И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. имеет место предельная детонация. Тогда из (4.4) следует, что прн ЛО- 0 тз= — Лр/ЛΠ— +ос, т. е. (що(- оо, и при конечной скорости газа и, скорость волны ((/(- оо. Это предельный случай детонации, когда удельный объем меняется мало, а скорость волны очень велика (точка яь на рис. 4.2, а). Пусть р, -ро. Тогда из уравнения (4.10) и условия (4.86) следует йи>(ро, Ог) =й">(Ро, Оо) >/>»>(Ро, Оо). В силу условия (4.76) (дй/дО) р>0 имеем 6»Оо, т. е. р><ро, и имеет место предельное горение (точка В на рис.
4.2,а). При этом из (4.4) следует, что при Лр- 0 та= — Лр/ЛО-+-О, т. е. ы>о -О. Это предельный случай горения, когда давление во фрон- ">В общем случае внутренняя знергия зависит не только от Ь и з, во и еще от совокупности некоторых других параметров Ею характеризующих состав газа, виды внутреннего движения компонентов (т„). В некоторых случаях рассматривают такие состояния продуктов реакции, в которых часзь параметров заморожена, а остальные меняются равновесно. Например, для замороженной по составу смеси может сущестповать равновесие по термодинамическим параметрам (можно ввести единую температуру для всех компонентон смеси в точке).
Такое рассмотрение возможно, когда времена релаксации различных процессов имеют разный порядок. те горения практически не меняется, а сам фронт распространяется по газу с очень малой скоростью. Не все точки кривой, задаваемой уравнением (4.9), могут на самом деле соответствовать процессам, совместимым с системой (4.1) — (43), Так, из (4.1) видно, что для кривой Гюгонио выполняется условие (4.13) и> — Ро и>> ( 0 О~ — Оо Поэтому участок кривой иа рис. 4.2, а .ФВ выпадает, как не удовлетворяющий условию (4.13).
Таким образом, кривая Гюго- нио состоит из двух отдельных ветвей в соответствии с тем, что с законами сохранения (4.1) — (4.3) совместимы два качественно различных типа процессов: детонация и дефлаграция. Покажем, что равновесная кривая Гюгонио не пересекает равновесную ударную адиабату. Воспользуемся методом доказательства от противного. Пред- положим, что в точке (р*, Оч) кривые пересекаются. Тогда для равновесной кривой Гюгоиио имеем е"'(Р"', О*) =е">(Ро, Оо)+1>2(Р*+Ро) (О' — Оо), а для равновесной ударной адиабаты еы>(р*, О*) =е>о>(ры >Т~)+1/2(р*+р ) (О* — О~). Разность этих выражений дает е»»(ре О*) е>»(рв О*) 0 а это невозможно в силу того, что реакция идет с выделением тепла (4.8): д„,=е>з>(р*, О*) — е»(р*, О ) >О, С л ед с т в и е.
Две кривые Гюгонио для фиксированных со- ставов продуктов (1) и (2) такие, что е">(р, О)>е'(р, О), не пе- ресекаются, причем вторая из них лежит выше первой. Введем прямую Михельсона (луч Рэлея) — ' =й=(п . (4.13а) 1л Π— Оа Рассмотрим точки пересечения луча с кривой Гюгонио. Если й>0, то пересечение луча с кривой Гюгонио невозможно. Если й — большое отрицательное число (т. е, а>п/2, но близко к и/2), получим пересечение луча с кривой Гюгонио вблизи предельной точки .я>. Из предположения (4.5) дИ~дз(с'Г(РО' следует, что давление р неограниченно возрастает на кривой Гюгонио, и по- этому луч Рэлея пересечет кривую Гюгонио по крайней мере еще один раз. Увеличивая угол а, получим в пределе точку Р, где луч касается кривой Гюгонио.
В дальнейшем будет показано, что при сделанных предполо- жениях может существовать не более двух точек пересечении луча с кривой Гюгонио. 174 Для дефлаграцин, когда тангенс угла наклона прямой Михельсона — малое отрицательное число (угол а<2п, ио близок к 2п), получим точку пересечения луча с кривой Гюгонио вблизи точки В (рис. 4.2, а). Уменьшая угол а, получим точку касания С. Точки П и С разделяют детонационную и дефлаграционную ветви кривой Гюгонио на две части. О п р е д ел е н и е. Детонация, представляемая точками на детонацнонной ветви, лежащими пнже точки О и отвечающими меньшим значениям давления, называется слабой детонацией, выше точки 0 — сильной детонацией.
