И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В точке Р величина ((па) имеет минимум, а в точке С 11аа) имеет максимум, так как лучи, более сильно отклоненные от горизонтали, вообще не пересекают дефлаграционную ветвь кривой Гюгонио. Теор ем а 111. Луч, проходки(ий через точку (рм О,), пересекает кривую Гюгонио Г<И(р, О, рм Оз) =Яз не более. чел в двух точках.
Доказательство. Как было показано в гл. П1 при изуче- 178 нии ударных волн, для нормального газа, удовлетворяющего условиям (4.5), энтропия вдоль луча Рэлея — Михельсона, проходящего через точку (р,, 6ь) и имеющего отрицательнь1й наклон (1аа(0), имеет только один экстремум (максимум) там, где ее значение стационарно. Применим этот результат для сгоревшего газа, удовлетворяющего (4.5). Из (4.15) следует, что вдоль любого луча Михельсона выполняется условие йГо ~ =ТдзЬ (4.35) и функция Гюгонно также имеет не более одного стационарного значения на луче, и это значение тоже максимум. Поэтому функция Го>(6))л вдоль луча может пересечь ГО>(6) =(гь не более чем в двух точках (см. рис.
42,б). Иначе функция ГО>(6) ~л имела бы по крайней мере два экстремума, Возможны случаи„ когда луч касается кривой Г01(р, 6, рь, 6ь) =Яь либо вообще не имеет с ней общих точек (рис. 4.2, б). В точках касания луча и кривой Гюгонио (точки Чепмена— Жуге Р и С) энтропия вдоль луча имеет максимум, вдоль кривой Гюгонно в точке Р— относительный минимум, а в точке С— относительный максимум.
На рис. 4.2,в показано изменение энтропии вдоль лучей Михельсона (Л1, Л2, ЛЗ), вдоль кривой Гюгонио Гот=Яь и вдоль ударной адиабаты Г1'1(р, 6, рь, 6ь)=0. В гл. П! доказано, что при принятых допущениях энтропия вдоль ударной адиабаты Г<6=0 с увеличением р монотонно возрастает во всех точках, исключая начальную точку, которая является точкой перегиба Теорем а 1Ч. !. Течение сгоревшего газа за фронтом детонации — дозвуковое относительно фронта сильной детонации и сверхзвуковое относительно фронта слабой детонации. 2.
Течение сгоревшего газа относительно фронта дефлаграции — дозвуковое за фронтом слабой дефлаграции и сверхзвуковое за фронтом сильной дефлаграции. Д о к а з а тел ь с т в о. Рассмотрим лучи Михельсона, пересекающие кривую Гюгонио в двух точках 7 и 2, соответствующих сильной и слабой детонации, или в точках 8 и 4, соответствующих слабой и сильной дефлаграции. Энтропия и функция Гюгонио вдоль каждого из этих лучей имеют единственный максимум в одной и той же стационарной точке, причем функция Гюгонио в точках пересечения имеет одинаковые значения Го>=Я,.
Поэтому максимум функции Гюгонио и энтропии вдоль лучей Михельсона находится между точками пересечения (на интервале 7 — 2 н на интервале 3 — 4 рнс. 4.2). Отсюда следует, что в точке пересечения кривой Гюгонио и луча Михельсона выполняются условия: для сильной детонации 179 (4.37) сЬ/йб) лн4>0, для слабой детонации дз/410 ! лев(0, для слабой дефлаграции йз/йб ~ лвл > О, для сильной дефлаграции йз/йб! л444~0. Так как з=з(р, О), получим йз= (дз/др) ойр+ (дз/дб) рйб, откуда частная производная (др/дб),= — рзсг формуле (4.33) (4,39) (4.40) (4.41) определяется по /до4 1' др ~ ~ дд 4Р о о ~да.о (дх ) (4.42) Из (4.41) получим (4.43) .Из соотношений (4.3) и (4.13) следует, что вдоль луча 44Р ! Р Ро о о — =- — р и4, л д бо Подставляя (4.44), (4.42) в выражение (4.43), получим (4.44) (4.45) причем при сделанных предположениях относительно сгоревшего газа, как показано в гл, Ш, (дз/др),>0.
