И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Итак, начальный разрыв иногда сглаживается, как в случае центрированной волны разрежения; в то же время существуют другие виды движения, начинающиеся как совершенно гладкие волны, которые обязательно сопровождаются разрывом. Ускорение в прямом движении или замедление в обратном движении поршня приводит к градиентной катастрофе. Необратимые процессы за счет вязкости и теплопроводности в маловязких средах в свободном потоке обычно происходят в узких зонах, где градиенты скорости и температуры очень велики, а вне этих зон тече- 133 ние описывается дифференциальными уравнениями идеального газа (3.38) (или (3.67) для одноэнтропического течения) а~.
Предположение о замене зоны на поверхности разрыва скорости и давления является идеализацией и для умеренной силы разрыва хорошо согласуется с опытом. Дифференциальные уравнения идеального газа не имеют места при переходе через поверхность разрыва. Они выведены в предположении, что функции и и Р непрерывны и имеют непрерывные первые производные, т. е.
принадлежат н классу С1 и для гиперболической системы уравнений (3.38) и (3.67) обобщены для класса непрерывных функций, когда первые производные могут терпеть разрыв первого рода**~. Поэтому необходимо применять законы в интегральной форме. Они связывают состояния перед и за поверхностью разрыва (гл. 1). Интегральные соотношения учитывают необратимые процессы, происходящие внутри зоны разрыва, без привлечения явных необратимых законов. $3.8. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим поверхности разрыва, когда можно пренебречь внешними воздействиями внутри поверхности, а вне поверхности разрыва можно считать среду идеальным газом.
Тогда соотношения, связывающие состояния по обе стороны разрыва в одномерном течении, имеют вид (см. гл. 1) р1ш1= ро гпо =.4г = — пт, вагит + Рт = пала + Ра = 'У (3.93) (3.94) 2 ) 2 )' (3.95а) (3.96а) ( пт! (зт — яа) = а)е ) О„ где в=и†(7 — скорость газа относительно поверхности разрыва; поток массы через поверхность разрыва .4т в дальнейшем будем обозначать буквой т, Индекс 0 соответствует состоянию газа перед ударной волной, индекс 1 — состоянию за волной, ось х ориентирована слева направо.
Для контактного разрыва (па=О) имеем иг=мо=(у и Р1=Ро. Для ударной волны (птФО) уравнения (3.95), (3.96) можно записать в виде 134 Вязкость и теплопроводность необходимо учитывать около поверхности обтекаемых тел (стенок), где градиенты скорости и температуры также велики. В пограничном слое число М меняется от нуля на стенке до числа М вне слоя.
Толщина пограничного слоя б хотя и мала, но не пренебрежимо мала. Учет пограничного слоя дает возможность определить сопротивление тела, теплопоток к телу и другие характеристики. В случае, когда учитываются вязкость, теплопроводиасть, релаксация, диффузия в химические реакции во всей области, такая задача сопряясева со значительными математическими трудностями. В случае линейной гиперболической системы уравнений сильный разрыв — разрыв искомых функций и и р — распространяется, как и слабый разрыв, по характеристикам. (3.95б) й; хо= ~т~ (3.96б) Отметим одно обстоятельство.
В случае непрерывного адиабатического течения идеального газа при отсутствии химических реакций из закона энергии выводится постоянство энтропии для частицы и наоборот. Поэтому, предполагая, что энтропия частицы постоянна, автоматически удовлетворяем уравнению энергии. На разрыве же уравнение энергии и уравнение энтропии — отдельные независимые уравнения. Рассмотрим механические условия (3.93), (3.94). Они дают соотношения поз= — ' ' = — 1па, бо бо (3.97) Р1 — Ро юоюо = Р1-Ро (3,98) Р1 — Ро (3. 99) мо — м~ Из последнего соотношения (3.99) следует, что Лр/Л(ш)(0, т. е. с ростом давления на ударной волне модуль относительной скорости уменьшается.
Соотношение 1да= — то(0 показывает, что состояния 1 не могут лежать в первом и третьем квадранте в плоскости (Р, О) (рис. 3.22). Из механических условий можно также получить юо ш1 = — (1)о+ бо) (Ро Ро) (3.100) (шо '"'~) = (1)о 01) (Р| — Ро) откуда 135 ~81 — шо =п1 — по= ~ К вЂ” (Ро — Ро)(01 бо) (3 101) Рассмотрим особый случай, когда среда такая, что уравнение состояния при переходе через ударный фронт можно принять за баротропное: Р=1(р) =й (О). (3.102) Три уравнения: два механических (3.93), (3.94) и одно уравнение состояния (3.102) связывают семь параметров; ро, ро, цо, рь рь и, и (7. Если же задать начальные параметры и еще один параметр У (или рь нли рь или и;), то эти три уравнения позволяют определить оставшиеся три параметра.