Детонация, отвечающая точке О, называется детонацией Чепмена — Жуге. Дефлаграция, представляемая точками, лежащими левее точки С и отвечающими меньшим значениям удельного объема, называется слабой дефлаграцией, правее точки С вЂ” сильной де4лаграцией. Дефлаграция, отвечающая точке С, называется дефлаграцией Чепиена — Жуге.
4 4.3. ДЕТОНАЦИЯ И ДЕФЛАГРАЦИЯ ЧЕНМЕНА — ЖУГЕ. ОСНОВНЫЕ СВОИСТВА ФРОНТА РЕАКЦИИ В данном параграфе будут исследованы свойства, справедливые как для равновесных, так и для замороженных кривых Гюгонио. Рассмотрим состояния, характеризующиеся точками Чепмена — Жуге. Л е м и а 1. Энтропия сгоревшего газа в точках 77 и С принимает стационарные значения. До к а з а тел ь с та о. Продифферепцнруем функцию Гюгонио (4.11), считая начальное состояние фиксированным (ры 6,): аГП1(р, 6, ро, бо) =йеа1+1/2((6 — бо)йр+ (р+ро)йб'!. (4.! 4) Учитывая (4.6), преобразуем (4.14) к виду с(Г!"=Тйз+1/2((б — Оо)йр — (р — ро)йб], (4,15) По определению точек 0 и С луч Михельсона в этих точках касается кривой Гюгонио. Тогда из (4.13) получим (4.16) оо (г1о,с1 об (л б — бо ' Вдоль кривой Гюгонио Г"'(р, 6, ро, бо)=!го —— сопэ1 (см.
(4.12)). Поэтому в (4,15) дГо1)г=О. Подставляя (4.!6) в (4.15), получим, что в точках Р и С вдоль кривой Гюгонио йр (11р,с1 =Tйз(г1о,сэ =-О, (4.17) т. е. в точках Чепмена — Жуге энтропия сгоревшего газа принимает стационарные значения. 17з Теорем а 1. Скорость сгоревшего газа относительно фронта реакции в точках Чепмена — Жуге равна местной. скорости звука. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как сгоревший газ является двупараметрической средой, то для него справедливо соотношение йр= (др(дб) АО+ (др~дз) ойэ. (4.18) Но по лемме 1 в точках 0 и С вдоль кривой Гюгонио де=0. Тогда соотношение (4.18) принимает вид йр 1 г1о.с1 = (др1дб), дб ! гю,с1.
(4. 19) Из соотношений (4.19) и (4.16) следует, что (4.20) откуда, учитывая (4.4) и (4.1), получим — гп = — р'ш' — — р'с'. (4.21) Соотношение (4.21) содержит утверждение теоремы, а именно, что в точках .0 н С выполняется условие ~1ш~ =с, т. е. относительная скорость газа равна местной скорости звука в сгоревшем газе. Л е м м а 2.
Скорость фронта реакции относительно несгоревшего газа стационарна в точках Чепмена — Жуге. До к а з а тел ь ство. Из условий (4.4) получим формулу для определения скорости фронта реакции шо, = — О,о Р Ро О он а,' (4.22) Продифференцнруем (4.22) вдоль кривой Гюгонио: йшз ~ г = — [(0 — бо) йр — (Р— Ро) «6) г (4 23) йо о 1О Лемма 1 и лемма 2 утверждают, что энтропия сгоревшего газа и скорость фронта в точках П и С принимают стационарные значения.
Более точно определить тип этих стационарных значений позволяет следующая теорема. Т е о р е м а П. При детонации Чепмена — Жуге скорость фронта относительно несгоревшего газа и энтропия сгоревшего газа вдоль кривой Гюгонио имеют относительный минимум, а при дефлаграции Чепмена — Жуге — относительный максимум. Для доказательства теоремы П докажем лемму: Л е и м а 3 Величина дор/дб' вдоль кривой Гюгонио строго положительна в стационарных точках; 176 Выражение в квадратных скобках в формуле (4.23) в точках П и С согласно (4.16) обращается в нуль, Поэтому сшо(г1о,с1 =0 (4.24) Покажем, что знак равенства в соотношении (4.26) необходимо исключить.