Тогда неравенства (4.37) — (4.40) позволяют сделать вывод, что для сгоревшего газа при сильной детонации ~ш(<с, при слабой детонации (4е~ >с, при слабой дефлаграции ~ш ) <с, при сильной дефлаграции ~ ге ~ > с, где с и ш — скорость звука и относительная скорость газа непосредственно за фронтом реакции. То есть для сильной детонации скорость фронта — дозвуковая относительно сгоревшего газа, для слабой детонации — сверхзвуковая относительно сгоревшего газа, для сильной дефлаграции— сверхзвуковая относительно сгоревшего газа, для слабой дефлаграции — дозвуковая относительно сгоревгаего газа.
Теор ем а Ч. Фронт детонации движется со сверхзвуковой скоростью относительно несгоревшей среды, а фронт дефлагра44ии — с дозвуковой скоростью относительно несгоревшей среды в случае, когда исходная среда является нормальным газом (удовлетворяет условиям (4.5)). Доказательство. Так как для нормального несгоревшего газа ударная адиабата лежит выше касательной, проведенной в точке (ро, Юо), любой луч, выходящий из точки (ро, Юо) и пересекающий ударную адиабату выше начальной точки (р)ро), имеет угол наклона а меньше, чем касательный луч (а<а,+), а луч, пересекающий ударную адиабату ниже начальной точки (р< <ро), имеет угол наклона а больше, чем касательный луч (а< <а„— ).
Как показано в гл. П1, в началшюй точке (ро, бо) касательные к ударной адиабате и изэптропе совпадают. Поэтому 1д аоь=1дао = — ро'сот Относительная скорость волны детонации или дефлаграции шо определяется тангенсом угла наклона луча Михельсона, проходящего через соответствующую точку кривой Гюгонио (см. (4.4) ) Росвто = — — = — 1Я сс, Р Ро бо Так как кривая Гюгонио лежит правее ударной адиабаты и нигде не имеет с ней точек пересечения, то для детонации 1да< 1да," -ф!1да~) ~1йа,!, т.
е, сво ) со ~! шо ! ) со1 а для дефлаграцни 1яа ) 1яа,— =+)асс! < (1яа,(, т. е, сво < со ~ 1 шо! < со Таким образом, течение перед фронтом детонации сверхзвуковое, а перед фронтом дефлаграции дозвуковое. Ограничения теоремы Ъ', накладываемые на несгоревшую среду, существенны. Так, например, для случаев упруго-пластической среды, когда ударная адиабата Гал имеет вид, изображенный на рис. 4.3, для энерговыделения, соответствующего кривым Гюгонио Гь перед фронтом детонации Чепмена — Жуге распространяется непрерывная волна сжатия (случай а) или ударная волна и непрерывная волна сжатия (случай б). Для рассмотренных ударных адиабат Г<о) в случае, когда энерговыделение соответствует кривым Гюгонио Ги, детонация Чепмена — Жуге распространяется относительно состояния (ро, бо) со сверхзвуковой скоростью (рнс. 4.3).
Отметим, что теоремы 1Ч и о' просто перечисляют все возможные течения, допускаемые законами сохранения (4.1) — (4.3) на фронте реакции. Вопрос о реальной осуществимости того или иного течения требует отдельного рассмотрения. 1аг а, а и о рю иа сю Рюю. 4.3 Д о к а з а т е л ь с т в о. Выпишем соотиошеиия Гюгоиио для точек 1 и 2, соответствующих сильной и слабой детонации: еп1(рн 6~) — е'ю'(рю, Юю) = Ю(р1+ рю) (бю — О~), (4.46) еп1(рю, бю) — е1ю'(рю, бю) =)/2(рг+рю) (бю — дю). (4.47) 182 Теорем а Ч1, Изменение энтропии при сильной детонации больше, чем при слабой детонации, а при слабой дефлаграции— больше, чем при сильной дефлаграции, Нетрудно видеть (рис. 4.4), что соотношение (4.46) выражает площадь трапеции 1'100', а соотношение (4.47) — площадь 2'200'. Вычитая уравнение (4.47) из (4.46), получим выражение, определяющее площадь трапеции 1'122'.