Для многих задач этого оказывается достаточно. Для уравнения состояния Р=д(0) внутренняя энергия имеет вид Каждый член в правой части известен из механических условий и уравнения состояния для давления. Уравнение (3.104) дает воз- ро Рис. 3.22 Рис. 3,23 можность определить изменение температуры и энтропии на ударном фронте. Подставляя в уравнение энергии (3.95б) соотношение (3.100), получим О1+ Оо Ь1 йо 2 (Р1 Ро) (3.105) (приращение энтальпии на ударном фронте равно работе проталкивания, произведенной разностью давления над средним объемом), или е1 ео 2 (ОО 01) Р1 + Ро (3.!06) '136 е =-е'(О)+ еи(з) =е'(О)+ ен' (Т). (3.103) Действительно, основное термодинамическое соотношение для простой системы с/е = ТсЬ вЂ” рс/О = (де/дз),сЬ + (де/дб),с(О дает: 1) (де/дО) = — р= — И(О), поэтому е(О, 3) =) й" (О)пО+сопз((з) =е'(О)+еи(з); 2) Т= (де/дз) „=дев(з)/де=-/1(з), Так как с =Т(дз/дТ)Р, то (дз/дТ),)0 и уравнение Т=/,(3) можно разрешить относительно е (т.
е. зс к(Т)) и получить уравнение (3.103). Из уравнения энергии (3.956) получим е" (21) — еч (зо) = ев' (Т1) — еш (То) = 2 2 осо =е'(О,) — е'(О,)+р,О,— р101+ — — —,. (3.104) (приращение внутренней энергии на ударном фронте равно работе расширения, производимой средним давлением во время сжатия).
В уравнения (3.105) и (3.106) входят только термодинамические параметры. Они называются соотношениями Гюгонио. Каждое из них заменяет уравнение энергии. В случае баротропного уравнения состояния в плоскости (р, б) имеем одну и ту же кривую как для обратимого адиабатического процесса (изэнтропического), так н для ударного перехода (рис. 3.23). Точка 0 — начальное состояние, точка 1 — конечное состояние. Тогда для ударного перехода имеем е,— е„=е'(б„) — е'(б,)+за(з,) — еп(з„) = Р'+ ~' (б,— О„).
В плоскости (р, О) разность е,— ез есть площадь Х,р трапеции Б10АБ (рис. 3.23). При непрерывном обратимом аднабатическом переходе из состояния 0 в точку 1 получим (прн з=сопз() е, е, — е„= е' (О,) — е' (6,,) =- — 1 р дб = Хе, где Хе есть площадь криволинейной трапеции Б1ЕОАБ. Разность площадей Х„и Хе определяет площадь Хл лунки 01ЕО на рис. 3.23: еп(з,) — еп(з,)=еш(Т,) — еп'(Т0)= ~ н Р (бз — 0,) — ~ рдО=Хл 2 Следует отметить, что для ударного перехода состояние 1 характеризчется параметрами рь йь зь а для непрерывного перехода при изэнтропическом сжатии — параметрами рь Оь зм т.
е. в плоскости (р, О) это одна точка, а состояния разные. Разность Леп=Ле'и можно трактовать как ту часть энергии ударной волны, которая пошла на увеличение энтропии (или температуры), т. е. на необратимые потери на ударной волне. 3 а м еч а н не. Если р=я(6) — линейная функция (закон Гука), то Лен=О, В этом частном случае на ударной волне нет необратимых потерь.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение состояния для давления р =д(б, з) такое, что дд/дз =й.>0. В этом случае р— монотонная функция з и, значит, з=з(б, р) — однозначная функция. Тогда е(6, з) =е(6, р). Для этого случая соотношение Гюгонно (3.106) дает ударную адиабату в плоскости (р, О): е(р, О) — е(р„б,)+ р' (б — 6,) =О. 2 Индекс 1 опустим. Кривая Гюгонио — ударная адиабата — дает все возможные состояния, которые можно достичь из заданного начального состояния 0 при помощи ударного перехода.
137 Для политропного газа рд=)сТ, с=с„Т= — Г(Т= — ~ — — — — — ) л лрд! получим у! ! до у — ! Р (л -а- 1) до — д (3 107) Ро (л+1)д — до У-)-! — д — д, у — ! 1) ри- ро (3 )оз) !) Ра+ Р рд —:. =~%'=( —.") В отличие от обратимой Рис. 3.24 адиабаты ударная адиабата не дает промежуточных состояний внутри ударной волны, она дает только связь между начальным н конечным состояниями.
Изменение энтропии для политропного газа з — з,=с,1п ~ — ( — ) ~ Подставляя (3.107) в это выражение, можно показать, что при д<до (р>ро), т. е. для ударной волны сжатия, имеем з>зм а при д>до (р<ро), т. е. для ударной волны разрежения, з<з,. Так как из неравенства (3.96) следует, что з>зо, то для политропного газа возможны только ударные волны сжатия. Ударные волны разрежения для политропного газа невозможны. Изменение температуры определяется формулой рд 1(л+ 1) до — д) д То Родо 1(л+ !) д — до) до и для волн сжатия Т>Т,. При этом с увеличением интенсивности ударной волны (увеличением р/ро) температура возрастает и при 138 Обращая, получим до (л + Ро д (л+ В плоскости (р, д) это уравнение дает гиперболу Г с асимптотамн д=до)(л+1) и р= — ро)(п+1) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
