристика, на которой значения иг и ил постоянны. Значит, область, содержа. щая эти характеристики, по лемме есть решение простой волны. Заметим, что область называется соседней с областью 1, когда в нее входят характеристики одного семенства из области 1. Возможен случай, когда 1'=О не в области, а вдоль кусочно- гладкой линии.
Такая линия в физической области (х, 1) называется линией перехода, или линией ветвления, а в плоскости годографа — краем. Эти линии существуют реально для приводимых систем. Можно показать, что край есть огибающая одного из семейств, например Гл.-характеристик в плоскости годографа. Другое семейство (Г -характеристики) имеет на этой линии (крае) точки возврата [4, 8). При обратном преобразовании от плоскости годографа (и„и,) к физической плоскости (х, 1) кроме общего случая, когда 1=д(х, 1)/д(и„и,)чьО и область в плоскости годографа отображается в область в физической плоскости, возможны также случаи, когда 1=-0 в области плоскости годографа.
В этом случае плоскость годографа отображается либо в точку, либо в линию в физической плоскости. Эти случаи не представляют практического интереса и не рассматриваются. Возможен также случай, когда 1=0 вдоль кусочно-гладкой линии Ы. Такая кривая 5 в плоскости годографа называется критической линией, а ее отображение в физической области— предельной линией. Можно показать, что предельная линия является огибающей характеристик одного семейства в физической 113 (3.67) — +с р — + и — =О.
др з ди др дг дх дх Их можно привести к канонической гиперболической системе — — (и+с) — =О, дх д! дсс да дх дг — — (и — с) — = О, дй дй ди ! др — + — — =О, да рс да (3.68) ди ! др — — — =О. дй рс д5 Характеристики в физической плоскости (х, 1): С+ . с(х =Ля!(1= (и+ с) Ж, (3.69) С; с(х=Л,с(1= (и — с) с(1. Характеристики в плоскости годографа: Г+ '. с(и+ — =О, др рс (3.70) Г: с(и — — = — О.
ир Р Введем функцию Р =1(р). ,! р(р]с(р) о Тогда характеристики в плоскости годографа (и, 1) — прямые линии: Г+. и+1=2г,=2 т((з), (3.71) т(4 плоскости. Для другого семейства характеристик и для Сс (траекторий) предельная линия является местом точек возврата. В газодинамической системе уравнений ускорение и градиент скорости на предельной линии бесконечны [4, 8). Рассмотрим случай одномерного плоского одноэнтропического иеустановившегося течения газа. Запишем уравнение импульса и уравнение сохранения массы: ди ди 1 др — +и — + — — =-О, дС дх р дх Г: и — 1=-2г, = — 2ь(а), г н ь — инварианты Римана. Уравнения (3.71) показывают, что изображения Ге и Г характеристик Сь (т=сопз1) и С (ь=сопз1) в плоскости годографа (и, 1) являются двумя семействами параллельных прямых, не зависящими от решения.
Для политропного газа р=А(з) р, Так как течение одноэнтропично, т. е. з=з,=сонэ! для всей об- ласти, то г — 7 у ~оу т — 1 т — 1 где 2 ат2. и и = — =р у =- —; е = с Т = — ЛТ; т — 1 п 2 л в молекулярно-кинетической теории газов есть число степеней свободы независимых видов энергии. Так, для одноатомного газа гелия три степени свободы: п=З.
Для воздуха, когда температура и давление не сильно отличаются от соответствующих значения при нормальных условиях, п=5. Рассмотрим решения для некоторых значений т. 1. 7=3, п=1. Физически это невозможно, так как 1(у=се/сг( (5/3. Случай у=З можно рассматривать как приближение, когда уравнение обратимой адиабаты в плоскости р, р' заменено линейной зависимостью — прямой: А~Р~~+ В~ случае и+1= и+ с = 2 с и С+-характеристика В этом пейна: г(хат((= и+ с=2г=сопя!. (3.73) Аналогично и — 1=и — с= — 2ь и С -характеристика прямолинейна: г(х|а1= и — г = — 2ь= сопя!. (3.74) Итак, Се- и С -характеристики — прямые, вообще говоря, не параллельные, и и и с вдоль каждой из них меняются.
В этом случае можно найти общее решение при 1эьО(=:-д(гь) /д(х, !) эьО), Интегрируя (3.73), получим х= (и+с)!+сопя((и+с) = = (и+с)1+2г,(и+с) = (и+с)1+2~~(с). Интегрируя (3.74), получим 115 х= (и — с) 1+2? 2(и — с) =(и-с) 1+2(2(ю ). Сложим полученные соотношения и разделим на 2с.
Учитывая, что с=1= с +ю, получим г'г (и+ с), сг (и — с) й (г) ?г(Ь) с с г+Ь г+Ь Найдено общее решение для С, зависящее от двух произвольных функций ?1 и 12, Получим решение для х, учитывая, что х = (с — ю) ~ — — '' + ' 1 + ?г (с) + !"2 (ю) = с+ь г+ь ) )' (с) + — )' (ю). 2Ь 2» г+Ь ° +ь ' (3.7б) р= — Ас — +В,= — А,б+В,, ! (г (3.77) Можно найти общее решение для этого случая при 1Ф1: 2» =и+?=и — с, — 2ю=и — ?=и+с, поэтому, переходя от и и р к с и ю, получим из (3.68) дх/дю = — 2ю дс?дю, (3. 78) дх?дс = 2с д(/дс, Дифференцируя первое уравнение (3.78) по с, а второе по ю, получим дгх гдс дю = — 2ю дг(?дс дю, дгх)дс дю = 2с дг»?дс дю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