Продифференцируем соотношение (4.15) вдоль кривой Гюгонио: — =Т вЂ” ~ + — — ~ + — (Π— Оп) . ~ =О. (4.27) Л2Г1,Ю 1 Л7,Ь 1 1 1р ~г Лд' 1г Лд ад 1г 2 Нд' г Из леммы 1 следует, что энтропия в точках Р и С стационарна: — = — о. Тогда из (4.27) получим, что вдоль кривой Гюгонио в точках Р и С ,аз т — ~~ = — (Π— 3„) — ~ лд' 1г~о,с~ 2 лд'- 1г1о,с1 (4. 28): В точках Р и С величина (Π— О0)~0. Следовательно, п2р/сЮ'~г<о,с1 и Рэ7ЙО'(г1о,с1 могут обратиться в ноль только одновременно. Продифференцируем дважды соотношение р=п(О, з) вдоль кривой Гюгонио (4.29) (4.30) Так как в точках Р н С энтропия стационарна (Лэ,'ПО1г~о,о = О) формула (4.30) для точек Р и С принимает вид 2 р 1 ~ ~ з Язв ' ьз (4.31) Лд- "гш.с1 ' лд' 1г1о,с1 Но согласно (4.5) й„>0 и д, эО. Тогда из (4.31) следует, что если с(2р!ЙР1г1о,с1 = О, то 1('зд(д'1г1о с1 ( О, а из соотношения (4.28) в этом случае следует, что 32з,'йд'1г,ос1=--0, т.
е. получено пРотивоРечие. Итак цзР!ЙО'~г1ос, не может РавнЯтьсЯ нУ- лю. Поэтому имеет место строгое неравенство (4.25). Доказательство теоремы П. Рассмотрим точку Р, 177 (4.25) Д о к а з а те л ь с т в о, Из условия, что кривая Гюгонио лежит всегда выше луча, касающегося ее в точках Р и С (лучи, проходящие выше, пересекают ее в двух точках; лучи, проходящие пнже,— вообще не пересекаются), следует, что вдоль кривой ГО1(р, О, р,, О,) =1;1, вторая производная в точках Р и с удовлетворяет условию выпуклости вннз: (4.26) Лд' 1гш.с1 лежащую на детонационной ветви (О(О,). Тогда нз (4.25) и 14.28) имеем — '"! >О, (4.32) Ю' 1гю> (4.34) 18 а = Р ~' = — рзы,' з с откуда следует, что з в этой точке имеет относительный минимум вдоль кривой Гюгонио.
В точке С, лежащей на дефлаграционной ветви, выполняется условие О)Оэ, при котором из (4.28) следует, что — <О, (4.33) еО- !пс~ — энтропия имеет относительный максимум вдоль кривой Гюгонио. Докажем утверждение теоремы для скорости гем Продифференцпруем (4.23) вдоль кривой Гюгонио. Учитывая, что в точках Р и С выполняется условие (4.16), получим """б Оа ~2а — — (Π— О,) —, ~ Ю2 (г~о,с~ (Π— О„)' Еач !ганс~ Используя утверждение леммы 3 о том, что й'р1бО'(ганс~)0 и тот факт, что для детонации (Π— О,)(0, а для дефлаграции (Π— Оз) >О, получим из (4.34) следующие неравенства: (4.35) ЕО'- г<о~ ' ЙО' гап т, е., что ~ю,1 имеет в точке Р минимум, а в точке С вЂ” максимум.
Таким образом, мы доказали, что детонация Чепмена — Жуге обладает минимально возможной скоростью, а дефлаграция Чепмена — Жуге — максимально возможной скоростью. Доказательство этого утверждения для конфигурации, изображенной на рис. 4.2,а, очевидно из геометрических соображений. Тангенс угла наклона луча Михельсона (4.13), имеющего общие точки с кривой Гюгонио, по абсолютной величине достигает максимума и минимума там же, где достигает максимума и минимума ~ щз(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
