И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(3.118) дт!о ' аа !1 аа /о ' о!аи Доказательство. Вдоль луча имеем оР ! Р Ро Ро Ро о!О л Ь вЂ” Ьо оэо — бо Подставляя это выражение в (3.11), получим вдоль луча (3.119) Если Н н з вдоль луча рассматривать как функцию параметра а, то Н(а) и з(а) должны быть в силу (3.119) одновременно стаци- онарны, т. е. если Н6о(а!л=О в какой-то точке, то и Ыйа!л=О в этой точке. Для нормального газа луч не может совпадать с ударной адиабатой Н=О (как в случае закона Гука), так как в начальной точке ударная адиабата имеет кривизну, отличную от нуля.Гочки 0 и ! луча находятся на кривой Гюгонио.
Поэтому Н(ро, Оо Ро, Оо) =0 пРи а=-О, Н(рь Оп ро, Оо) =0 при а=1, и дН ! л = 0 быть не может. Следовательно, должен быть хотя бы один экстремум для Н (а значит, и для з) в интервале 0<а<1. Энтропия вдоль луча есть функция от а: з=5(О(а), Р(а))- Дифференцируя вдоль луча, получим а'о ай о!Р— = 5о — —,,'- 5р — ---5оЬ -т- 5ри. о!а аа еа В точках экстремума энтропии имеем дэМа=5оЬ+5ра=О, т. е.
5о!5р= — а!Ь. (3."(20) Вторая производная от энтропии'вдоль луча есть т(2Фт(а2.=5ооЬ2+25а аЬ-!-5 а', 5р Умножая на — > 0 и учитывая (3.120), получим в точках эксть' ремума о2 По лемме 1 правая часть отрицательна и доз/дат<0 вдоль луча в точках экстремума, т.
е. экстремум з вдоль луча может быть !44 только один, причем это должен быть максимум. Это же справедливо и для функции Гюгонио вдоль луча, так как Йн вр ЙрН арр ЙТ ар — =Т вЂ” и — =Т вЂ”.+ — —, ив вв ввр на' йв нг ' а в точке экстремума с(з1сЫ(0 и, следовательно, с(тН(йа'= Тс(тз|йае<, О. Поэтому с(Н!с(о1, > О, йН/с(а(, ~ 0; дв1с(а), > О, сЬ1да(, ( О. Таким образом, функции Н(о) и з(а) вдоль луча имеют вид, изображенный на рис, 3.25.
Теорема 1П, Энтропия вдоль всей ударной адиабагы меняется монотонно. Доказательство. Для того чтобы доказать монотонность энтропии вдоль кривой Гюгонио Н=О, достаточно показать, что на ней с(в~с~О, кроме начальной точки О. Если бы эйтропия была стационаРна в точке 1, т. е. с(з1го1=0, то в этой точке вдоль ударной адиабаты имели бы 1 г Риа 3,25 Отсюда следует, что касательная к ударной волне в точке 1 совпадает с лучом, проходящим через точку 1, но в точке 1 вдоль луча имеем из (3.!18) сЬ(го1=сЬ(щц~О, т.
е. пришли к противоречию. Итак, такой точки, где аз1г=О вдоль ударной адиабаты, кроме точки О, быть не может. Следовательно, энтропия вдоль всей ударной адиабаты меняется монотонно, а так как в окрестности начальной точки энтропия вдоль ударной адиабаты растет с ростом давления (следствие теоремы П), то при движении от начальной точки вдоль всей ударной адиабаты 145 2йН!гп1 =(Ог Оо) с(Р1г<п — (Рг Ро) сЬ! гп1 =-О (3 121) При этом Ю)цц~О. Действительно, если Ю~г1п=О и О,ФО,, то йр~гп1 —— О, что невозможно (глучай изолированной особой точки ударной адиабаты исключается), Если НО~ го1=0 и О~=бы тогда с(Р)гп1ФО и имеем веРтикальную касательную, В этом случае дз! гго =5рс(Р( гп1 рг 5ьйЪ 1 гп1 =-5рдр =--0 и при йр4=0 5р=О, что не~возможно, так как согласно (3.117) 5 )О. Поделив выРажение (3.121) на Ю~г10ФО, полУчим сжатия энтропия возрастает, а при движении от начальной точки вдоль всей адиабаты расширения энтропия убывает, Таким образом, из второго начала термодинамики (3.98) следует, что для нормального газа возможны только ударные волны сжатия и неаозможны ударные волны разрежения.
Следствие 1. Луч Рэлея не может касаться ударной адиабаты ни в какой точке, кроме начальной томкИ О. Действительно, если бы такая точка 1 существовала, то в этой точке имело бы место соотношение (3.122). 11оэтомУ вдоль Удайной адиабаты имели бы дН(г!» =-Тдз!го»+ (Π— О„) Йр — (р — р ) дб =ТсЬ~ г!» = О, и, значит, дз~г!»=О, что согласно теореме 11[ невозможно. Следствие 2. Луч, выходящий из начальной точки О, может пересечь ударную адиабату Н=О не более одного раза, Это следует из того, что вдоль луча функция Гюгонио Н(р, О, ры Оь) имеет только один максимум. Поэтому функция Гюгонио вдоль луча может принимать значение Н(р, О, ры Оо) =О, кроме начальной точки О, еще только в одной точке которая и является точкой пересечения с ударной аднабатой Н(!э. О, Ры Оь) =О ! горем а 'г'!1, Скорость течения газа оэтал:иземвно ФУгвнэ~ .прямой ударной волнь! ш сверхзвуковая перед фРонтом (!!во~) )сь) и дозвуковая позади фронта (~ш! ~ (с!).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Производная от энтропии вдоль луча равна — =-5р — '+5ь — =5, ((р! — Ро) + — ( ав вв вв ьр Так как 5е!5 = — де=с'р' > О и 5р > О, то — — = р, — р, + с р (О, — О,). 2 2 ь"р Во для начальной точки О имеем, используя условие (3 118) ьр вв О Разделив на б,— б! ) О, получим Р! Рр пгг ргш2 ) сгр2 оо оо' Отсюда и, т>с ', т.