е~н(рь б~) — е~и(рь бт)=1(2(р~+р~) (бг — О,). (448) Соотношение (4.48) есть уравнение ударной адиабаты без энерговыделения для продуктов детонации. Таким образом, точки 1 и 2 кривой Гюгонио, пересекающей луч Михельсона, лежат на одной ударной адиабате. Как показано в гл. П1, энтропия вдоль всей ударной адиабаты, исключая начальную точку, монотонна и строго возрастает при увеличении давления р для нормального газа.
Следовательно, энтропия в точке 1 больше, чем энтропия в точке 2: з! 80) 82 зО. 0 А д ние энтропии при слабои дефлаграции д 2' зз — зэ больше изменения энтропии при сильной дефлаграции з4 — 84. Рис. 4.4 Заметим, что точки Чепмена — Жуге на равновесной, замороженных н частично замороженных кривых Гюгонио различны. При этом в них выполняются условия Чепмена — Жуге соответственно для равновесной и замороженной скоростей звука: (~ю) =с„(ю) =сь )ш! =см (4.49) В общем случае неравновесных процессов все термодинамические параметры системы зависят не только от р и з, но и еще от некоторого количества параметров д;: е=е(р, з, н,), р=р(р, з, йч), Проведенное рассмотрение свойств кривых Гюгонио справедливо, когда по части степеней свободы смесь находится в равновесии и д;=рм(р, з), 1=1,...,й, а остальные параметры заморожены: д,=сопз1(1), 1=й+1,..., 1С Частично замороженная скорость звука определяется соотно- шением др ) с„= „=( др /ь4ы, ",4ь' (4 60) 183 Тогда равновесная скорость звука по всем параметрам д; опре- деляется соотношением (4.50) прн й=К, т.
е. с- =( — ) =с,', ! др ~ (~,), а замороженная по всем параметрам д; скорость звука опреде- ляется из (4.50) при /г=О, т. е. ( — ) =-с'. 1 др р ~ ьи,,..,рн Различие между сь с, и с, вызывает дисперсию звука в среде; волны низкой частоты распространяются со скоростью с„ волны высокой частоты — со скоростью сб возможны такжс промежуточные случаи, когда возмущения распространяются со скоростью см Различие между с1 и с, обычно невелико (в пределах нескольких процентов). Как уже отмечалось в гл.
П1, сг)с„ т. е. замороженные изэнтропы идут круче равновесных: к '~ ( — ) .' — ) др ( тч(д:,,1 (др~ = — =- — +'~ ( — ~ др /а,т~,— 4х !р,а с~ с1 йд 1 др /~ 4л 4ы 1 ддь!ар' 2 2 А=-1, ..., К. (4. 51) Как показано в работах (15, 231, звуковые ! ~д! д! возмущения на относительно малых расстояпнях от места возник! новения и для малых ! времен распространяются с замороженной скоростью с!.
При относительно больших х и 1 основная часть возмушення, распростраГ няется с равновесной скоростью звука с,. Г"! Ширина зоны возмущения при этом увеличивается, и затухание амплитуды возмушепня на переднем фронГ, те, распростраияю- !н ),7 Г~" щемся со скоростью, ! !н сь носит экспоненцн! альный характер. Вдоль равновесной кривоп Гюгонно состав продуктов меняется, Через каждую ее точку можно провести Рас. 45 замороженную кривую Гюгонно, на которой состав такой же, как н на равновесной в точке пересечения. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