е. ~!в,) >с,. Для точки 1 имеем, используя условия (3.118), 1 ." рэ „„+..р,(б„б,) = ~ СО, р откуда Р! Рр гпт рги!т серг, ер — 6! ! ! - !! 446 с(р„д,) — с(Р„до)+ — (Р1+Ро)(дт — д,) =О. 1 2 Если за начальную точку выбрать точку О (ро, до), то обозначим ударную адиабату Го, если за начальную точку выбрана точка 1 (рь д,), то обозначим ударную адиабату Гь В силу симметрии индексов О и 1 кривые Го и Г~ проходят через точки О и 1, но не совпадают.
Рассмотрим, например, точку 1. Вдоль ударной адиабаты Г, в точке 1 г(з!г,ш ) О, а для ударной адиабаты Г, в точке 1 с(з!гип =-О, т. е. в точке 1 Г| совпадает по направлению с изэнтропой, а Го — пересекает ее. Несовпадение ударных адиабат Го и Гйо математически также следует из того, что уравнение ударной адиабаты не может быть записано в виде 1(р, д) =1(ро, до) =сонэ(, как это имеет место для изэнтропы — обратимой адиабаты. Обратимые адиабаты — однопараметрическое семейство кривых, а ударные адиабаты — двупараметрическое семейство, т.е.для каждой иачальнойточкисвоя ударная адиабата. На рис.
3,26 приведен пример ударных адиабат для двухатом- эо и ного газа. Кривая Г~ для случая политропного газа п=б, когда Рис. 3.26 ро с пьЬЬ 6 о ыт Поэтому ~ ш, ) о < с', и ) оэ, ! < с,. Этот результат подтверждается механической устойчивостью и физической причинностью. Из неравенства ~ шо))со следует, что возмущения от ударной волны не могут уйти, вперед и этим самым размыть ударную волну.
Из неравенства ~ ш, ~ «с, следует, что возмущения, производимые поршнем, догоняют ударную волну и изменяют ее интенсивность. Физически только в этом случае можно представить причинную связь между движением поршня и распространением ударной волны, что имеет место в природе. Аналогично можно показать, что ударная волна разрежения неустойчива для нормального газа. Начальный разрыв разрежения сразу сглаживается и дает непрерывную пентрированную волну разрежения.
Второе начало утверждает нечто большее, чем вытекает из механической устойчивости, а именно: ударные волны разрежения для нормального газа невозможны. Для выяснения некоторых особенностей ударных волн обратимся к ударной адиабате (ЗДО6) в плоскости (р, д) гя возбуждены только внешние степени свободы (поступательные и вращательные) и заморожены все внутренние степени свободы (см.
также рис. 3.24). Кривая Г, соответствует случаю, когда учи- тываются возбуждение колебательных степеней свободы и диссо-. циация. Рассмотрим теперь те задачи газовой динамики, когда газ можно считать политропным, причем в таком представлении иног- да в пределе будут рассматриваться и очень сильные ударные волны, Уравнение сохранения потока энергии (3.95) для политропного газа принимает вид (п+2)р16~+гсР= пс о+ш о=псоо+осоо=(п+1)с.о, (3.123) где с. — критическая скорость, при которой скорость газа в не- прерывном установившемся течении равна скорости звука. Прибавив к левой части уравнения закона сохранения полного потока импульса (3.94) величину (и+ 1)рь получим У'+ (и+1) р =тоэ +р +(и+1) р1 — — р1[ш1о+(и+2) р,о,)= =р,(п+1) с„о, Аналогично для правой части (3.94) получим .У+ (и+ 1) ро =Ро[шоо+ (и+ 2) Робо[ = Ро (и+ 1) с.о.
Вычитая и сокращая на (п+1), будем иметь Ръ Ро= с (Ро — Ро) или (3. 124) Ро — Ро Соотношение с.о=ос,гсо содержит только кинематические величины и называется формулой Прандтля для прямой ударной волны. Из формулы Прандтля для .прямой ударной волны вытекает, что если одна относительная скорость газа по модулю больше с., то другая по модулю меньше с,. Уравнение (3.123) дает псоо+ шоо = (и+ 1) с.'. Вычитая (п+1) из обеих частей этого уравнения, получим п(со' — шоо) = (и+1) (с,о — гсоо), Из УсловиЯ теоРемы 1Ъ', что со'(шоо, .вытекает, что с.' — шоо(0 (п)0), т.
е. с.'(гсоо=~-[во[)с., и из формулы Прандтля следует [ю,[(с.. Получим еще две фор- мулы, удобные для расчета ударных волн. Из формулы (3.108) получим ~д и(Р1 — Ро) бо ("+1)Ро+Ро Подставляя это.выражение в формулу (3.97), получим „2 Гла а Ра Ра (и -~-1)Р, +Ра ба б,(1 — — ') откуда, вводя Ма=ша/са, будем иметь (3,128) Ра и+2 2 ! Ма ра и+1 а л '..! Аналогично в силу симметрии индексов получим Ра и+а 2 — = — Ма — —, ра и+! л+ 1 (3.126) (3.127) где М~=ш,/сь Далее, напишем формулу Прандтля 1 шаш, = с,' = — (и22+ ис') л+! а о и вычтем из левой и, правой частей гаа2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
